Lineær visning

En lineær mapping er en generalisering af en lineær numerisk funktion (mere præcist, en funktion ) til tilfældet med et mere generelt sæt argumenter og værdier. Lineære kortlægninger, i modsætning til ikke-lineære kortlægninger, er tilstrækkeligt godt undersøgt, hvilket gør det muligt med succes at anvende resultaterne af den generelle teori, da deres egenskaber ikke afhænger af mængdernes art. $y=kx$

En lineær operator (transformation) er et specialtilfælde af en lineær afbildning af et vektorrum ind i sig selv. [en]

Formel definition

En lineær afbildning af et vektorrum over et felt til et vektorrum over det samme felt ( en lineær operator fra til ) er en afbildning $V$ $K$ $W$ $K$ $V$ $W$

f\colon V\to W

opfylder linearitetsbetingelsen [2]

f(x+y)=f(x)+f(y)

f(\alpha x)=\alpha f(x)

for alle og . $x,y\in V$ $\alfa \i K$

Hvis og er det samme vektorrum, så er det ikke bare en lineær afbildning, men en lineær transformation . $V$ $W$ $f$

Hvis kun den første egenskab er sand, kaldes en sådan mapping additiv .

Rummet af lineære afbildninger

Hvis vi definerer operationerne addition og multiplikation med en skalar fra hovedfeltet som $K$

$(f+g)(x)=f(x)+g(x)\quad \forall x\in V$
$(kf)(x)=kf(x)\quad \forall x\in V,\forall k\in K$

så er sættet af alle lineære afbildninger fra til et vektorrum, som normalt betegnes som $V$ $W$ ${\mathcal {L}}(V,W)$

Afgrænsede lineære operatorer. Operatørnorm

Hvis vektorrum og er lineære topologiske rum , det vil sige topologier er defineret på dem , med hensyn til hvilke operationerne af disse rum er kontinuerte , så kan begrebet en afgrænset operator defineres: en lineær operator kaldes afgrænset, hvis det tager afgrænsede sæt til afgrænsede (især er alle kontinuerte operatorer afgrænsede ). Især i normerede rum er et sæt afgrænset, hvis normen for et af dets elementer er begrænset; derfor siges en operator i dette tilfælde at være begrænset, hvis der eksisterer et tal N , således at . Det kan påvises, at i tilfælde af normerede rum er kontinuitet og afgrænsethed af operatører ækvivalente. Den mindste af konstanterne N , der opfylder ovenstående betingelse, kaldes operatornormen : $V$ $W$ ${\displaystyle \forall x\in V,\|Ax\|_{W}\leqslant N\|x\|_{V))$

$\|A\|=\sup _{{\|x\|\not =0}}{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}=\sup _{{\|x\ |=1}}{\|Ax\|}.$

Indførelsen af normen for operatorer giver os mulighed for at betragte rummet af lineære operatorer som et normeret lineært rum (man kan kontrollere gyldigheden af de tilsvarende aksiomer for den introducerede norm). Hvis rummet er Banach , så er rummet for lineære operatorer også Banach. $W$

Omvendt operator

En operator kaldes den inverse af en lineær operator, hvis følgende relation gælder: $A^{{-1}}$ $EN$ $A^{{-1}}A=AA^{{-1}}=1$

Det omvendte af en lineær operator er også en lineær operator. Hvis en lineær kontinuert operator kortlægger et Banach-rum (eller F-space ) til et andet, så er den inverse operator også en lineær kontinuerlig operator. $A^{{-1}}$ $EN$ $EN$

Lineær matrix

En lineær matrix er en matrix, der udtrykker en lineær matrix på et eller andet grundlag . For at opnå det er det nødvendigt at påvirke afbildningen på basisvektorerne og skrive koordinaterne for de opnåede vektorer (billeder af basisvektorerne) ind i matrixens kolonner.

Visningsmatrixen ligner koordinaterne for en vektor. I dette tilfælde er handlingen af kortlægning på en vektor ækvivalent med at gange en matrix med en kolonne af koordinater for denne vektor på samme basis.

Lad os vælge et grundlag . Lad være en vilkårlig vektor. Så kan det udvides på dette grundlag: ${\mathbf {e}}_{k}$ $\mathbf {x}$

{\mathbf {x}}=x^{k}{\mathbf {e}}_{k}

hvor er vektorens koordinater i det valgte grundlag. $x^{k}$ $\mathbf {x}$

Her og nedenfor antages summering over dumme indekser .

