En lineær mapping er en generalisering af en lineær numerisk funktion (mere præcist, en funktion ) til tilfældet med et mere generelt sæt argumenter og værdier. Lineære kortlægninger, i modsætning til ikke-lineære kortlægninger, er tilstrækkeligt godt undersøgt, hvilket gør det muligt med succes at anvende resultaterne af den generelle teori, da deres egenskaber ikke afhænger af mængdernes art.
En lineær operator (transformation) er et specialtilfælde af en lineær afbildning af et vektorrum ind i sig selv. [en]
En lineær afbildning af et vektorrum over et felt til et vektorrum over det samme felt ( en lineær operator fra til ) er en afbildning
,opfylder linearitetsbetingelsen [2]
, .for alle og .
Hvis og er det samme vektorrum, så er det ikke bare en lineær afbildning, men en lineær transformation .
Hvis kun den første egenskab er sand, kaldes en sådan mapping additiv .
Hvis vi definerer operationerne addition og multiplikation med en skalar fra hovedfeltet som
så er sættet af alle lineære afbildninger fra til et vektorrum, som normalt betegnes som
Hvis vektorrum og er lineære topologiske rum , det vil sige topologier er defineret på dem , med hensyn til hvilke operationerne af disse rum er kontinuerte , så kan begrebet en afgrænset operator defineres: en lineær operator kaldes afgrænset, hvis det tager afgrænsede sæt til afgrænsede (især er alle kontinuerte operatorer afgrænsede ). Især i normerede rum er et sæt afgrænset, hvis normen for et af dets elementer er begrænset; derfor siges en operator i dette tilfælde at være begrænset, hvis der eksisterer et tal N , således at . Det kan påvises, at i tilfælde af normerede rum er kontinuitet og afgrænsethed af operatører ækvivalente. Den mindste af konstanterne N , der opfylder ovenstående betingelse, kaldes operatornormen :
Indførelsen af normen for operatorer giver os mulighed for at betragte rummet af lineære operatorer som et normeret lineært rum (man kan kontrollere gyldigheden af de tilsvarende aksiomer for den introducerede norm). Hvis rummet er Banach , så er rummet for lineære operatorer også Banach.
En operator kaldes den inverse af en lineær operator, hvis følgende relation gælder:
Det omvendte af en lineær operator er også en lineær operator. Hvis en lineær kontinuert operator kortlægger et Banach-rum (eller F-space ) til et andet, så er den inverse operator også en lineær kontinuerlig operator.
En lineær matrix er en matrix, der udtrykker en lineær matrix på et eller andet grundlag . For at opnå det er det nødvendigt at påvirke afbildningen på basisvektorerne og skrive koordinaterne for de opnåede vektorer (billeder af basisvektorerne) ind i matrixens kolonner.
Visningsmatrixen ligner koordinaterne for en vektor. I dette tilfælde er handlingen af kortlægning på en vektor ækvivalent med at gange en matrix med en kolonne af koordinater for denne vektor på samme basis.
Lad os vælge et grundlag . Lad være en vilkårlig vektor. Så kan det udvides på dette grundlag:
,hvor er vektorens koordinater i det valgte grundlag.
Her og nedenfor antages summering over dumme indekser .
Lad være en vilkårlig lineær kortlægning. Vi handler på begge sider af den tidligere ligestilling, får vi
.Vi udvider også vektorerne i det valgte grundlag, får vi
,hvor er den -th koordinat af den -th vektor fra .
Ved at erstatte udvidelsen med den forrige formel får vi
.Udtrykket , omgivet af parenteser, er intet andet end en formel til at gange en matrix med en søjle, og derfor resulterer matrixen, når den ganges med en søjle , i koordinaterne for vektoren , som opstod fra operatørens handling på vektoren , som var påkrævet for at blive opnået.
Kommentar: Hvis vi bytter et par kolonner eller rækker i den resulterende matrix, vil vi generelt set få en anden matrix, der svarer til det samme sæt af grundelementer. Med andre ord antages rækkefølgen af de grundlæggende elementer at være strengt ordnet.
Betragt som et eksempel en 2×2 matrix af følgende form
kan opfattes som transformationsmatrixen af et enhedskvadrat til et parallelogram med hjørner , , , og . Parallelogrammet vist i figuren til højre fås ved at gange matricen A med hver kolonnevektor og . Disse vektorer svarer til hjørnerne af enhedskvadratet.
Følgende tabel giver eksempler på 2 × 2 matricer over reelle tal med deres tilsvarende R 2 lineære transformationer . Den blå farve angiver det oprindelige koordinatgitter, og den grønne er den transformerede. Koordinaternes oprindelse er markeret med en sort prik.
Vandret skift (m=1,25) | Vandret refleksion | Kompression [ ukendt term ] (r=3/2) | Homoteti (3/2) | Rotation (π/6 R = 30° ) |
Eksempler på lineære homogene operatorer:
Eksempler på lineære ikke-homogene operatorer:
hvor , , er veldefinerede funktioner, og er en funktion transformeret af operatøren.