Kvadratroden af 5

Irrationelle tal ζ (3) - ρ - √ 2 - √ 3 - √ 5 - ln 2 - φ,Φ - ψ - α,δ - e - e π og π
Notation	Anslået antal √ 5
Decimal	2,23606797749978969…
Binær	10.0011110001101111…
duodecimal	2.29BB1325405891918…
Hexadecimal	2.3C6EF372FE94F82C…
Sexagesimal	2;14 09 50 40 59 18 …
Rationelle Approksimationer	7/3 ; _ _ 9/4 ; _ _ 20/9 ; _ _ 29/13 ; _ _ 38/17 ; _ _ 123/55 ; _ _ 161/72 ; _ _ 360/161 ; _ _ 521/233 ; _ _ 682/305 ; _ _ 2207/987 ; _ _ 2889 / 1292 (opført i rækkefølge efter stigende nøjagtighed)
Fortsat brøkdel	$2+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+\ddotter ))))))))))$

2,2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152 5724270897 2454105209 2563780489 9414414408 3787822749 6950817615 0773783504 2532677244 4707386358 6360121533 4527088667 7817319187 9165811276 6453226398 5658053576 1350417533 7850034233 9241406444 2086432539 0972525926 2722887629 9517402440 6816117759 0890949849 2371390729 7288984820 8864154268 9894099131 6935770197 4867888442 5089754132 9561831769 2149997742 4801530434 1150359576 6833251249 8815178139 4080005624 2085524354 2235556106 3063428202 3409333198 2933959746 3522712013 4174961420 2635904737 8855043896 8706113566 0045757139 9565955669 5691756457 8221952500 0605392312 3400500928 6764875529 7220567662 5366607448 5853505262 3306784946 3342224231 7637277026 6324076801 0444331582 5733505893 0981362263 4319868647 1946989970 1808189524 2644596203 4522141192 2329125981 9632581110 4170495807 0481204034 5599494350 6855551855 5725123886 4165501026 2436312571 0244496187 8942468290 3404474716 1154557232 0173767659 0460918529 57560357 79 8439805415 5380779064 3936397230 2875606299 9482213852 1773485924 5351512104 6345555040 872427

De første 1000 tegn i værdien er √ 5 [1] .

Kvadratroden af 5 er et positivt reelt tal, der, når det ganges med sig selv, giver 5 . Det er et irrationelt og algebraisk tal [2] .

Den afrundede værdi på 2,236 er korrekt til inden for 0,01%. Computerberegnet nøjagtighed er mindst 1.000.000 tegn [3] .

Kan udtrykkes som en fortsat fraktion [2; 4, 4, 4, 4, 4, 4, ...], sekventielt er disse fraktioner:

{\color {OliveGreen}{\frac {2}{1))},{\frac {7}{3)),{\color {OliveGreen}{\frac {9}{4))},{\frac {20}{9)),{\frac {29}{13)),{\color {OliveGreen}{\frac {38}{17))},{\frac {123}{55)),{\ farve {OliveGreen}{\frac {161}{72}}},{\frac {360}{161}},{\frac {521}{233}},{\color {OliveGreen}{\frac {682} {305}}},{\frac {2207}{987}},{\color {OliveGreen}{\frac {2889}{1292}}},\dots

Gennem en uendelig indlejret radikal: $\sqrt{5}={\sqrt{\sqrt{20+\sqrt{20+\sqrt{20+...)))}}}\prikker$

Babylonsk metode

Beregning af roden af , begyndende med , hvor : $5$ $r_{0}=2$ $r_{n+1}={\frac {r_{n}+{\tfrac {5}{r_{n)))){2))$

{\frac {2}{1}}=2.0,\quad {\frac {9}{4}}=2.25,\quad {\frac {161}{72}}=2.23611\dots ,\quad {\frac {51841}{23184}}=2,2360679779\ldots

Golden Ratio

Det gyldne snit er det aritmetiske gennemsnit af 1 og kvadratroden af 5 [4] . ( ) kan udtrykkes algebraisk som følger: $\Phi$ $\varphi =1/\Phi$

{\sqrt {5}}=\varphi +\Phi =2\varphi +1=2\Phi -1

\varphi ={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}

\Phi ={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}.

Fibonacci-tal kan udtrykkes i kvadratroden af 5 på denne måde:

F\left(n\right)={{\Phi ^{n}-(1-\Phi )^{n)) \over {\sqrt {5))}.

Forholdet mellem √5 og omvendt giver interessante afhængigheder af fortsatte brøker med Fibonacci-tal og Lucas-tal [5] : $\Phi$

{\frac {\sqrt {5}}{\Phi }}=\varphi \cdot {\sqrt {5}}={\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}= 1,3819660112501051518\dots =[1;2,1,1,1,1,1,1,1,\dots ]

{\frac {\Phi }{\sqrt {5}}}={\frac {1}{\varphi \cdot {\sqrt {5}}}}={\frac {5+{\sqrt { 5}}}{10}}=0,72360679774997896964\dots =[0;1,2,1,1,1,1,1,1,\dots ].

{1,{\frac {3}{2)),{\frac {4}{3)),{\frac {7}{5)),{\frac {11}{8)),{\frac {18}{13)),{\frac {29}{21)),{\frac {47}{34)),{\frac {76}{55)),{\frac {123}{89} }},\dots \dots [1;2,1,1,1,1,1,1,1,\dots ]

{1,{\frac {2}{3)),{\frac {3}{4)),{\frac {5}{7)),{\frac {8}{11)),{\frac {13}{18)),{\frac {21}{29)),{\frac {34}{47)),{\frac {55}{76)),{\frac {89}{123} }},\dots \dots [0;1,2,1,1,1,1,1,1,\dots ].