Lad være en vilkårlig lineær kortlægning. Vi handler på begge sider af den tidligere ligestilling, får vi $\mathbf {A}$

{\mathbf {Ax}}=x^{k}{\mathbf {Ae}}_{k}

Vi udvider også vektorerne i det valgte grundlag, får vi ${\mathbf {Ae}}_{k}$

{\mathbf {Ae}}_{k}=a_{k}^{j}{\mathbf {e}}_{j}

hvor er den -th koordinat af den -th vektor fra . $a_{k}^{j}$ $j$ $k$ ${\mathbf {Ae}}_{k}$

Ved at erstatte udvidelsen med den forrige formel får vi

{\mathbf {Ax}}=x^{k}a_{k}^{j}{\mathbf {e}}_{j}=(a_{k}^{j}x^{k}){\ mathbf {e}}_{j}

Udtrykket , omgivet af parenteser, er intet andet end en formel til at gange en matrix med en søjle, og derfor resulterer matrixen, når den ganges med en søjle , i koordinaterne for vektoren , som opstod fra operatørens handling på vektoren , som var påkrævet for at blive opnået. $a_{k}^{j}x^{k}$ $a_{k}^{j}$ $x^{k}$ ${\mathbf {Ax}}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf {x}$

Kommentar: Hvis vi bytter et par kolonner eller rækker i den resulterende matrix, vil vi generelt set få en anden matrix, der svarer til det samme sæt af grundelementer. Med andre ord antages rækkefølgen af de grundlæggende elementer at være strengt ordnet. ${\mathbf {e}}_{k}$

Transformationseksempel

Betragt som et eksempel en 2×2 matrix af følgende form

{\mathbf A}={\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}\,

kan opfattes som transformationsmatrixen af et enhedskvadrat til et parallelogram med hjørner , , , og . Parallelogrammet vist i figuren til højre fås ved at gange matricen A med hver kolonnevektor og . Disse vektorer svarer til hjørnerne af enhedskvadratet. $(0, 0)$ $(a,b)$ $(a+c,b+d)$ $(c,d)$ ${\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix)),{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix)),{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix))$ ${\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}$

Følgende tabel giver eksempler på 2 × 2 matricer over reelle tal med deres tilsvarende R 2 lineære transformationer . Den blå farve angiver det oprindelige koordinatgitter, og den grønne er den transformerede. Koordinaternes oprindelse er markeret med en sort prik. $(0, 0)$

Vandret skift (m=1,25)	Vandret refleksion	Kompression [ ukendt term ] (r=3/2)	Homoteti (3/2)	Rotation (π/6 R = 30° )
${\begin{bmatrix}1&1.25\\0&1\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix))$	${\begin{bmatrix}3/2&0\\0&2/3\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}3/2&0\\0&3/2\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}\cos(\pi /6^{{R)))&-\sin(\pi /6^{{R)))\\\sin(\pi /6^{{R} })&\cos(\pi /6^{{R}})\end{bmatrix}}$

Vigtige specialtilfælde

En lineær form er en lineær afbildning, hvor: $W=K$
$f\colon V\to K$
Lineær endomorfi er en lineær kortlægning, for hvilken(operator): $V=W$
$f\kolon V\til V$
Identitetsoperatøren (identitetsoperatøren) er en operatør, der kortlægger hvert element i rummet ind i sig selv; normen for en sådan operator er lig med én (for normerede rum) $x\mapsto x$
Null-mapping er en operator, der konverterer hvert elementtil null-elementet. $V$ $W$
En projektor er en operatør, der tildeler hversin projektion på et underrum. $x$
Den konjugerede mapping til en mappinger en mappingpå, givet af relationen. $A\i L(V)$ $A^{*}$ $V^*$ $A^*f(x) := f(Ax)$
En selvadjoint-operator er en operator på et Hilbert-rum , der falder sammen med dens adjoint-operator. Nogle gange kaldes sådanne operatorer hypermaksimal Hermitian .
En hermitisk (eller symmetrisk) operator er en operatordefineret på et underrum af et Hilbert-rum, således atfor alle parfra definitionsdomænet. For overalt definerede operatører falder denne egenskab sammen med selvtilknytning. $EN$ $(Ax,y)=(x,Ay)$ $x,y$ $EN$
En enhedsoperator er en operator, hvis definitionsdomæne og værdiområde er hele det rum, der bevarer det skalære produkt; især bevarer enhedsoperatoren normen for enhver vektor. Den unitære inverse operator er den samme som den adjoint operator; normen for en enhedsoperatør er 1; i tilfælde af et reelt felt K kaldes enhedsoperatoren ortogonal . $(Ax,Ay)=(x,y)$ $\|Ax\|={\sqrt {(Ax,Ax)}}={\sqrt {(x,x)}}=\|x\|$ $A^{{-1}}=A^{*}$

Relaterede begreber

Kernen i en lineær mappinger den delmængde, der afbildes til nul: $f\colon V\to W$ $V$ ${\mbox{Ker}}\,f=\{x\in V\mid f(x)=0\}$

Kernen i en lineær mapping danner et underrum i et lineært rum .

