Topologisk vektorrum

Topologisk vektorrum eller topologisk lineært rum er et vektorrum udstyret med en topologi , med hensyn til hvilken operationerne med addition og multiplikation med et tal er kontinuerlige . Udtrykket bruges hovedsageligt i funktionsanalyse [1] .

Definition

Et sæt kaldes et topologisk vektorrum, hvis [2] [1] $E$

$E$ er et vektorrum over feltet af reelle eller komplekse tal ;
$E$ er et topologisk rum ;
Operationerne med addition og multiplikation med et tal er kontinuerlige i forhold til den givne topologi, dvs $E$
1. hvis , så for hvert kvarter af punktet kan man angive sådanne kvarterer og punkter og henholdsvis at for , ; $z_{0}=x_{0}+y_{0}$ $U$ $z_{0}$ $V$ $W$ $x_{0}$ $y_0$ $x+y\i U$ $x \i V$ $y\i W$
2. hvis , så for hvert kvarter af punktet eksisterer der et kvarter til punktet og et tal sådan, at for og . $z_{0}=\alpha _{0}x_{0}$ $U$ $z_{0}$ $V$ $x_{0}$ $\varepsilon >0$ $\alpha x\i U$ $|\alpha -\alpha _{0}|<\varepsilon$ $x \i V$

Eksempler

euklidisk rum ;
Banach plads .

Typer af lineære topologiske rum

Afhængigt af specifikke anvendelser pålægges der normalt nogle yderligere betingelser for lineære topologiske rum. Nogle typer af lineære topologiske rum er anført nedenfor, ordnet (med en vis grad af konvention) efter tilstedeværelsen af "gode" egenskaber.

Lokalt konvekse topologiske vektorrum (simpelthen "lokalt konvekse rum" for kort): i sådanne rum har hvert punkt en lokal base bestående af konvekse sæt . Ved hjælp af de såkaldte Minkowski-funktionaler kan det påvises, at et topologisk vektorrum er lokalt konveks, hvis og kun hvis dets topologi er defineret ved hjælp af en familie af seminormer . Betingelsen for lokal konveksitet har længe været netop det koncept, som alene kan bygges en teori rig på anvendelser på, fordi rum, der ikke er lokalt konvekse, kan have forskellige patologiske egenskaber, og deres geometri kan være for "unaturlig" til anvendelser . Men på nuværende tidspunkt er teorien om lokalt afgrænsede rum (generelt ikke-konvekse) begyndt at udvikle sig aktivt.
Tønderum : lokalt konvekse rum, hvor princippet om ensartet afgrænsning gælder .
Stereotype rum : lokalt konvekse rum, der opfylder refleksivitetsbetingelsen , hvor det dobbelte rum er udstyret med topologien af ensartet konvergens på totalt afgrænsede sæt.
Montel-rum : rum med tønde, der har Heine-Borel-ejendommen .
Bornologiske rum : lokalt konvekse rum, hvor kontinuerlige lineære operatorer med værdier i lokalt konvekse rum er nøjagtigt afgrænsede lineære operatorer.
LF-mellemrum : LF-mellemrum er den induktive grænse for Fréchet-mellemrum. ILH-rum er projektive grænser for Hilbert-rum.
F-rum : komplet topologiske vektorrum med invariant (under skift) metrisk. Især alle rum L p (p > 0) er sådanne.
Fréchet-rum : lokalt konvekse rum, hvis topologi er givet af en eller anden skift-invariant metrik, eller tilsvarende, af en tællig familie af seminormer. Begrebet et Fréchet-rum er en af de vigtigste generaliseringer af begrebet et Banach-rum. Mange funktionsrum af interesse er Fréchet-rum. Et Fréchet-rum kan også defineres som et lokalt konveks F-rum.
Nukleare rum : et vigtigt specialtilfælde af Fréchet-rum; i nukleare rum er enhver afgrænset kortlægning med værdier i et vilkårligt Banach-rum en nuklear operatør . Nukleare rum er sammen med Banach-rum Frechet-rum af størst interesse. I dette tilfælde danner klasserne af nukleare og Banach-rum ved skæringspunktet en klasse af finit-dimensionelle rum.
Normerede rum : lokalt konvekse rum, hvis topologi er givet af en norm . Lineære operatorer, der virker på normerede rum, er kontinuerlige, hvis og kun hvis de er afgrænset.
Banach-rum : komplette normerede rum. De er genstand for undersøgelse af klassisk funktionel analyse; de fleste af analysesætningerne er formuleret præcist til Banach-rum.
Refleksive Banach-rum : Banach-mellemrum er naturligt isomorfe i forhold til deres anden konjugation .
Hilbert-rum : Banach-rum, hvis norm er genereret af et indre produkt ; på trods af, at disse rum kan være uendelig-dimensionelle, er deres geometriske egenskaber meget tæt på dem for endeligt-dimensionelle rum.
Euklidiske rum : finit-dimensionelle Hilbert-rum. Ethvert lokalt kompakt Hausdorff topologisk vektorrum er isomorft (som et topologisk vektorrum) til et eller andet euklidisk rum.

Noter

↑ 1 2 Topologisk vektorrum // Mathematical Encyclopedic Dictionary / kap. udg. Yu. V. Prokhorov . - M., Soviet Encyclopedia , 1988. - s. 582
↑ Kerin S. G. Funktionel analyse. - M., Nauka , 1972. - s. 19-21

Litteratur

Shefer H. Topologiske vektorrum. — M.: Mir, 1971.
Bourbaki N. Topologiske vektorrum. — M.: Udg. udenlandsk lit., 1965.
Robertson A., Robertson V. Topologiske vektorrum. — M.: Mir, 1967.
Smolyanov O. G. Analyse af topologiske lineære rum og dets anvendelser : lærebog. godtgørelse. - M .: Moscow State Universitys forlag, 1979. - 86 s.