Matematisk formulering af generel relativitetsteori

Denne artikel diskuterer det matematiske grundlag for generel relativitetsteori .

Startpositioner

Vores intuitive opfattelse fortæller os, at rum-tid er regelmæssig og kontinuerlig, det vil sige, at den ikke har nogen "huller". Matematisk betyder disse egenskaber, at rum-tid vil blive modelleret af en glat 4-dimensionel differentierbar manifold , det vil sige et 4-dimensionelt rum, for hvilket naboskabet til hvert punkt lokalt ligner et firedimensionalt euklidisk rum . Glathed betyder her tilstrækkelig differentiabilitet, uden at dens grad specificeres. $M_4$

Da lovene i den specielle relativitetsteori derudover er opfyldt med god nøjagtighed , kan en sådan manifold udstyres med en Lorentzian metrisk , det vil sige en ikke-degenereret metrisk tensor med signatur (eller tilsvarende ). Betydningen af dette afsløres i næste afsnit. $\{-,+,+,+\}$ $\{+,-,-,-\}$

Geometri af rum-tid

N.B. Denne artikel følger de klassiske tegnkonventioner af Misner, Thorne og Wheeler [1]

Denne artikel vedtager også Einstein-konventionen for summering over gentagne indekser.

Metrisk tensor

En differentierbar manifold [2] M, udstyret med en Lorentzian metrisk tensor g , er således en Lorentzian manifold , som udgør et specialtilfælde af en pseudo-riemannsk manifold (definitionen af "Lorentzians" vil blive specificeret senere i teksten; se Lorentzian metrisk sektion nedenfor ).

Lad os tage et eller andet koordinatsystem i nærheden af punktet , og lad os være en lokal basis i tangentrummet til manifolden ved punktet . Tangentvektoren vil så blive skrevet som en lineær kombination af basisvektorer: $x^{\mu}$ $P$ ${\mathbf e}_{\mu}(x)$ $T_xM$ $M$ $x\i M$ $\mathbf w \in T_xM$

\mathbf{w} \ = \w^{\mu} \\mathbf{e}_{\mu}.

I dette tilfælde kaldes mængderne kontravariante komponenter af vektoren w . Den metriske tensor er da en symmetrisk bilineær form : $\w^{\mu}$ $\mathbf g$

\mathbf g \ = \ g_{\mu\nu}(x)\ dx^{\mu}\ \nogle gange \ dx^{\nu},

hvor angiver dualen med hensyn til basis i cotangensrummet , det vil sige lineære former på , sådan at: $dx^{\mu}$ ${\mathbf e}_{\mu}(x)$ $T_x^*M$ $T_{x}M$

dx^{\nu} ({\mathbf e}_{\mu}) \ =\ \delta_{\mu}^{\nu}.

Yderligere vil vi antage, at komponenterne i den metriske tensor ændrer sig kontinuerligt i rum-tid [3] . $g_{\mu\nu}(x)$

Den metriske tensor kan således repræsenteres af en ægte 4x4 symmetrisk matrix :

g_{\mu\nu} \ = \ g_{\nu\mu}.

Generelt har enhver ægte 4x4 matrix a priori 4 x 4 = 16 uafhængige elementer. Symmetritilstanden reducerer dette tal til 10: faktisk er der 4 diagonale elementer, som vi skal tilføje (16 - 4) / 2 = 6 off-diagonale elementer. Tensoren har således kun 10 uafhængige komponenter. $g_{\mu \nu }$

Prik produkt

Den metriske tensor definerer for hvert punkt i manifolden et pseudo - skalært produkt ("pseudo-" i den forstand, at der ikke er nogen positiv bestemthed af den tilhørende kvadratiske form (kvadraten af en vektor; se Lorentzisk metrisk) i den pseudo-euklidiske rum tangent til manifolden ved punktet . Hvis og er to vektorer , skrives deres prikprodukt som: $x \i M$ $M^{}$ $x$ $T_{x}M$ $\mathbf u$ ${\mathbf v}$ $T_{x}M$

