Deltapotentiale i kvantemekanik

Deltapotentiale i kvantemekanik er det generelle navn for de potentielle energiprofiler for en partikel, givet ved udtryk med Dirac delta-funktionen . Sådanne profiler modellerer den fysiske situation, når der er meget snævre og skarpe maksima eller minima af potentialet.

Simple eksempler på sådanne profiler er en delta - formet tunnelbarriere og en delta - formet kvantebrønd af formen Spørgsmålet rejses om transmissionskoefficienten for en partikel, samt om eksistensen og energierne af bundne tilstande. $U(x)=\lambda /m\cdot \delta (x)$ $\lambda$ $\cdot$ $\cdot$ $x$ $m$

I de fleste tilfælde, når man overvejer en partikels opførsel, søger man en løsning på den endimensionelle stationære Schrödinger-ligning med det tilsvarende potentiale. Det antages normalt, at partiklen kun bevæger sig i retningen , og der er ingen bevægelse i det vinkelrette plan . $x$ $yz$

En tilgang til løsning af Schrödinger-ligningen

Den stationære endimensionelle Schrödinger-ligning for bølgefunktionen har formen $\psi(x)$

{\hat {H}}\psi (x)=\venstre[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2 }}}+U(x)\højre]\psi (x)=E\psi (x)

hvor er Hamiltonian , er Plancks konstant , er partiklens samlede energi og . Efter at have integreret denne ligning over et smalt snit nær nul ${\hat {H}}$ $\hbar$ $E$ $U(x)=\lambda /m\cdot \delta (x)$

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\epsilon }^{+\epsilon }\psi ''(x)\,dx+\int _{-\epsilon }^{+\epsilon }U(x)\psi (x)\,dx=E\int _{-\epsilon }^{+\epsilon }\psi (x)\,dx,\quad \epsilon \rightarrow 0

lykkes

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left(\psi _{R}'(0)-\psi _{L}'(0)\ \right)+{\ frac {\lambda }{m}}\psi (0)=0

Store ikoner og angiver områder til venstre og højre for barrieren eller pit (fra engelsk venstre, højre ). På punktet skal betingelsen om kontinuitet af bølgefunktionen være opfyldt $_{L}$ $_{R}$ $x=0$

\psi _{L}(0)=\psi _{R}(0)

og kontinuitetsbetingelsen for sandsynlighedsfluxtætheden

{\frac {d\psi _{L}}{dx}}(0)={\frac {d\psi _{R}}{dx}}(0)-{\frac {2\lambda }{\hbar ^{2}}}\psi _{R}(0)

Disse to forhold er relevante, uanset om vi taler om en delta-formet barriere eller en brønd, og også (for en brønd), om energiværdien er større eller mindre end nul (for en barriere er muligheden umulig). $E$ $E<0$

Transmissions- og refleksionskoefficienter

I dette afsnit antager vi , og betragter passagen af en partikel gennem en barriere eller over en brønd. $E>0$

En barriere eller grube deler rummet i to dele ( ). I begge disse områder er løsningen på Schrödinger-ligningen plane bølger og kan skrives som deres superposition : $x<0,\,\,x>0$

\psi _{L}(x)=A_{r}e^{ikx}+A_{l}e^{-ikx},\quad x<0

\psi _{R}(x)=B_{r}e^{ikx}+B_{l}e^{-ikx},\quad x>0

hvor er bølgevektoren . Små indekser og ved koefficienterne og angiver retningen af bølgevektoren til højre og til venstre. Forholdet mellem disse koefficienter kan findes fra betingelserne for og skrevet ud i slutningen af det foregående afsnit: $k={\sqrt {2mE}}/\hbar$ $r$ $l$ $EN$ $B$ $\psi$ $\psi'$ $x=0$

{\displaystyle A_{r}+A_{l}=B_{r}+B_{l))

ik(A_{r}-A_{l}-B_{r}+B_{l})=-{\dfrac {2\lambda }{\hbar ^{2))}\left(B_{r }+B_{l}\right)

Lad den indfaldende partikel nærme sig barrieren fra venstre ( og ), så har koefficienterne og , som bestemmer sandsynligheden for henholdsvis refleksion og passage, formen: $A_{r}=1$ $B_{l}=0$ $A_{l}=r$ $B_{r}=t$

t={\frac {1}{{\frac {i\lambda }{\hbar ^{2}k}}+1)),\qquad r={\frac {1}{{\frac { i\hbar ^{2}k}{\lambda }}-1}}

I det klassiske tilfælde kan en partikel med endelig energi ikke overvinde den uendelige potentialbarriere, og den vil med garanti passere over brønden. Med kvantetilgangen er situationen anderledes: transmissions- og refleksionskoefficienterne er $E>0$

