Fire hjørner sætning

Fire vertex- sætningen siger, at krumningsfunktionen af ​​en simpel lukket glat plankurve har mindst fire lokale ekstrema (især mindst to lokale maksima og mindst to lokale minima). Navnet på sætningen afspejler konventionen om at kalde yderpunkterne af krumningsfunktionen knudepunkter .

Eksempler

• En ellipse med uens halvakser har præcis fire hjørner - to lokale krumningsmaksima ved skæringerne mellem ellipsen og hovedaksen og to lokale minima ved skæringerne med den lille akse.
• På en cirkel er alle punkter både lokale maksima og lokale minima for krumningen, så der er uendeligt mange hjørner på den.
• Der er selvskærende lukkede kurver med to spidser; sådan er for eksempel Pascals snegl med selvskæring. Det vil sige, at betingelsen for enkelhed af kurven i sætningen er væsentlig.

Historie

Teoremet med fire hjørner blev oprindeligt bevist for konvekse kurver (det vil sige kurver med strengt positiv krumning) i 1909 af den indiske matematiker Mukhopadhyaya [1] . Hans bevis bruger det faktum, at kurvens punkter er ekstrema af krumningsfunktionen, hvis og kun hvis tangentcirklen har 3. ordens tangens med kurven på det punkt (generelt har tangentcirklen kun 2. ordens tangens med kurven) . Fire-vertex-sætningen blev bevist i det generelle tilfælde af Adolf Kneser i 1912 ved hjælp af ideerne om projektiv geometri [2] . Flere beviser baseret på forskellige ideer er nu kendt. [3] En af de enklere foreslåede af Robert Oserman er baseret på overvejelserne om en minimal spændende cirkel . [fire]

Omvendt sætning

Den omvendte fire-vertex-sætning siger, at enhver kontinuert , reel funktion på en cirkel, der har mindst to maksimumpunkter og mindst to minimumspunkter, er en krumningsfunktion af en simpel lukket plankurve. Sætningen blev bevist for strengt positive funktioner i 1971 af Hermann Gluck som et særligt tilfælde af den generelle sætning om den forudbestemte krumning af n-sfærer [5] . Den fuldstændige omvendte sætning med fire hjørner blev bevist af Bjørn Dahlberg kort før hans død i januar 1998 og offentliggjort posthumt [6] . Dahlbergs bevis bruger rækkefølgen af ​​punktet med hensyn til kurven , som er en topologisk version af beviset for algebraens fundamentale sætning [7] .

Applikationer i mekanik

En af konsekvenserne af sætningen er, at en homogen flad skive, der ruller på et vandret plan under tyngdekraften, har mindst 4 ligevægtspunkter. Den diskrete version af denne erklæring siger, at der ikke kan være en monostatisk polygon . I det tredimensionelle rum eksisterer der imidlertid et monostatisk polyeder, og der er et konveks homogent objekt med to ligevægtspunkter (et stabilt og et ustabilt) - gömböts .

Variationer og generaliseringer

• Enhver glat lukket kurve med konstant bredde har mindst 6 hjørner.

• Pestov-Ionin sætning : For enhver simpel glat lukket regulær kurve i planet er der to punkter, hvor tangentcirklen er indeholdt i området af den afgrænsede kurve; der er også to punkter, hvor tangentcirklen er indeholdt i det ydre lukkede område af den afgrænsede kurve.
  • Ethvert af disse fire punkter er et hjørne af kurven. Det omvendte er generelt ikke sandt, så Pestov-Ionin-sætningen generaliserer fire-hjørnet-sætningen.

• Der er flere diskrete versioner af sætningen for både konvekse og ikke-konvekse polygoner [8] . Her er nogle af dem:
  • ( Bilinsky ) Rækkefølgen af ​​hjørner af en konveks ligesidet polygon har mindst fire ekstrema .
  • Rækkefølgen af ​​sidelængder af en konveks ækvikantet polygon har mindst fire ekstrema .
  • (Musin) En cirkel, der er afgrænset omkring tre på hinanden følgende hjørner af en polygon, kaldes ekstrem , hvis den omfatter alle de resterende hjørner af polygonen, eller ikke indeholder nogen af ​​dem. En konveks polygon kaldes generel , hvis der ikke er fire hjørner på den samme cirkel. Enhver generel konveks polygon har mindst fire ekstremalcirkler.
  • ( Legendre - Cauchy ) To konvekse n -goner med samme længde af de tilsvarende sider har enten mindst fire fortegnsændringer af rækkefølgen af ​​forskelle i de tilsvarende vinkler, eller de har ingen fortegnsændringer.
  • ( A.D. Aleksandrov ) To konvekse n - goner med tilsvarende parallelle sider og lige areal har enten mindst 4 tegnændringer i rækkefølgen af ​​forskelle i længderne af de tilsvarende sider, eller slet ingen tegnændringer.

Se også

• Jacobis sidste geometriske formodning

Noter

1. ↑ S. Mukhopadhyaya. Nye metoder i geometrien af ​​en plan bue // Bull. Calcutta matematik. soc. - 1909. - T. 1 . - S. 21-27 .
2. ↑ Adolf Kneser. Festskrift Heinrich Weber. - Teubner, 1912. - S. 170-180.
3. ↑ Jackson, S. B. Hjørner for plane kurver. Tyr. amer. Matematik. soc. 50 (1944).
4. ↑ Osserman, Robert (1985), The four-or-more vertex theorem , American Mathematical Monthly T. 92 (5): 332–337 , DOI 10.2307/2323126  .
5. ↑ Herman Gluck. Det omvendte til sætningen med fire hjørner // L'Enseignement Math .. - 1971. - T. 17 . - S. 295-309 .
6. ↑ Björn Dahlberg. Det modsatte af sætningen med fire hjørner  // Proc. amer. Matematik. soc. - 2005. - T. 133 , no. 7 . - S. 2131-2135 . - doi : 10.1090/S0002-9939-05-07788-9 . Arkiveret fra originalen den 13. december 2007.
7. ↑ DeTruck, D., Gluck, H., Pomerleano, D., og Vick, D.S. The Four Vertex Theorem and Its Converse  // Notices of the American Mathematical Society. - 2007. - T. 54 , no. 2 . - S. 9268 . — . — arXiv : math/0609268 . Arkiveret fra originalen den 3. april 2018.
8. ↑ Igor Pak Forelæsninger om diskret og polyedrisk geometri Arkiveret 29. januar 2009. , § 21.

Litteratur

• Foredrag 10 i Tabachnikov S.L.Fuks D.B. Matematisk Divertissement . - MTSNMO, 2011. - 512 s. - 2000 eksemplarer.  - ISBN 978-5-94057-731-7 .