\mathbf u \cdot \mathbf v \ = \ \mathbf g (\mathbf u, \mathbf v) \ = \ g_{\mu \nu} \ u^{\mu } \ v^{\nu}

Især ved at tage to basisvektorer opnår vi komponenterne:

g_{\mu \nu} \ = \ \mathbf g ({\mathbf e}_{\mu}, {\mathbf e}_{\nu}) \ = \ {\mathbf e}_{\mu} \ cdot {\mathbf e}_{\nu}

Bemærk: hvis mængderne angiver de kontravariante komponenter af vektoren w , så kan vi også definere dens kovariante komponenter som: $w^{\mu}$

w_{\mu} \ = \ \mathbf w \ \cdot \mathbf e_{\mu}.

Elementær afstand - interval

Overvej den elementære forskydningsvektor mellem et punkt og et uendeligt tæt punkt: . Den invariante infinitesimale norm for denne vektor vil være et reelt tal, betegnet med , kaldet kvadratet af intervallet og lig med: $d\mathbf P \ = \ \epsilon^{\mu} \mathbf e_{\mu}$ $P^{}$ $| \epsilon^{\mu} | \ll 1$ $ds^2$

ds^2 \ = \ g_{\mu\nu}(x)\ \epsilon^{\mu} \\epsilon^{\nu}

Hvis vi betegner komponenterne i den elementære forskydningsvektor "på en fysisk måde" , vil det infinitesimale kvadrat af længden (intervallet) formelt blive skrevet som: $\epsilon^{\mu} = dx^{\mu}$

ds^2 \ = \ g_{\mu\nu}(x) \ dx^{\mu} \ dx^{\nu}

Bemærk : i denne formel, såvel som yderligere, er et reelt tal, som tolkes fysisk som en "uendelig lille ændring" af koordinaten , og ikke som en differentialform! $dx^{\mu}$ $x^{{\mu))$

Lorentz-metrik

Lad os nu forfine udtrykket "lorentzisk" (mere præcist lokalt lorentzisk), hvilket betyder, at den metriske tensor har signaturen (1,3) og lokalt falder i første rækkefølge med den lorentziske metrik i den særlige relativitetsteori . Ækvivalensprincippet siger, at det er muligt at "slette" gravitationsfeltet lokalt ved at vælge et lokalt inertikoordinatsystem. Fra et matematisk synspunkt er et sådant valg en omformulering af den velkendte sætning om muligheden for at reducere en kvadratisk form til hovedakserne.

I et sådant lokalt inertielt koordinatsystem kan invarianten i et punkt skrives som: $X^{\alpha}$ $ds^2$ $P$

ds^2 \ = \ \eta_{\alpha \beta } \ dX^{\alpha } \ d X^{\beta } \ = \ - \ c^2 \, dT^2 \, + \, dX^2 \, + \, dY^2 \, + \, dZ^2,

hvor er Minkowski rum-tid metrikken , og i et lille kvarter på dette punkt $\eta_{\alpha\beta}$

ds^2 \ = \ (\eta_{\alpha \beta}+\delta_{\alpha \beta }) \ dX^{\alpha } \ d X^{\beta },

hvor har et minimum af den anden orden af småhed i afvigelser af koordinater fra punktet , det vil sige . Idet vi accepterer konventionen om Misner, Thorne og Wheeler tegn, har vi [1] : $\delta_{\alpha\beta}$ $P$ $\delta_{\alpha\beta}|_{P}=0,\ \left.\frac{\partial \delta_{\alpha\beta)){\partial X^\alpha}\right|_{P}= 0$

\eta_{\alpha \beta} \ = \ \mathrm{diag} \ ( -1, \, +1, \, +1, \, +1 \, )

Følgende konventionelle konventioner bruges nedenfor:

Græske indekser går fra 0 til 3. De svarer til mængder i rum-tid.
Latinske indekser varierer fra 1 til 3. De svarer til de rumlige komponenter af mængder i rum-tid.

