Sards sætning

Sards sætning er en af matematisk analyses sætninger, der har vigtige anvendelser inden for differentialgeometri og topologi , katastrofeteori og teorien om dynamiske systemer . [en]

Opkaldt efter den amerikanske matematiker Arthur Sard . [2] I nogle kilder kaldes det Bertini-Sard-sætningen , [3] og er også nogle gange forbundet med navnene på Anthony Morse (han opnåede et tidligere bestemt resultat) [4] og Shlomo Sternberg (et senere, men mere generelt resultat ) ) [5] .

Ordlyd

Lad være et åbent sæt i rummet og være en glat funktion af klassen _ _ _ _ _ $U$ $\mathbb{R} ^{m}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{n))$ $C^{k},$ $k\geqslant 1.$ $S\undersæt U$ $f.$ $k\geqslant m-n+1,$ $f(S)$ $\R^n.$

Noter

Som H. Whitney viste , kan graden af glathed her ikke reduceres ved en kombination af og [6] [7] $k$ $m$ $n.$

Eksempel

Lad os overveje en identisk konstant funktion . Alle punkter i dets definitionsdomæne er kritiske, derfor består sættet af kritiske værdier af et enkelt punkt og har derfor et nul Lebesgue-mål. $f\equiv f_{0}.$ $U$ $S=U.$ $f(S)$ $f_0$

Variationer og generaliseringer

Sarda's Lemma

Målingen af sættet af kritiske værdier for en -glat funktion er lig med nul. $C^1$ $f:[a,b]\to \mathbb {R} ^{1}$

Bevis . Uden tab af generalitet vil vi overveje et segment Vi vælger et tal og deler segmentet i lige store dele, så udsvinget af den afledte på hver af dem ikke overstiger Dette kan gøres på grund af det faktum, at ifølge betingelsen af lemmaet er funktionen kontinuert derfor, ogsegmentetpå ensartet kontinuerlig på det, dvs. $[a,b]=[0,1].$ $\varepsilon >0$ $[0,1]$ $n$ $f'$ $\varepsilon.$ $f'$ $[0,1]$ $\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall x_{1},x_{2}\i [0,1]:\ |x_{1}-x_{2}|<\ delta \Rightarrow |f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon .$

Angiv med de segmenter (dele af partitionen lavet ovenfor), der indeholder mindst et kritisk punkt af funktionen , dvs. det er indlysende, at for sådanne segmenter er estimatet gyldigt for alle , og derfor ( Formel med endelige trin ), for alle to peger på uligheden $\Delta _{i}$ $f,$ $\exists \xi _{i}\i \Delta _{i}\ :\ f'(\xi _{i})=0.$ $|f'(x)|\leqslant \varepsilon$ ${\displaystyle x\in \Delta _{i))$ $y_{1},y_{2}\in f(\Delta _{i})$ $|y_{1}-y_{2}|\leqslant \max _{x\in \Delta _{i}}|f'(x)|\cdot |\Delta _{i}|\leqslant \ varepsilon /n.$

Hvis vi dækker hvert sæt med et længdeinterval, så vil vi opnå en dækning af sættet af alle kritiske værdier med intervaller, hvis sum af længder ikke overstiger . På grund af vilkårligheden i valget af nummeret betyder det, at målet for sættet af kritiske værdier er lig med nul. $f(\Delta _{i})$ $2{\cdot }\varepsilon /n,$ $2{\cdot }\varepsilon /n\cdot n=2{\cdot }\varepsilon .$ $\varepsilon$

Dubovitskys teorem

Lad og være to glatte manifolds af positive dimensioner og og være en glat funktion af klassen, hvor Et punkt kaldes irregulært , hvis rangordenen af den jakobiske matrix af funktionen i den er mindre end Punkt kaldes uregelmæssig , hvis for mindst et uregelmæssigt punkt . I tilfældet falder forestillingen om et uregelmæssigt punkt sammen med forestillingen om et kritisk punkt i en funktion. I tilfældet er alle punkter på manifolden uregelmæssige. $M^{m}$ $N^{n}$ $m$ $n$ $f:M^{m}\to N^{n}$ $C^{k},$ $k\geqslant 1.$ ${\displaystyle x\in M^{m))$ $f$ $n.$ ${\displaystyle y\in N^{n))$ $y=f(x)$ ${\displaystyle x\in M^{m))$ $m\geqslant n$ $m<n$ $M^{m}$

