Matematik match

Matematisk sammenfald er en situation, hvor to udtryk giver næsten samme værdier, selvom dette sammenfald ikke kan forklares teoretisk på nogen måde. For eksempel er der en affinitet for det runde tal 1000 udtrykt som en potens af 2 og som en potens af 10: . Noget matematisk matchning bruges i teknik, når et udtryk bruges som en tilnærmelse af et andet. $2^{10}=1024\ca. 1000=10^{3}$

Introduktion

Matematisk sammenfald forbindes ofte med heltal , og overraskende ("tilfældige") eksempler afspejler det faktum, at reelle tal , der forekommer i nogle sammenhænge, viser sig at være, efter nogle standarder, en "nær" tilnærmelse af små heltal eller en potens af ti , eller mere generelt et rationelt tal med en lille nævner . En anden form for matematisk match, såsom heltal, der samtidigt opfylder flere tilsyneladende ikke-relaterede kriterier, eller match relateret til måleenheder. I klassen af rent matematiske tilfældigheder har nogle simple resultater et dybt matematisk fundament, mens andre fremstår "ud af det blå".

Givet et tælleligt antal måder at danne matematiske udtryk på ved hjælp af et begrænset antal symboler, kan matchning af antallet af brugte symboler og nøjagtigheden af tilnærmelsen være den mest oplagte måde at opnå en matematisk match på. Der er dog ingen standard, og den stærke lov om små tal er den slags argument, man tyr til, når der ikke er nogen formel matematisk forståelse. En vis æstetisk matematisk sans er nødvendig for at afgøre betydningen af et matematisk tilfælde, om det er en usædvanlig hændelse eller et vigtigt matematisk faktum (f.eks. Ramanujans konstant nedenfor om en konstant, der dukkede op på tryk for et par år siden som en videnskabelig aprilsnar [1] ). For at opsummere, betragtes disse tilfældigheder for deres nysgerrighed eller til opmuntring af elskere af matematik på et elementært niveau.

Nogle eksempler

Rationelle approksimationer

Nogle gange er simple rationelle tilnærmelser usædvanligt tæt på interessante irrationelle værdier. Faktum kan forklares i form af at repræsentere irrationelle værdier som fortsatte brøker , men hvorfor disse utrolige tilfældigheder sker, forbliver ofte uklart.

Der bruges ofte rationel tilnærmelse (ved fortsatte brøker) til forholdet mellem logaritmerne af forskellige tal, hvilket giver et (tilnærmet) sammenfald af disse tals potenser [2] .

Nogle matcher med nummer : $\pi$

den første konvergent af tallet , [3; 7] = 22/7 = 3,1428…, kendt siden Arkimedes tid [3] , og giver en nøjagtighed på omkring 0,04%. Den tredje konvergent, [3; 7, 15, 1] = 355/113 = 3,1415929… fundet af Zu Chongzhi [4] er korrekt med seks decimaler [3] . Denne høje præcision skyldes, at næste led i den fortsatte brøk har en usædvanlig stor værdi: = [3; 7, 15, 1, 292, …] [5] ; $\pi$ $\pi$
sammenfaldet, hvor det gyldne snit φ også deltager, er givet ved formlen . Dette forhold er relateret til Keplers trekant ; nogle forskere mener, at denne tilfældighed findes i pyramiderne i Giza , men det er yderst usandsynligt, at det er bevidst [6] ; $\pi$ $\pi \approx 4/{\sqrt {\varphi }}=3.1446\dots$
der er en sekvens på seks niere , der starter ved den 762. position af decimalrepræsentationen af tallet . For et tilfældigt valgt normalt tal er sandsynligheden for en hvilken som helst valgt sekvens på seks cifre (f.eks. 658020) sjælden i decimalnotation, kun 0,08 %. Der er en formodning, der er et normalt tal, men dette er ikke blevet bevist; $\pi$ $\pi$
${\frac {5}{6}}\pi \approx \varphi ^{2}$ ; korrekt til inden for 0,002 %.

Antal matcher $e$ :

sekvensen af cifre "1828" gentages to gange tæt på begyndelsen af decimalrepræsentationen af tallet = 2,7 1828 1828…. [7] ; $e$
der er en talfølge "99 999 999" blandt de første 500 tusinde tegn i tallet [8] . $e$