For eksempel ville en 4-positionsvektor blive skrevet i et lokalt inertial koordinatsystem som:

X^{\alpha} \ = \ \left( \begin{matrix} X^{0} \\ X^{i} \end{matrix} \right) \ = \ \left( \begin{matrix} X^ {0} \\ X^{1} \\ X^{2} \\ X^{3} \end{matrix} \right) \ = \ \left( \begin{matrix} c \, T \\ X \\ Y \\ Z \end{matrix} \right).

Opmærksomhed : Faktisk danner endelige, ikke uendelige små, koordinatstigninger ikke en vektor. En vektor af dem opstår kun i et homogent rum med nul krumning og triviel topologi.

Den lorentziske karakter af mangfoldigheden sikrer således, at tangenterne til hvert punkt i det pseudo-euklidiske rum vil have pseudo - skalære produkter ("pseudo-" i den forstand, at der ikke er nogen positiv bestemthed af den tilhørende kvadratiske form (kvadrat-vektor) ) med tre strengt positive egenværdier (svarende til rummet) og en strengt negativ egenværdi (svarende til tid). Især er det elementære interval for "rigtig tid", der adskiller to på hinanden følgende begivenheder, altid: $M^{}$ $M^{}$

d \tau^2 \ = \ - \frac{ds^2}{c^2} \ > \ 0.

Generelle begreber af affin forbindelse og kovariant afledt

Generelt er en affin forbindelse en operator , der forbinder et vektorfelt fra en tangentblyant med feltet for endomorfismer for denne blyant. Hvis er tangentvektoren i punktet , er det normalt angivet $\nabla$ $\mathbf V$ $TM$ $\nabla \mathbf V$ ${\mathbf w} \in T_xM$ $x \i M$

\nabla_{\mathbf w} \ \mathbf V(x) \ = \ \nabla \mathbf V(x,\mathbf w).

Det siges at være den " kovariante afledede " af vektoren i retningen . Antag desuden, at det opfylder den yderligere betingelse: for enhver funktion f, vi har $\nabla_{\mathbf w} \mathbf V$ $\mathbf V$ ${\mathbf w}$ $\nabla \mathbf V$

\nabla_{\mathbf w} (f \mathbf V) \ = \ f \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf V \ + \ df(\mathbf w) \ \mathbf V

Den kovariante afledte opfylder følgende to linearitetsegenskaber:

linearitet i w , det vil sige uanset felterne af vektorerne w og u og de reelle tal a og b , har vi:

\nabla_{(a \mathbf w + b \mathbf u)} \mathbf V \ = \ a \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf V \ + \ b \ \nabla_{\mathbf u} \mathbf V.

linearitet i V , det vil sige, uanset felterne af vektorerne X og Y og de reelle tal a og b , har vi:

\nabla_{\mathbf w} (a\mathbf X + b\mathbf Y) \ = \ a \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf X \ + b \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf Y.

Når den kovariante afledte er defineret for vektorfelter, kan den udvides til tensorfelter ved hjælp af Leibniz -reglen : hvis og er to vilkårlige tensorer, så per definition: ${\mathbf T}$ $\mathbf S$

\nabla_{\mathbf w}(\mathbf T \otimes \mathbf S) \ = \ (\nabla_{\mathbf w} \mathbf T )\otimes \mathbf S \ + \ \mathbf T \otimes(\nabla_{\ mathbf w} \mathbf S)

Den kovariante afledte af tensorfeltet langs vektoren w er igen et tensorfelt af samme type.

Forbindelse forbundet med metrikken

Det kan bevises, at forbindelsen forbundet med metrikken, Levi-Civita [1] forbindelsen, er den eneste forbindelse, der ud over de tidligere betingelser yderligere sikrer, at for alle felter af vektorer X, Y, Z fra TM

$\nabla_{\mathbf X}(\mathbf g(\mathbf Y,\mathbf Z)) \ = \ \mathbf g(\nabla_{\mathbf X} \mathbf Y,\mathbf Z) \ + \ \mathbf g( \mathbf Y,\nabla_{\mathbf X} \mathbf Z)$ ( metricitet - nonmetricitetstensoren er lig med nul).

