Hilberts tolvte problem eller Jugendtraum (fra tysk - "barndomsdrøm") Kronecker - et af de 23 matematiske problemer , udtalt af David Hilbert i 1900 [1] [2] , formuleret som en forlængelse af Kronecker-Webers sætning om den abelske udvidelse af feltet af rationelle tal på et vilkårligt algebraisk talfelt . Det vil sige, at der anmodes om analoger til enhedsrødderne i form af komplekse tal , som er specifikke værdier af den eksponentielle funktion ; kravet er, at sådanne tal genererer en hel familie af yderligere numeriske felter, der er analoger til cyklotomiske felter og deres underfelter.
Den klassiske teori om kompleks multiplikation, nu ofte omtalt som Kroneckers Jugendtraum , gør dette for ethvert imaginært kvadratisk felt ved hjælp af modulære funktioner og elliptiske funktioner valgt med et bestemt periodegitter forbundet med det pågældende felt. Goro Shimura udvidede dette til CM-felter. Den generelle sag forbliver åben fra 2022. Leopold Kronecker beskrev problemet med kompleks multiplikation som hans "liebster Jugendtraum" eller "sin ungdoms elskede drøm".
I afsnit 12 i sin rapport Problems in Mathematics (1900) giver Hilbert Kroneckers Jugendtraum "af særlig betydning" [1] [2] , og påpeger, at Kronecker beviste (1853) en sætning (opdateret af Weber og Hilbert i 1886), at :
(...) hvert abelsk talfelt i de rationelle tals rige er indlejret i et felt af enhedsrødder. (...) Da det enkleste efter arealet af rationelle tal er det komplekse kvadratiske talareal, opstår problemet med at bevise Kronecker-sætningen også for dette tilfælde. (...) Beviset for Kroneckers formodning er endnu ikke fundet. Ikke desto mindre tror jeg, at det kan udføres uden større besvær på grundlag af teorien om kompleks multiplikation udviklet af Weber, og under hensyntagen til de rent aritmetiske sætninger om klasserne af felter, som jeg har bevist. Og til sidst lægger jeg ekstraordinær vægt på udvidelsen af Kronecker-sætningen til det tilfælde, hvor i stedet for domænet for rationelle tal eller det komplekse kvadratiske domæne, tages et vilkårligt algebraisk talfelt som rationalitetens domæne. Jeg betragter dette problem som et af de mest dybtgående og vidtrækkende problemer i funktionsteorien. (...) Hvad angår den funktionelt-teoretiske del af problemet, bør forskeren tage den meget attraktive vej af den slående analogi, der bemærkes mellem teorien om algebraiske funktioner af en uafhængig variabel og teorien om algebraiske tal. (...) Som vi kan se, er de tre hovedgrene af matematikken i ovenstående problem - nemlig talteori , algebra og funktionsteori - i intern sammenhæng.
| Hilbert problemer | |
|---|---|