Hvis der er et tal , så har sættet af uregelmæssige kortlægningspunkter i manifolden den første Baer-kategori , det vil sige, det er en endelig eller tællig forening af kompakte mængder, der intetsteds er tætte i $k\geqslant m-n+1,$ $f$ $N^{n}$ $N^{n}.$

Denne teorem blev bevist af den sovjetiske matematiker A. Ya Dubovitsky [8] [9] [10] .

Andre analoger

En uendelig-dimensionel analog af Sards teorem (for manifolds i Banach-rum ) blev opnået af Stephen Smale [11] . Analoger til kortlægninger af Hölder- og Sobolev-rum blev opnået i [12] . En analog til funktioner med reduceret glathed blev opnået i [13] .

Litteratur

Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Singulariteter af differentiable mappings, - Enhver udgave.
Zorich V. A. Matematisk analyse, - Enhver udgave.
Milnor J., Wallace A. Differentiel topologi (indledende kursus), - Enhver udgave.
Hirsch M. Differentiel topologi, - Enhver udgave.
Spivak M. Matematisk analyse af manifolder, - M .: Mir, 1968.
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Moderne geometri. Metoder og anvendelser, - Enhver udgave.
Sard A. Målingen af de kritiske værdier af differentiable kort, Bull. amer. Matematik. Soc. 48 (1942), s. 883-890.
Sternberg S. Forelæsninger om differentialgeometri, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1964.
Pontryagin LS Smooth manifolds og deres anvendelse i homotopi teori. — M.: Nauka, 1985. — 176 s.

Noter

↑ Arnold V. I. Yderligere kapitler i teorien om almindelige differentialligninger, afsnit 10.
↑ Sard A. Målingen af de kritiske værdier af differentiable kort, - Bull. amer. Matematik. Soc. 48 (1942), s. 883-890. . Hentet 7. maj 2010. Arkiveret fra originalen 12. oktober 2012. (ubestemt)
↑ Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Singularities of differentiable mappings, afsnit 2.
↑ Morse AP En funktions opførsel på dens kritiske sæt. — Annals of Mathematics, bd. 40, nr. 1 (1939), s. 62-70.
↑ Sternberg S. Forelæsninger om differentialgeometri.
↑ Zorich V. A. Matematisk analyse, bind II, kapitel XI, afsnit 5.
↑ Whitney H. En funktion, der ikke er konstant på et forbundet sæt af kritiske punkter, - Duke Math. J. 1 (1935), 514-517.
↑ Dubovitsky A. Ya. Om differentierbare afbildninger af en n - dimensionel terning til en k - dimensionel terning. Måtte. Sb., 1953, 32(74):2, s. 443-464.
↑ Dubovitsky A. Ya. Om strukturen af niveausæt af differentierbare afbildninger af en n - dimensionel terning til en k - dimensionel terning. Izv. USSR's Videnskabsakademi. Ser. Mat., 1957, 21:3, s. 371-408.
↑ Pontryagin L. S. Glatte manifolder og deres anvendelser i homotopi-teori, - Enhver udgave.
↑ Smale S. An Infinite Dimensional Version of Sard's Theorem, - American Journal of Mathematics, vol. 87, nr. 4 (1965), s. 861-866.
↑ Bojarski B., Hajlasz P., Strzelecki P. Sards teorem for kortlægninger i Holder- og Sobolev-rum, - Manuscripta Math., 118 (2005), pp. 383-397.
↑ Korobkov M. V. Om en analog af Sards teorem for -glatte funktioner af to variable, - Siberian Mathematical Journal, 2006, 47:5, s. 1083-1091. $C^1$