$\nabla_{\mathbf X} \mathbf Y \ - \ \nabla_{\mathbf Y} \mathbf X \ = \ [\mathbf X, \mathbf Y]$ , hvor er Lie-kommutatoren for X og Y (ingen torsion — torsionstensoren er lig med nul). $[\mathbf X,\mathbf Y]$

Beskrivelse i koordinater

Den kovariante derivat af en vektor er en vektor, og den kan således udtrykkes som en lineær kombination af alle basisvektorer:

\nabla_{\mathbf w} V \ = \ \venstre[ \, \nabla_{\mathbf w} V \, \right]^\rho \ \mathbf e_\rho \ = \ \Gamma^\rho \ \mathbf e_ \rho,

hvor er vektorkomponenterne af den kovariante afledte i retningen (denne komponent afhænger af den valgte vektor w ). $\Gamma^\rho$ $\mathbf e_\rho$

For at beskrive den kovariante afledte er det nok at beskrive den for hver af basisvektorerne langs retningen . Lad os derefter definere Christoffel-symboler (eller blot Christoffel-symboler) afhængigt af 3 indekser [4] $\mathbf e_\nu$ $\mathbf e_\mu$ $\Gamma^\rho {}_{\mu \nu},$

\nabla_{\mu} {\mathbf e}_{\nu} \ = \ \nabla_{{\mathbf e}_{\mu)) {\mathbf e}_{\nu} \ = \ \Gamma^\ rho {}_{\mu \nu} \ {\mathbf e}_\rho

Levi-Civita-forbindelsen er fuldt ud kendetegnet ved sine Christoffel-symboler. Ifølge den generelle formel

\nabla_{\mathbf w} (f \mathbf V) \ = \ f \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf V \ + \ df(\mathbf w) \ \mathbf V

for vektor V :

\nabla_{\mu} \mathbf V \ = \ \nabla_{\mu} (V^\nu \mathbf e_\nu) \ = \ V^\nu \ (\nabla_{\mu} \mathbf e_\nu) \ + \ dV^\nu(\mathbf e_\mu) \ \mathbf e_\nu.

Når vi ved det , får vi: $dV^\nu (\mathbf e_\mu) = \partial_\mu V^\nu$

\nabla_{\mu} \mathbf V \ = \ V^\nu \ \Gamma^\rho {}_{\mu \nu} \ {\mathbf e}_\rho \ + \ \partial_\mu V^\ nu \ \mathbf e_\nu

Det første led i denne formel beskriver "deformationen" af koordinatsystemet med hensyn til den kovariante afledte, og den anden - ændringer i koordinaterne for vektoren V . Når vi summerer over dumme indekser, kan vi omskrive denne relation i formularen

\nabla_{\mu} \mathbf V \ = \ \venstre[ \, V^\rho \ \Gamma^\nu {}_{\mu \rho} \ + \ \partial_\mu V^\nu \, \ højre] \ \mathbf e_\nu

Ud fra dette får vi en vigtig formel for komponenterne:

\nabla_{\mu} \mathbf{V}^{\nu} \ = \ \venstre[ \, \nabla_{\mu} \mathbf{V} \, \right]^{\nu} \ = \ \partial_ {\mu} V^{\nu} \ + \ \Gamma_{~ \mu \rho}^{\nu} \ V^{\rho }

Ved at bruge Leibniz-formlen kan det demonstreres på samme måde, at:

\nabla_{\mu} \mathbf{V}_{\nu} \ = \ \partial_{\mu} V_{\nu} \ - \ \Gamma_{~ \mu \nu}^{\rho } \ V_{ \rho}.

For at beregne disse komponenter eksplicit, skal udtrykkene for Christoffel-symbolerne defineres ud fra metrikken. De er nemme at få ved at skrive følgende betingelser:

\nabla_{\mu} \ \mathbf{g}_{\nu \rho} \ = \ 0.