T=|t|^{2}={\frac {1}{1+{\frac {\lambda ^{2)){\hbar ^{4}k^{2))))}= {\frac {1}{1+{\frac {\lambda ^{2}}{2m\hbar ^{2}E}}}}

{\displaystyle R=|r|^{2}=1-T={\frac {1}{1+{\frac {\hbar ^{4}k^{2}}{\lambda ^{2}} ))}={\frac {1}{1+{\frac {2m\hbar ^{2}E}{\lambda ^{2))))))))

Der er tre uventede, fra et klassisk synspunkt, resultater på én gang. For det første er der en sandsynlighed for passering, der ikke er nul (transmissionskoefficient ) for en uendelig høj barriere. For det andet, da formlen er ret anvendelig til negativ , er sandsynligheden for overgravspassage forskellig fra enhed. For det tredje ændres værdien ikke, når tegnet ændres , det vil sige, at sandsynligheden for at tunnelere en partikel med energi gennem barrieren og passere gennem brønden over brønden er den samme i antal. $\lambda$ $T$ $\lambda$ $E$

Diskret tilstand i en delta-formet brønd

I dette afsnit antages det, at , og kun brønden ( ) betragtes, nemlig energien af den diskrete tilstand af partiklen i den bestemmes. $E<0$ $\lambda <0$

I begge regioner kan løsningen af Schrödinger-ligningen, som ovenfor, skrives som en sum af eksponentialer

\psi _{L}(x)=A_{r}e^{ikx}+A_{l}e^{-ikx},\quad x<0

\psi _{R}(x)=B_{r}e^{ikx}+B_{l}e^{-ikx},\quad x>0

hvor . Men nu er det en imaginær værdi, og derfor skal kun de eksponenter, der henfalder, ikke øges, med plus og minus uendeligt efterlades i posten: $k={\sqrt {2mE}}/\hbar$ $k$

\psi _{L}(x)=A_{l}e^{-ikx}=A_{l}e^{|k|x},\quad x<0

\psi _{R}(x)=B_{r}e^{ikx}=B_{r}e^{-|k|x},\quad x>0

Af betingelserne for og ved følger og, allerede under hensyntagen til dette krav, . Herfra $\psi$ $\psi'$ $x=0$ ${\displaystyle A_{l}=B_{r))$ ${\displaystyle |k|=-\lambda /\hbar ^{2))$

E_{level}=-{\frac {\lambda ^{2}}{2m\hbar ^{2}}}

det vil sige, i en delta-formet brønd er der præcis et niveau med den skrevne energi.

Praktisk relevans af deltamodellen

Situationen med tunneling gennem et deltapotentiale er det begrænsende tilfælde af tunneling gennem en rektangulær barriere af bredde og højde , hvor tendensen til nul, og k opstår på en sådan måde, at produktet er konstant og lig med en konstant . $-en$ $V$ $-en$ $V$ $+\infty$ $V\cdot a$ $g=\lambda /m$

Problemet med at tunnelere gennem en delta-lignende barriere er et standardmodelproblem inden for kvantemekanik. Det opstår f.eks., når man beskriver strømoverførslen mellem to ledende områder, hvor der spontant dannes en tynd oxidfilm. Hvis filmtykkelsen og dens kemiske sammensætning er tilnærmelsesvis kendt, kan en rektangulær eller trapezformet barrieremodel anvendes. Men i nogle tilfælde er den eneste udvej at bruge deltapotentialemodellen.

På samme måde med deltabrøndproblemet: modellen kan bruges som en grov tilnærmelse. Værdien fungerer som en tilpasningsparameter for både barrieren og brønden. $\lambda$

Litteratur

Landau L.D., Lifshits E.M. Kvantemekanik (non-relativistisk teori). — Udgave 4. — M .: Nauka , 1989 . — 768 s. - ("Teoretisk fysik", bind III). - ISBN 5-02-014421-5 .

Modeller af kvantemekanik
Endimensionel uden spin	fri partikel Grube med endeløse vægge Rektangulær kvantebrønd delta potentiale Trekantet kvantebrønd Harmonisk oscillator Potentiel trædesten Pöschl-Teller potentiale godt Modificeret Pöschl-Teller potentialebrønd Partikel i et periodisk potentiale Dirac potentiel kam Partikel i ringen
Multidimensionel uden spin	cirkulær oscillator Hydrogen molekyle ion Symmetrisk top Sfærisk symmetriske potentialer Woods-saksisk potentiale Keplers problem Yukawa-potentiale Morse potentiale Hulthen potentiale Kratzers molekylære potentiale Eksponentielt potentiale
Inklusiv spin	hydrogenatom Hydrid ion helium atom