Tilfældighed er også meget brugt , korrekt med en nøjagtighed på 2,4%. Rationel tilnærmelse , eller falder sammen med en nøjagtighed på 0,3%. Denne tilfældighed bruges i tekniske beregninger til at tilnærme det dobbelte af effekten som 3 decibel (den faktiske værdi er 3,0103 dB - det halve effektpunkt ), eller til at konvertere kibibyte til kilobyte [9] [10] . Det samme match kan omskrives som (fjern den fælles faktor , så den relative fejl forbliver den samme, 2,4%), hvilket svarer til en rationel tilnærmelse , eller (også inden for 0,3%). Dette match bruges for eksempel til at indstille lukkerhastigheder i kameraer som en tilnærmelse af potenser på to (128, 256, 512) i rækkefølgen af lukkerhastigheder 125, 250, 500, og så videre [2] . $2^{10}=1024\ca. 1000=10^{3}$ $\textstyle {\frac {\log 10}{\log 2}}\approx 3{,}3219\approx {\frac {10}{3}}$ $2\ca. 10^{3/10}$ $128=2^{7}\ca. 5^{3}=125$ $2^3$ $\textstyle {\frac {\log 5}{\log 2))\approx 2.3219\approx {\frac {7}{3))$ $2\ca. 5^{3/7}$

Sammenfald med musikalske intervaller

Tilfældighed , normalt brugt i musik, når man tuner 7 halvtoner af en lige temperamentskala til en ren kvint af en naturlig skala : , som falder sammen med en nøjagtighed på 0,1%. Den perfekte femte er grundlaget for det pythagoræiske system og er det mest almindelige system i musik. Af den resulterende tilnærmelse følger det, at cirklen af kvinter ender syv oktaver over begyndelsen [2] . $2^{19}\ca. 3^{12}$ ${\frac {\log 3}{\log 2}}\approx 1,5849\dots \approx {\frac {19}{12}}$ $2^{7/12}\approx 3/2;$ ${\displaystyle {(3/2)}^{12}\ca. 2^{7))$

Kampen resulterer i en rationel version af 12-TET-båndene, som bemærket af Johann Kirnberger . ${\sqrt[{12}]{2}}{\sqrt[{7}]{5}}=1,33333319\ldots \ca. {\frac {4}{3}}$

Tilfældigheden fører til en rationel version af 1/4 komma-mellemtonetmperament . ${\sqrt[{8}]{5}}{\sqrt[{3}]{35}}=4,00000559\ldots \ca. 4$

Kampen fører til et meget lille interval (ca. en millicent ). ${\sqrt[{9}]{0.6}}{\sqrt[{28}]{4.9}}=0,99999999754\ldots \ca. 1$ $2^{9}3^{-28}5^{37}7^{-18}$

Matching med en potens på 2 resulterer i, at tre store tredjedele udgør en oktav, . Denne og andre lignende tilnærmelser i musik kaldes dies . ${(5/4)}^{3}\ca. {2/1}$

Numeriske udtryk

Udtryk med beføjelser : $\pi$

$\pi ^{2}\ca. 10$ med en nøjagtighed på omkring 1,3% [11] Dette kan forstås ud fra formlen for zeta-funktionen [12] , denne tilfældighed blev brugt i udviklingen af glideregler, når skalaen starter med og ikke med ; $\zeta (2)=\pi ^{2}/6$ $\pi$ ${\sqrt {10}}$
$\pi ^{2}\approx 227/23$ nøjagtig til 0,0004 % [11] ;
$\pi ^{3}\ca. 31$ nøjagtig til 0,02%;
${\sqrt[{5}]{\pi ^{3}+1}}\ca. 2$ nøjagtig til 0,004%;
$\pi \approx \left(9^{2}+{\frac {19^{2}}{22}}\right)^{1/4}$ eller [13] til 8 decimaler [14] ; $22\pi ^{4}\ca. 2143$

{\sqrt[{4}]{\frac {2143}{22))}=3.1415926525\dots

;

{\sqrt[{5}]{306}}=3.14155\dots

;

{\sqrt[{6}]{\frac {17305}{18))}=3.1415924\dots

;

{\sqrt[{7}]{\frac {21142}{7))}=3,14159\dots

;

Nogle plausible forbindelser er lavet med en høj grad af nøjagtighed, men forbliver ikke desto mindre tilfældigheder. Et eksempel er:

\int _{0}^{\infty }\cos(2x)\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{n))\right) \mathrm {d} x\approx {\frac {\pi }{8}}

De to sider af dette udtryk adskiller sig kun i 42. decimal [15] .

Udtryk med beføjelser og : $\pi$ $e$

${\displaystyle \pi ^{4}+\pi ^{5}\ca. e^{6))$ , med en nøjagtighed på 0,000 005 % [13] ;
${\displaystyle {\sqrt[{4}]{3^{3}e^{\pi ))))$ meget tæt på 5, omkring 0,008% nøjagtighed;
${3}^{\frac {\pi +e}{4}}$ meget tæt på 5, nøjagtighed omkring 0,000 538% [16] ;
$e^{\pi}-\pi \ca. 19.99909998$ meget tæt på 20 [17] , dette match svarer til [13] ; $(\pi +20)^{i}=-0,9999999992\ldots -i\cdot 0,000039\ldots \ca. -1$
$\pi ^{3^{2}}/e^{2^{3}}=9,9998\ldots \ca. 10$ [13] .