Beregningen af denne kovariante afledte fører til

\Gamma^\mu {}_{\rho \sigma} \ = \ \frac{1}{2} \ g^{\mu \nu} \ \left(\partial_\sigma g_{\nu \rho } \ + \ \partial_\rho g_{\nu \sigma} \ - \ \partial_\nu g_{\rho \sigma} \right),

hvor er komponenterne i den "inverse" metriske tensor defineret af ligningerne $g^{\mu \nu}\$

g^{\mu \nu} \ g_{\nu \rho} \ = \ \delta^\mu{}_\rho

Christoffel-symbolerne er "symmetriske" [5] med hensyn til abonnenter: $\Gamma^\mu {}_{\rho \sigma}=\Gamma^\mu {}_{\sigma \rho}.\$

Bemærk: nogle gange er følgende symboler også defineret:

\Gamma_{\nu \rho \sigma} \ = \ \frac{1}{2} \ \left(\partial_\sigma g_{\nu \rho } \ + \ \partial_\rho g_{\nu \sigma} \ - \ \partial_\nu g_{\rho \sigma} \right)

modtaget som:

\Gamma^\mu {}_{\rho \sigma} \ = \ g^{\mu \nu} \ \Gamma_{\nu \rho \sigma}

Riemann curvature tensor

Riemann-kurvaturtensoren R er en 4. valenstensor defineret for alle vektorfelter X, Y, Z fra M som

\mathbf R(\mathbf X,\mathbf Y)\mathbf Z \ = \ \nabla_{\mathbf X} \, (\nabla_{\mathbf Y} \mathbf Z) \ - \ \nabla_{\mathbf Y} \ , (\nabla_{\mathbf X} \mathbf Z) \ - \ \nabla_{[\mathbf X,\mathbf Y]} \mathbf Z\; .

Dens komponenter er eksplicit udtrykt fra metriske koefficienter:

R_{ \mu \nu \rho \sigma } \ = \ \frac{1}{2}\left( \partial^2_{ \nu \rho } g_{ \mu \sigma } \ + \ \partial^2_{ \mu \sigma } g_{ \nu \rho } \ - \ \partial^2_{ \nu \sigma } g_{ \mu \rho } \ - \ \partial^2_{ \mu \rho } g_{ \nu \ sigma } \right) \ +

+ \ g_{ \lambda \tau } \left( \Gamma^\lambda {}_{ \nu \rho } \Gamma^\tau {}_{ \mu \sigma } \ - \ \Gamma^\lambda {} _{ \nu \sigma } \Gamma^\tau {}_{ \mu \rho } \right)\;.

Symmetrier af denne tensor:

R_{ \mu \nu \rho \sigma } \ = \ R_{ \rho \sigma \mu \nu }\;,

R_{ \mu \nu \rho \sigma } \ = \ - \ R_{ \nu \mu \rho \sigma } \ = \ - \ R_{\mu \nu \sigma \rho }\;.

Det opfylder også følgende forhold:

R_{ \mu \nu \rho \sigma } \ + \ R_{ \mu \sigma \nu \rho } \ + \ R_{ \mu \rho \sigma \nu } \ = \ 0.

Ricci curvature tensor

Ricci - tensoren er valenstensoren 2 defineret af foldningen af Riemann-kurvaturtensoren

R_{\mu \nu} \ = \ g^{\rho \sigma } \ R_{\rho \mu \sigma \nu} \ = \ R^\sigma_{~ \mu \sigma \nu} \; .

Dens komponenter eksplicit via Christoffel-symboler:

R_{\mu \nu} \ = \ \partial_{\rho } \Gamma^{\rho } {}_{\mu \nu} \ - \ \partial_{\nu} \Gamma^{\rho } {} _{\mu \rho } \ + \ \Gamma^{\rho } {}_{\mu \nu} \Gamma^{\sigma } {}_{\rho \sigma } \ - \ \Gamma^{\ sigma} {}_{\mu \rho}\Gamma^{\rho} {}_{\nu \sigma} \; .

Denne tensor er symmetrisk: . $R_{\mu\nu} \ = \ R_{\nu \mu} \$

Skalær krumning

Den skalære krumning er en invariant defineret af foldningen af Ricci-tensoren med metrikken

R \ = \ g^{\mu \nu} \ R_{\mu \nu} \ = \ R^\nu_{~ \nu}.