V

Følgende delmængde kaldes billedet af en lineær mapping : $f$ $W$ ${\mbox{Im}}\,f=\{f(x)\in W\mid x\in V\}$

Billedet af en lineær afbildning danner et underrum i et lineært rum .

W

Billedet af en delmængde [3] med hensyn til den lineære transformation A kaldes mængden . $M\undersæt V$ $AM=\{Ax:x\in M\}$

En afbildning fra et direkte produkt af lineære rum og til et lineært rum siges at være bilineært , hvis det er lineært i begge sine argumenter. En direkte produktkortlægning af mere lineære rum kaldes multilineær , hvis den er lineær i alle sine argumenter. $f\colon V\times U\to W$ $V$ $W$ $U$ $f\colon A_{1}\times \dots \times A_{n}\to B$
En operator kaldes lineær inhomogen (eller affin ), hvis den har formen ${\tilde L}$ ${\tilde L}=L+v$

hvor er en lineær operator og er en vektor.

L

v

Lad . Et underrum siges at være invariant under en lineær afbildning, hvis [4] . $A:V til V$ $M\undersæt V$ $\forall x\in M,Ax\in M$

Kriterium for invarians. Lade være et underrum sådan, der nedbrydes til en direkte sum : . Så er den invariant under en lineær afbildning , hvis og kun hvis , hvor er en projektion på underrummet .

M\delsæt X

x

X=M\plus N

M

EN

P_{M}AP_{M}=AP_{M}

OM EFTERMIDDAGEN}

M

Faktor-operatører [5] . Lad være en lineær operator og lad være et underrum invariant under denne operator. Vi danner et kvotientrum ved underrummet . Så er en kvotientoperator en operator, der handler efter reglen: , hvor er en klasse fra kvotientrummet indeholdende . $A:V til V$ $M$ $V/\,{\overset {M}{\sim }}$ $M$ $A^+$ $V/\,{\overset {M}{\sim }}$ $\forall x^{+}\in V/\,{\overset {M}{\sim )),A^{+}x^{+}=[Ax]$ $[Økse]$ $Økse$
En bagudgående dobbelt mapping er givet mellem dobbeltrum .

Eksempler

Eksempler på lineære homogene operatorer:

differentieringsoperatør: ; $L\{x(\cdot )\}=y(t)={\frac {dx(t)}{dt))$
integrationsoperatør: ; $y(t)=\int \limits _{0}^{t}\!x(\tau )\,d\tau$
operator af multiplikation med en bestemt funktion ; $\varphi (t)\kolon y(t)=\varphi (t)x(t)$
integrationsoperatør med en given "vægt" $\varphi (t)\colon y(t)=\int \limits _{0}^{t}\!x(\tau ){\varphi}(\tau )\,d\tau$
operator til at tage funktionsværdien på et bestemt punkt : [6] ; $f$ $x_{0}$ $L\{f\}=f(x_{0})$
vektor-matrix multiplikationsoperator: ; $b=Ax$
vektor rotation operatør .

Eksempler på lineære ikke-homogene operatorer:

Enhver affin transformation ;
$y(t)={\frac {dx(t)}{dt}}+\varphi (t)$ ;
$y(t)=\int \limits _{0}^{t}\!x(\tau )\,d\tau +\varphi _{1}(t)$ ;
$y(t)=\varphi _{1}(t)x(t)+\varphi _{2}(t)$ ;

hvor , , er veldefinerede funktioner, og er en funktion transformeret af operatøren. $\varphi (t)$ $\varphi _{1}(t)$ $\varphi _{2}(t)$ $x(t)$

Noter

↑ E.B. Vinberg. Algebra kursus. - MTSNMO, 2013. - S. 234. - 590 s. — ISBN 978-5-4439-0209-8 , BBC 22.14.
↑ Shilov, 1961 , s. 203.
↑ M behøver ikke være et underrum.
↑ Eller :. $AM\undersæt M$
↑ Bruges også stavefaktoroperatorer .
↑ Nogle gange omtalt som $\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}\!f(x){\delta}(x-x_{0})\,dx$

Se også

Litteratur

Shilov G.E. Matematisk analyse. Særligt kursus. — M .: Nauka, 1961. — 436 s.