Tunnel gennem en rektangulær barriere

Tunnelering gennem en rektangulær barriere er en kvantemekanisk tunneleffekt i en situation, hvor den potentielle barriere for en partikel har en rektangulær form, nemlig konstant i tunnelområdet . $U(x)$ $U(x)=V=\,$ $0<x<a$

Det antages normalt, at på begge sider af barrieren , at partiklens samlede energi kun er forbundet med bevægelse i retningen (ingen bevægelse i det vinkelrette plan ), og at partiklens masse er uændret. $U=0$ $E$ $x$ $yz$ $m$

Typiske værdier for parametrene er: - i størrelsesordenen en elektronvolt , - flere nanometer , og tunnelpartiklerne er elementære partikler (elektroner osv.). $V$ $-en$

I analysen af tunneling er problemet at beregne sandsynligheden for at passere gennem en barriere i en enkelt kollision af en partikel med den. Den rektangulære barriere opstår som den enkleste tilnærmelse for rigtige barrierer, hvilket gør det muligt at opnå en simpel analytisk løsning. $T(E)$

Løsning

En partikel beskrevet af en plan bølge falder på barrieregrænsen til højre og reflekteres delvist med en amplitude En del af bølgen passerer gennem barrieren med en sandsynlighedsamplitude Udtryk for en partikels bølgefunktion i tre områder i den endimensionelle sag: $r.$ $t.$

\psi _{1}(x)=e^{ik_{1}x}+re^{-ik_{1}x}\,(x<0);

\psi _{2}(x)=Ae^{k_{2}x}+Be^{-k_{2}x}\,(0<x<a);

\psi _{3}(x)=te^{ik_{1}x}\,(a<x).

Det antages her, at bølgevektorerne er:

k_{1}={\sqrt {\frac {2mE}{\hbar ^{2))))),

k_{2}={\sqrt {\frac {2m(VE)}{\hbar ^{2))))

Da selve bølgefunktionerne ved barrieregrænserne og deres første afledte ikke må have diskontinuiteter, bruges denne betingelse til at matche bølgefunktionerne og deres afledte ved grænserne, og der opnås fire ligninger med fire ukendte:

1+r=A+B

ik_{1}-irk_{1}=k_{2}A-k_{2}B

{\displaystyle Ae^{k_{2}a}+Be^{-k_{2}a}=te^{ik_{1}a))

k_{2}Ae^{k_{2}a}-k_{2}Be^{-k_{2}a}=ik_{1}te^{ik_{1}a}.

Deres løsninger:

A\left(1-i{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)+B\left(1+i{\frac {k_{2}}{k_{1 }}}\right)=2

A={\frac {t}{2}}e^{-k_{2}a}e^{ik_{1}a}\left(1+i{\frac {k_{1}}{ k_{2}}}\right)

B={\frac {t}{2}}e^{k_{2}a}e^{ik_{1}a}\left(1-i{\frac {k_{1}}{k_ {2}}}\right)

te^{-k_{2}a}\left(1+i{\frac {k_{1}}{k_{2}}}\right)\left(1-i{\frac {k_{ 2}}{k_{1}}}\right)+te^{k_{2}a}\left(1-i{\frac {k_{1}}{k_{2}}}\right)\venstre (1+i{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)=4e^{-ik_{1}a}

t={\frac {4e^{-ik_{1}a}}{e^{-k_{2}a}\left(2+i\left({\frac {k_{1}}{ k_{2}}}-{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)\right)+e^{k_{2}a}\left(2-i\left({\ frac {k_{1}}{k_{2}}}-{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)\right)))

t={\frac {4e^{-ik_{1}a}}{4\cosh {k_{2}a}-2i\left({\frac {k_{1}}{k_{2} }}-{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)\sinh {k_{2}a}}},

hvorfra følger udtrykket for transmissionskoefficienten:

T=|t|^{2}=t\cdot t^{\ast }={\frac {1}{\cosh ^{2}{k_{2}a}+{\frac {1} {4}}\venstre({\frac {k_{1}}{k_{2}}}-{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)^{2}\sinh ^ {2}{k_{2}a}}}={\frac {1}{1+{\frac {(k_{1}^{2}+k_{2}^{2})^{2}} {4k_{1}^{2}k_{2}^{2}}}\sinh ^{2}{k_{2}a}}}.

Bemærk. I denne sammenhæng kan vi betragte situationen med et delta-lignende potentiale , beskrevet af Dirac delta-funktionen , Dette er det begrænsende tilfælde af en rektangulær barriere, der tenderer til et uendeligt højt og samtidig uendeligt snævert potentiale (og således at produkt, hvor er en vis konstant). Så viser det sig $U(x)=g\delta(x).$ $Va=g,$ $g$ $T=(1+g^{2}{\frac {m}{2\hbar ^{2}E)))^{-1}.$

Hvis partiklens energi er over barrieren, så:

k_{2}={\sqrt {\frac {2m(EV)}{\hbar ^{2))))),

og få et andet resultat:

T={\frac {1}{1+{\frac {(k_{1}^{2}-k_{2}^{2})^{2}}{4k_{1}^{2 }k_{2}^{2}}}\sin ^{2}{k_{2}a}}}.

Ved , er kvantetransmissionskoefficienten generelt forskellig fra enhed, i modsætning til det klassiske tilfælde. Nonmonotoniciteter finder sted i denne energiregion $E>V$ $T(E).$

Litteratur

Griffiths, David J. Introduktion til kvantemekanik (2. udgave) (engelsk) . — Prentice Hall , 2004.