Hypotese om Carathéodory

Carathéodory-formodningen er en formodning , der tilskrives Constantine Carathéodory , som blev fremført af Hans Ludwig Hamburger ved mødet i Berlin Mathematical Society i 1924 [1] . Carathéodory udgav artikler om dette emne [2], men præsenterede aldrig hypotesen i sine skrifter. John Edensor Littlewood nævner i sin bog [3] Hamburgers formodning og bidrag [4] [5] [6] som et eksempel på et matematisk udsagn, der er let at angive, men svært at bevise. Dirk Jan Stroyk beskriver i sin artikel [7] en formel analogi af formodningen med fire-hjørnets sætning for plane kurver . Moderne referencer til formodningen er en liste over problemer af Yau Shintun [8] , bøger af Marcel Berger [9] [10] , samt bøger af Nikolaev [11] , Stroyka [12] , Toponogov [13] og Alekseevsky, Vinogradov, Lychagin [14] .

Ordlyd

Enhver konveks, lukket og tilstrækkelig glat overflade i det tredimensionelle euklidiske rum indeholder mindst to afrundingspunkter .

Noter

For eksempel har en omdrejningsellipsoide præcis to afrundingspunkter. I dette tilfælde er alle punkter på kuglen afrundingspunkter.

Private resultater

Der var en ansøgning fra Stefan Cohn-Vossen [15] til International Congress of Mathematicians i 1928 i Bologna og i 1929-udgaven af ​​tredje bind af bogen "Differential Geometry" [16] skrev Wilhelm Blaschke :

Mens bogen blev klargjort til udgivelse, kunne Cohn-Vossen bevise, at lukkede realanalytiske overflader ikke har navlespidser med indeks > 2 (inviteret foredrag på ICM i Bologna 1928). Dette beviser Carathéodorys formodning for sådanne overflader, nemlig at overflader skal have mindst to navlestrenge.

Her er Blaschke-indekset lig med det dobbelte af navlepunktets sædvanlige indeks, og den globale formodning følger af Poincarés vektorfeltsætning . Ingen papirer blev udgivet af Cohn-Vossen før den internationale kongres, og i efterfølgende udgaver af Blaschkes bog blev ovenstående kommentarer fjernet. Heraf er det logisk at konkludere, at arbejdet ikke var overbevisende.

For analytiske overflader blev et bekræftende svar på formodningen givet i 1940 af Hans Ludwig Hamburger i et langt papir udgivet i tre dele [4] [5] [6] . Hamburgers tilgang var også baseret på at estimere indekserne for isolerede navlepunkter, hvorfra, som han viste i tidligere artikler [17] [18] , følger Caratedoris formodning. I 1943 tilbød Gerrit Bol et kortere bevis [19] (se også Blaschke [20] ), men i 1959 fandt Tilla Klotz [21] og rettede et hul i Bols bevis [4] [5] [6] . Dets bevis blev til gengæld erklæret ufuldstændigt i Hanspeter Scherbels afhandling [22] (Sherbel offentliggjorde ikke resultater relateret til Carathéodorys formodning før i det mindste i juni 2009). Blandt andre publikationer bør værker af Titus [23] , Sotomayor og Mello [24] , Gutierrez [25] nævnes .

Alle de ovennævnte beviser er baseret på Hamburgers reduktion af Carathéodorys formodning til følgende formodning: indekset for ethvert isoleret navlepunkt overstiger ikke én [17] . Groft sagt ligger den største vanskelighed i at løse den singularitet, der genereres af afrundingspunkterne. Alle de ovenfor nævnte forfattere løser singulariteten ved induktion på "degenerationen" af afrundingspunktet, men ingen af ​​forfatterne beskrev induktionsprocessen klart.

I 2002 gennemgik Vladimir V. Ivanov Hamburgers arbejde på analytiske overflader og skrev følgende [26] :

For det første, med analytiske overflader i tankerne, erklærer vi med fuldt ansvar, at Carathéodory havde ret. For det andet ved vi, hvordan dette kan bevises strengt. For det tredje har vi til hensigt her at fremlægge et bevis, som efter vores mening vil overbevise enhver læser, hvis bare han virkelig er klar til at overvinde med os en lang og slet ikke nem vej.

Først fulgte han den vej, som Gerrit Bol og Tilla Klotz havde foreslået, men senere foreslog han sin egen måde at løse singulariteten på, hvor den kritiske værdi tilhører kompleks analyse (mere præcist, en teknik, der bruger analytiske implicitte funktioner , Weierstrass forberedende sætning , Puiseux-serien og cirkulære rodsystemer ).

I 2008 annoncerede Gilfoyle og Klingenberg et bevis på den globale formodning for overflader med glathed C 3,\alpha . Deres metode bruger den neutrale Kähler-geometri af Klein-kvartikken , middelkrumningsflowet , Riemann-Roch-indekssætningen og Sard-Smale-sætningen om regulære værdier af Fredholm-operatorer [27] . Deres artikel blev dog aldrig offentliggjort [28] .

I 2012 viste Gomi og Howard ved hjælp af Möbius-transformationen , at den globale formodning for overflader med C2-glathed kan omformuleres i form af antallet af navlestrenge i graferne for nogle asymptotiske gradienter [29] .

Se også

Noter

  1. ↑ Hamburger, 1924 .
  2. ↑ Wrocław Universitet, 1935 .
  3. ↑ Littlewood, 2011 .
  4. ↑ 1 2 3 Hamburger, 1940 , s. 63-86.
  5. ↑ 1 2 3 Hamburger, 1941 , s. 175-228.
  6. ↑ 1 2 3 Hamburger, 1941 , s. 229-332.
  7. ↑ Struik, 1931 , s. 49-62.
  8. ↑ Yau, 1982 .
  9. ↑ Berger, 2003 .
  10. ↑ Berger, 2010 .
  11. ↑ Nikolaev, 2001 .
  12. ↑ Struik, 1978 .
  13. ↑ Toponogov, 2012 .
  14. ↑ Alekseevsky, Vinogradov, Lychagin, 1988 .
  15. ↑ Cohn-Vossen, 1929 .
  16. ↑ Blaschke, 1929 .
  17. ↑ 1 2 Hamburger, 1922 , s. 258 - 262.
  18. ↑ Hamburger, 1924 , s. 50 - 66.
  19. ↑ Bol, 1944 , s. 389-410.
  20. ↑ Blaschke, 1945 , s. 201-208.
  21. ↑ Klotz, 1959 , s. 277-311.
  22. ↑ Scherbel, 1993 .
  23. ↑ Titus, 1973 , s. 43-77.
  24. ↑ Sotomayor, Mello, 1999 , s. 49-58.
  25. ↑ Gutierrez, Sotomayor, 1998 , s. 291-322.
  26. ↑ Ivanov, 2002 , s. 315.
  27. ↑ Guilfoyle, Klingenberg, 2013 .
  28. ↑ Ghomi, 2017 .
  29. ↑ Ghomi, Howard, 2012 , s. 4323-4335.

Litteratur