Udtryk med , og 163: $\pi$ $e$

${163}\cdot (\pi -e)\ca. 69$ med en nøjagtighed på 0,0005 %] [13] ;
${\frac {163}{\ln 163}}\ca. 2^{5}$ med en nøjagtighed på 0,000004 %] [13] ;
Ramanujans konstante :, præcision, opdaget i 1859 af Charles Hermite [18] , er ikke et uforklarligt tilfældigt matematisk sammenfald, da det er en konsekvens af, at 163 er et Hegner-tal . $e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx (2^{6}\cdot 10005)^{3}+744$ $2,9\cdot 10^{-28}\%$

Udtryk med logaritmer:

$\ln 2\approx \left({\frac {2}{5}}\right)^{\frac {2}{5}}$ (nøjagtighed 0,00024%).

I diskussionen om fødselsdagsparadokset kommer der et tal op , der er "sjovt" svarende til op til 4 cifre [19] . $\lambda ={\frac {1}{365}}{23 \choose 2}={\frac {253}{365}}$ $\ln(2)$

Numeriske tilfældigheder i den fysiske verden

Seks uger lang

Antallet af sekunder på seks uger, eller 42 dage, er præcis 10! ( faktorielle ) sekunder (siden , og ). Mange har bemærket denne tilfældighed, især tallet 42 er signifikant i romanen The Hitchhiker's Guide to the Galaxy af Douglas Adams . $24=4!$ $42=6\cdot 7$ $60^{2}=5\cdot 8\cdot 9\cdot 10$

Lysets hastighed

Lysets hastighed (per definition) er præcis 299.792.458 m/s, meget tæt på 300.000.000 m/s. Dette er rent tilfældigt, da måleren oprindeligt blev defineret som 1/ 10.000.000 af afstanden mellem jordens pol og ækvator ved havoverfladen, var jordens omkreds omkring 2/15 af et lyssekund [20] .

Gravitationsacceleration

Ikke at være konstant, men afhængig af bredde- og længdegrad , ligger den numeriske værdi af accelerationen af frit fald på overfladen mellem 9,74 og 9,87, hvilket er ret tæt på 10. Det betyder, at vægten som følge af Newtons anden lov af et kilogram masse på jordens overflade af Jorden svarer til cirka 10 newton påført kraftobjektet [21] .

Dette sammenfald er faktisk relateret til det førnævnte sammenfald af kvadratet med 10. En af de tidlige definitioner af meteret er længden af pendulet, hvis svingningsperiode er to sekunder. Da perioden med fuld oscillation tilnærmelsesvis er givet ved formlen nedenfor, får vi efter algebraiske beregninger, at gravitationskonstanten er lig med kvadratet [22] $\pi$ $\pi$

{\displaystyle T\ca. 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g))))

Da Jordens omkreds viste sig at være meget tæt på 40.000.000 meter, blev definitionen af måleren ændret for at afspejle dette faktum, da det var en mere objektiv standard (tyngdekonstanten ved Jordens overflade er ikke konstant). Dette førte til en stigning i målerens længde med lidt mindre end 1 %, hvilket faldt inden for grænserne for eksperimentelle målefejl.

Et andet sammenfald er, at værdien af g , som er cirka 9,8 m/s 2 , er lig med 1,03 lysår /år 2 , hvilket er tæt på 1. Dette sammenfald skyldes, at g er tæt på 10 i SI-enheder (m /s 2 ), som nævnt ovenfor, sammen med det faktum, at antallet af sekunder i et år er tæt på talværdien c /10, hvor c er lysets hastighed i m/s.

Rydberg konstant

Rydberg-konstanten gange lysets hastighed og udtrykt som frekvens er tæt på Hz: [20] ${\frac {\pi ^{2}}{3}}\ gange 10^{15}$

{\underline {3,2898}}41960364(17)\ gange 10^{15}

Hz [23] .

