Poincare formodning

Poincaré-formodningen er en bevist matematisk formodning om, at enhver enkelt forbundet kompakt 3 -manifold uden grænse er homøomorf til en 3 -sfære . Formodningen formuleret i 1904 af matematikeren Henri Poincare blev bevist i en række artikler i 2002-2003 af Grigory Perelman . Efter bekræftelsen af beviset af det matematiske samfund i 2006, blev Poincare-formodningen det første og eneste hidtil (2022) løste problem i årtusindskiftet .

Den generaliserede Poincaré-formodning er påstanden om, at enhver -dimensionel mangfoldighed er homotopisk ækvivalent med en -dimensionel sfære, hvis og kun hvis den er homøomorf til den. Den vigtigste Poincare-formodning er et specialtilfælde af den generaliserede formodning for . Ved slutningen af det 20. århundrede forblev denne sag den eneste ubeviste. Dermed fuldender Perelmans bevis også beviset for den generaliserede Poincaré-formodning. $n$ $n$ $n=3$

Bevisskema

Ricci-strømmen er en bestemt partiel differentialligning , der ligner varmeligningen . Det giver dig mulighed for at deformere Riemann-metrikken på en manifold, men i deformationsprocessen er dannelsen af "singulariteter" mulig - punkter, hvor krumningen har en tendens til uendelig, og deformationen ikke kan fortsættes. Hovedtrinet i beviset er at klassificere sådanne singulariteter i det tredimensionelle orienterede tilfælde. Når man nærmer sig en singularitet, stoppes flowet, og " operation " udføres - en lille forbundet komponent kastes ud eller en "hals" skæres ud (det vil sige et åbent område, der er diffeomorft til et direkte produkt ), og de resulterende to huller forsegles med to kugler, så metrikken af den resulterende manifold bliver tilstrækkelig glat - hvorefter fortsætter deformationen langs Ricci-strømmen. $(0,1)\ gange S^{2}$

Processen beskrevet ovenfor kaldes "Ricci flow med kirurgi". Klassificeringen af singulariteter giver os mulighed for at konkludere, at hvert "kastet stykke" er diffeomorf til en sfærisk rumform .

Når man beviser Poincaré-formodningen, starter man med en vilkårlig Riemann-metrik på en simpelt forbundet 3-manifold og anvender Ricci-strømmen til den med kirurgi. Et vigtigt skridt er at bevise, at som et resultat af en sådan proces er alt "smidt væk". Dette betyder, at den oprindelige manifold kan repræsenteres som et sæt sfæriske rumlige former forbundet med hinanden ved hjælp af rør . Beregningen af den fundamentale gruppe viser, at diffeomorphically til en forbundet sum af et sæt af rumlige former og desuden alle er trivielle. Således er en forbundet sum af et sæt kugler, det vil sige en kugle. $M$ $M$ $S^{3}/\Gamma _{i}$ $[0,1]\ gange S^{2}$ $M$ $S^{3}/\Gamma _{i}$ $\Gamma _{i}$ $M$

Historie

I 1900 formodede Henri Poincaré , at en 3-manifold med alle homologigrupper som en sfære er homøomorf til en sfære. I 1904 fandt han også et modeksempel, nu kaldet Poincaré-sfæren , og formulerede den endelige version af sin formodning. Forsøg på at bevise Poincaré-formodningen førte til adskillige fremskridt i manifoldernes topologi.

Poincaré-hypotesen tiltrak ikke forskernes opmærksomhed i lang tid. I 1930'erne genoplivede John Whitehead interessen for formodningen ved at annoncere et bevis, men opgav det så. I processen med at søge fandt han nogle interessante eksempler på simpelthen forbundne ikke-kompakte 3-manifolds, ikke-homeomorfe , hvis omvendte billede er kendt som Whitehead-manifolden . $\mathbb {R} ^{3}$

Beviser for den generaliserede Poincare-formodning om blev opnået i begyndelsen af 1960'erne og 1970'erne næsten samtidigt af Smale , uafhængigt og ved andre metoder af Stallings (for hans bevis blev udvidet til sager af Zeeman ). Et bevis for en meget vanskeligere sag blev først opnået i 1982 af Friedman . Det følger af Novikovs teorem om den topologiske invarians af Pontryagins karakteristiske klasser , at der eksisterer homotopisk ækvivalente, men ikke homøomorfe mangfoldigheder i høje dimensioner. $n\geqslant 5$ $n\geqslant 5$ $n=5,6$ $n=4$

Beviset for den originale Poincare-formodning (og den mere generelle Thurston-formodning ) blev fundet af Grigory Perelman og offentliggjort af ham i tre artikler på arXiv- webstedet i 2002-2003. Efterfølgende, i 2006, blev Perelmans bevis verificeret og præsenteret i udvidet form af mindst tre grupper af videnskabsmænd [1] . Beviset bruger en modifikation af Ricci-flowet (det såkaldte Ricci-flow med kirurgi ) og følger stort set planen skitseret af R. S. Hamilton , som også var den første til at anvende Ricci-flowet.