Algebra

Ringen indeholder tal af formen , hvor a og b er heltal og er et imaginært tal . Denne ring er et eksempel på et integritetsdomæne , der ikke er en faktoriel ring . $\mathbb {Z} \left[\,{\sqrt {-5}}\,\right]$ $a\,+\,b{\sqrt {-5}}$ ${\sqrt {-5}}=i{\sqrt {5}}$

Tallet 6 er repræsenteret i denne ring på to måder:

6=2\cdot 3=(1-{\sqrt {-5)))(1+{\sqrt {-5)))

Feltet er en abelsk forlængelse af rationelle tal. $\mathbb {Q} \left[\,{\sqrt {5}}\,\right]$

Kronecker-Weber- sætningen siger, at roden af 5 kan udtrykkes som en lineær kombination af enhedsrødder :

{\sqrt {5}}=e^{2\pi i/5}-e^{4\pi i/5}-e^{6\pi i/5}+e^{8\pi i/5}.

Ramanujans identiteter

Roden af 5 vises i sættet af Ramanujan- identiteter med fortsatte brøker [6] [7] .

For eksempel, sagen om Rogers-Ramanujan fortsatte fraktioner:

{\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{{-2\pi }}}{1+{\cfrac {e^{{-4\pi }}}{1+{\cfrac {e ^{{-6\pi }}}{1+\ddots }}}}}}}}=\venstre({\sqrt {{\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}} }-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)e^{{2\pi /5}}=e^{{2\pi /5}}\venstre({ \sqrt {\varphi {\sqrt {5))))-\varphi \right).

{\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{{-2\pi {\sqrt {5))))}{1+{\cfrac {e^{{-4\pi {\sqrt { 5}}}}}{1+{\cfrac {e^{{-6\pi {\sqrt {5}}}}}{1+\ddots }}}}}}}}=\venstre({{ \sqrt {5}} \over 1+\left[5^{{3/4}}(\varphi -1)^{{5/2}}-1\right]^{{1/5}}} -\varphi \right)e^{{2\pi /{\sqrt {5))))

4\int _{0}^{\infty }{\frac {xe^{{-x{\sqrt {5}}}}}{\cosh x}}\,dx={\cfrac {1}{1 +{\cfrac {1^{2}}{1+{\cfrac {1^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}} {1+{\cfrac {3^{2}}{1+{\cfrac {3^{2}}{1+\ddots }})))))))))))))))).

Bevis for irrationalitet

Lad os bevise, at tallet er et irrationelt tal. Vi vil bevise ved modsigelse. Antag, at et tal kan repræsenteres som en irreducerbar brøk , hvor er et heltal og er et naturligt tal: ${\sqrt {5}}$ ${\sqrt {5}}$ ${\frac {n}{m))$ $m$ $n$

{\sqrt {5}}={\frac {n}{m}}\Rightarrow 5={\frac {n^{2}}{m^{2}}}\Rightarrow 5m^{2} =n^{2}

$n^{2}$ er deleligt med , hvilket betyder at det også er deleligt med ; derfor er deleligt med , og er derfor også deleligt med . Det vil sige, at brøken kan reduceres, og det er i modstrid med det oprindelige udsagn. Derfor var den oprindelige erklæring falsk og er et irrationelt tal. $5$ $n$ $5$ $n^{2}$ $25$ $m$ $m^{2}$ $5$ ${\sqrt {5}}$

Se også

Noter

↑ Kvadratroden af fem . Dato for adgang: 15. februar 2015. Arkiveret fra originalen 11. september 2015. (ubestemt)
↑ Dauben, Joseph W. (juni 1983) Scientific American Georg Cantor og oprindelsen af transfinite mængdeteori. bind 248; Side 122.
↑ R. Nemiroff og J. Bonnell: De første 1 million cifre af kvadratroden af 5 Arkiveret 5. januar 2011 på Wayback Machine
↑ Browne, Malcolm W. (30. juli 1985) New York Times Puzzling Crystals kaster videnskabsmænd ud i usikkerhed. Sektion: C; Side 1. (Bemærk - dette er en meget citeret artikel).
↑ Richard K. Guy : "Små tals stærke lov". American Mathematical Monthly , vol. 95, 1988, s. 675-712
↑ Ramanathan, KG (1984), On the Rogers-Ramanujan fortsatte fraktion , Indian Academy of Sciences. Sager. Mathematical Sciences T. 93 (2): 67-77 , MR : 813071 , ISSN 0253-4142
↑ Eric W. Weisstein, Ramanujan Continued Fractions , < http://mathworld.wolfram.com/RamanujanContinuedFractions.html > Arkiveret 24. januar 2011 på Wayback Machine hos MathWorld

Links

Bevis på, at kvadratroden af 5 er irrationel ( downlink )
Theodorus' konstant arkiveret 18. marts 2020 på Wayback Machine på MathWorld

Irrationelle tal
Apéry konstant ( ζ(3) ) Erdős-Borwein konstant ( E ) Feigenbaum konstanter Sofomorisk drøm Primtalskonstant (ρ) Plastnummer (ρ) Logaritme af to (ln 2) 12. rod af 2 ( 12 √ 2 ) Kvadratroden af 2 ( √ 2 ) Kvadratroden af 3 ( √ 3 ) Kvadratroden af 5 ( √5 ) Gyldne forhold (φ) Super gyldne snit (ψ) Sølvsektion ( δS ) e π Gelfond konstant ( e π ) Gelfond-Schneider konstant ( 2 √ 2 ) Invers Fibonacci konstant (ψ)
transcendental Trigonometrisk

Kvadratroden af ​​5