=R_{\infty }c

{\underline {3,2898}}68133696\ldots ={\frac {\pi ^{2}}{3}}

Fin strukturkonstant

Den fine struktur konstant er tæt på, og det blev antaget, at det er nøjagtigt lig med . $\alfa$ ${\frac {1}{137}}$ ${\frac {1}{137}}$

\alpha ={\frac {1}{137.035999074\dots }}

Selvom dette match ikke er så strengt som nogle af ovenstående, er det bemærkelsesværdigt, at der er en dimensionsløs konstant , så dette match er ikke relateret til den anvendte enhed. $\alfa$

Se også

Noter

↑ Gardner, 2001 , s. 674-694.
↑ 1 2 3 Schroeder, 2008 , s. 26-28.
↑ 1 2 Beckmann, 1971 , s. 101, 170.
↑ Mikami, 1913 , s. 135.
↑ Weisstein, 2003 , s. 2232.
↑ Herz-Fischler, 2000 , s. 67.
↑ I 1828 blev Leo Tolstoy født, dette giver dig mulighed for at huske tallet e med en nøjagtighed på 10 tegn.
↑ Tallet e til 1 million cifre . NASA. Dato for adgang: 14. februar 2017. Arkiveret fra originalen 2. juli 2017. (ubestemt)
↑ Beucher, 2008 , s. 195.
↑ Ayob, 2008 , s. 278.
↑ 1 2 Frank Rubin, The Contest Center - Pi Arkiveret 8. oktober 2017 på Wayback Machine .
↑ Hvorfor er så tæt på 10? $\pi ^{2}$ Arkiveret 9. august 2017 på Wayback Machine (Hvorfor så tæt på 10?), Noam Elkies $\pi ^{2}$
↑ 1 2 3 4 5 6 Weisstein, Eric W. Almost Integer (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
↑ ifølge Ramanujan : Quarterly Journal of Mathematics , XLV, 1914, s. 350-372. Ramanujan hævder, at denne "kuriøse tilnærmelse" for blev "opnået empirisk" og ikke har nogen forbindelse med teorien udviklet i papiret. $\pi$
↑ Arkiveret kopi (link ikke tilgængeligt) . Hentet 25. februar 2017. Arkiveret fra originalen 20. juli 2011. (ubestemt)
↑ Joseph Clarke, 2015)
↑ Conway, Sloane, Plough, 1988
↑ Barrow, 2002 .
↑ Arratia, Goldstein, Gordon, 1990 , s. 403-434.
↑ 1 2 Michon, Gérard P. Numerical Coincidences in Man-Made Numbers . Matematiske mirakler . Hentet 29. april 2011. Arkiveret fra originalen 22. oktober 2017. (ubestemt)
↑ Leduc, 2003 , s. 25.
↑ Hvad har Pi med tyngdekraften at gøre? . Wired (8. marts 2013). Hentet 15. oktober 2015. Arkiveret fra originalen 10. november 2017. (ubestemt)
↑ NIST .

Litteratur

Martin Gardner. Seks sensationelle opdagelser // The Colossal Book of Mathematics . - New York: W. W. Norton & Company, 2001. - s . 674-694 . - ISBN 0-393-02023-1 .
Yoshio Mikami. Udvikling af matematik i Kina og Japan. - BG Teubner, 1913. - S. 135.
Petr Beckmann. En historie om Pi. - Macmillan, 1971. - S. 101, 170. - ISBN 978-0-312-38185-1 .
Roger Herz-Fischler. Formen af den store pyramide. - Wilfrid Laurier University Press, 2000. - S. 67. - ISBN 978-0-889-20324-2 .
Ottmar Beucher. Matlab og Simulink. - Pearson Education, 2008. - S. 195. - ISBN 978-3-8273-7340-3 .
K. Ayob. Digitale filtre i hardware: En praktisk vejledning til firmwareingeniører. - Trafford Publishing, 2008. - S. 278. - ISBN 978-1-4251-4246-9 .
Manfred Robert Schroeder. Talteori i videnskab og kommunikation. — 2. - Springer, 2008. - S. 26–28. - ISBN 978-3-540-85297-1 .
John D Barrow. Naturens konstanter . - London: Jonathan Cape, 2002. - ISBN 0-224-06135-6 .
Richard Arratia, Larry Goldstein, Louis Gordon. Poisson-tilnærmelse og Chen-Stein-metoden // Statistical Science . - 1990. - V. 5 , no. 4 . — S. 403–434 . - doi : 10.1214/ss/1177012015 . — .
Charles Smith. Vores arv i den store pyramide. - Kessinger Publishing, 2004. - S. 39. - ISBN 1-4179-7429-X .
Steven A. Leduc. Cracking the AP Physics B&C Exam, 2004-2005 Edition. - Princeton Review Publishing, 2003. - S. 25. - ISBN 0-375-76387-2 .
Rydberg konstant tider c i Hz . Grundlæggende fysiske konstanter . NIST. Hentet: 25. juli 2011. (ubestemt)
Randall Munroe. Hvad hvis?. - 2014. - ISBN 9781848549562 .
Roger Herz-Fischler. Formen af den store pyramide. - Wilfrid Laurier University Press, 2000. - S. 67. - ISBN 978-0-889-20324-2 .
Eric W. Weisstein. CRC kortfattet encyklopædi af matematik. - CRC Press, 2003. - S. 2232. - ISBN 978-1-58488-347-0 .