Anerkendelse og vurderinger

I 1986 blev Michael Friedman en Fields-medaljevinder .
I 2006 blev Grigory Perelman Fields-pristageren (afviste).
I 2010 tildelte Clay Institute of Mathematics [2] Perelman Millennium-prisen (afvist).

Refleksion i medierne

I 2006 kaldte tidsskriftet Science Perelmans bevis på Poincare-formodningen for det videnskabelige " Årets gennembrud " [3] . Dette er det første værk i matematik, der fortjente en sådan titel [4] .
I 2006 udgav Sylvia Nazar den sensationelle [5] artikel " Mange skæbner ", som fortæller historien om beviset for Poincaré-formodningen [6] .

Noter

↑ I. Ivanov Et komplet bevis på Poincaré-formodningen er allerede blevet præsenteret af tre uafhængige grupper af matematikere Arkiveret 7. januar 2007 på Wayback Machine 03/08/06, elementy.ru
↑ Pris for opløsning af Poincaré-formodningen tildelt Dr. Grigoriy Perelman Arkiveret 8. september 2017 på Wayback Machine . Pressemeddelelse fra Clay Institute of Mathematics.
↑ Dana Mackenzie. ÅRETS GENNEMBRUD: Poincaré-formodningen — bevist (engelsk) // Science : journal. - 2006. - Bd. 314 , nr. 5807 . - S. 1848-1849 . - doi : 10.1126/science.314.5807.1848 . (Engelsk)
↑ Keith Devlin. Årets største videnskabelige gennembrud . Mathematical Association of America . 2006.
↑ Især "Manifold Destiny" blev inkluderet i bogen " The Best American Science Writing " for 2007.
↑ Sylvia Nasar, David Gruber. Manifold Destiny: Et legendarisk problem og kampen om, hvem der løste det // The New Yorker : magazine. - Condé Nast , 2006. - Nej. 21. aug . Arkiveret fra originalen den 3. september 2012. Russisk oversættelse: " Multiple Destiny: The Legendary Challenge and the Battle for Priority Arkiveret 16. februar 2008 på Wayback Machine ."

Litteratur

Ian Stewart . De største matematiske problemer. — M. : Alpina faglitteratur, 2015. — 460 s. - ISBN 978-5-91671-318-3 .
Bessieres L., Besson J., Boileau M. Proof of the Poincaré Conjecture (baseret på værker af G. Perelman) Arkiveret 4. august 2020 på Wayback Machine // Mathematical Education . 2019, ser. 3. Udstedelse. 24, s. 53-69.

Links

Perelman G. Entropiformlen for Ricci-strømmen og dens geometriske anvendelser (engelsk) - 2002. - arXiv:math/0211159
Perelman G. Ricci flow med operation på tre-manifolds (engelsk) // ArXiv.org - 2003. - ISSN 2331-8422 - arXiv:math/0303109
Perelman G. Begrænset ekstinktionstid for løsningerne til Ricci-strømmen på visse tre-manifolds (engelsk) - 2003. - arXiv:math/0307245
Milnor J. Poincaré-formodningen 99 år senere: En fremskridtsrapport
S. Nikolenko. Problemer 2000: The Poincaré Conjecture // Computerra. - 2006. - Nr. 1-2 . Arkiveret fra originalen den 18. juni 2017.
Morgan J. , Tian G. Ricci Flow and the Poincare Conjecture (engelsk) // ArXiv.org - 2006. - ISSN 2331-8422 - arXiv:math/0607607
B. Kleiner, J. Lott . Noter til Perelmans papirer
Terence Tao'' . Perelmans bevis på Poincaré-formodningen: et ikke- lineært PDE-perspektiv

Ordbøger og encyklopædier	Britannica (online)
I bibliografiske kataloger	J9U : 987007559245005171 LCCN : sh2007003945 NDL : 01115553