Einsteins ligninger

Tyngdefeltsligningerne, som kaldes Einstein-ligningerne , skrives som

R_{\mu \nu} \ - \ \frac{1}{2} \, g_{\mu \nu} \, R \ + \ \Lambda \ g_{\mu \nu} \ = \ \frac{8 \pi G}{c^4} \ T_{\mu \nu},

eller sådan

G_{\mu \nu }\ +\ \Lambda \ g_{\mu \nu }\ =\ {\frac {8\pi G}{c^{4))}\ T_{\mu \nu },

hvor er den kosmologiske konstant , er lysets hastighed i vakuum, er gravitationskonstanten , som også optræder i Newtons lov om universel gravitation, er Einstein-tensoren , og er energi-momentum-tensoren . $\lambda$ $c$ $G$ $G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }\ -\ {\frac {1}{2))\,g_{\mu \nu }\,R$ $T_{\mu\nu}$

En symmetrisk tensor har kun 10 uafhængige komponenter, Einsteins tensorligning i et givet koordinatsystem svarer til et system med 10 skalarligninger. Dette system med 10 koblede ikke-lineære partielle differentialligninger er i de fleste tilfælde meget vanskeligt at lære. $g_{\mu\nu}$

Energimomentum-tensoren

Energimoment-tensoren kan skrives som en ægte 4x4 symmetrisk matrix:

T_{\mu \nu} \ = \ \left( \begin{matrix} T_{00} & T_{01} & T_{02} & T_{03} \\ T_{10} & T_{11} & T_ {12} & T_{13} \\ T_{20} & T_{21} & T_{22} & T_{23} \\ T_{30} & T_{31} & T_{32} & T_{33} \end{matrix}\right).

Den indeholder følgende fysiske mængder:

T 00 - volumetrisk energitæthed . Det skal være positivt .
T 10 , T 20 , T 30 er tæthederne af momentumkomponenterne .
T 01 , T 02 , T 03 er komponenter i energistrømmen .
3 x 3 undermatrix af rent rumlige komponenter:

T_{ik} \ = \ \left( \begin{matrix} T_{11} & T_{12} & T_{13} \\ T_{21} & T_{22} & T_{23} \\ T_{31 } & T_{32} & T_{33} \end{matrix} \right)

er matrixen af impulsstrømme . I fluidmekanik svarer de diagonale komponenter til tryk, og de andre komponenter til tangentielle kræfter (spændinger eller, i den gamle terminologi, spændinger) forårsaget af viskositet .

For en væske i hvile reduceres energimoment-tensoren til en diagonal matrix , hvor er massetætheden og er det hydrostatiske tryk. ${\rm {diag}}({{\rho }c^{2}},~p,~p,~p)$ ${\rho}$ $s$

Noter

↑ 1 2 C. W. Misner, Kip S. Thorne & John A. Wheeler; Gravitation , Freeman & Co. (San Francisco-1973), ISBN 0-7167-0344-0 . eller C. MIZNER, C. THORNE, J. WHEELER. TYNGDEKRAFT. bind I-III. M. Mir, 1977.
↑ I det følgende skriver vi ikke indekset 4 overalt, som angiver dimensionen af manifolden "M".
↑ Mere præcist skal de være mindst klasse C².
↑ Advarsel, Christoffel-symboler er ikke tensorer.
↑ Ordet "symmetrisk" er i anførselstegn, da disse indekser i kraft af deres oprindelse ikke er tensor.

Teorier om tyngdekraft

Standardteorier om tyngdekraft

Alternative teorier om tyngdekraft

Kvanteteorier om tyngdekraft

Forenede feltteorier

klassisk fysik

Newtons teori om tyngdekraften

Relativistisk fysik

Generel relativitetsteori
- Matematisk formulering
- Hamiltonsk formulering

Principper

Klassisk

Relativistisk

Multidimensionel

Strenge

Andet

Den usædvanligt enkle teori om alting