Differentiel geometri af overflader

Differentialgeometrien af overflader er et historisk vigtigt område af differentialgeometri .

Differentialgeometrien af overflader er opdelt i to hovedunderafsnit: ydre og indre geometri. Hovedformålet med undersøgelse af overfladens ydre geometri er glatte overflader indlejret i det euklidiske rum, samt en række af deres generaliseringer. I indre geometri er hovedobjektet abstrakt givet overflader med forskellige yderligere strukturer, oftest den første fundamentale form (den samme som den riemannske metriske ).

Historie

Nogle egenskaber ved revolutionens overflader var kendt selv af Archimedes . Udviklingen af calculus i det syttende århundrede gav mere systematiske tilgange til at bevise dem.

Krumningen af generelle overflader blev undersøgt af Leonhard Euler ; i 1760 fik han et udtryk for en flades normale krumninger. [1] I 1771 [2] betragtede han overflader givet i parametrisk form, introducerede begrebet superposition af overflader (isometrisk i moderne terminologi); især betragtede han overflader overlejret på flyet. Således var Euler den første til at overveje en overflades iboende geometri.

Gaspard Monge overvejede asymptotiske kurver og krumningslinjer på overflader.

Det vigtigste bidrag til teorien om overflader blev givet af Gauss i to artikler skrevet i 1825 og 1827 [3] . Især beviste han den såkaldte Theorema Egregium - et historisk vigtigt resultat af Gauss, som siger, at den Gaussiske krumning er en intern invariant, det vil sige en invariant under lokale isometrier . Adskillelsen af differentialgeometri i et separat forskningsområde er ofte forbundet netop med denne teorem. [4] Han introducerede begrebet første og anden andengradsform . Senere udledte Karl Mikhailovich Peterson et komplet system af ligninger for kvadratiske overfladeformer.

Nøgleresultater i den iboende geometri af overflader blev opnået af Ferdinand Gotlibovich Minding . Især introducerede han begrebet parallel oversættelse langs en kurve, som blev videreudviklet i Tullio Levi-Civitas værker .

Siden slutningen af det 19. århundrede har der været meget opmærksomhed på problemet med isometrisk nedsænkning, overfladebøjning og stivhedsproblemer. De vigtigste resultater blev opnået af Alexander Danilovich Alexandrov , David Gilbert , Dmitry Fedorovich Egorov , Stefan Cohn-Vossen og andre.

Metoderne udviklet i den differentielle geometri af overflader spillede en stor rolle i udviklingen af Riemann og Alexander geometrier .

Grundlæggende begreber

En glat indlejret overflade er hovedobjektet for undersøgelsen i den differentielle geometri af overflader, mere præcist, den ydre geometri af overflader . Det er defineret som følger: En delmængde af det euklidiske rum kaldes en glat indlejret overflade (mere præcist , en glat regulær indlejret overflade uden grænse ), hvis der for et hvilket som helst punkt eksisterer et kvarter i det er en graf over en glat funktion i en passende valgt Kartesisk koordinatsystem . $\Sigma$ $p\in \Sigma$ $U\ni p$ $\Sigma$ $z=f(x,y)$ $f$ $(x,y,z)$

For enhver overflade, der er indlejret i det euklidiske rum, kan man måle længden af en kurve på overfladen, vinklen mellem to kurver og arealet af et område på overfladen. Denne struktur er givet af den første fundamentale form , dvs. en 2×2 positiv-bestemt matrix , som varierer jævnt fra punkt til punkt i den lokale parametrisering af overfladen. Det er muligt at abstrahere fra den originale bilag. Det vil sige, overvej en abstrakt overflade givet af lokale koordinater med en riemannsk metrik. Dette fører til den såkaldte indre geometri af overflader, videreudviklet i Riemannsk geometri .

Krumning spiller en central rolle i studiet af overflader , herunder principielle krumninger , gaussiske krumninger og middelkrumninger og tensorbeskrivelser af krumning såsom formoperatoren og den anden fundamentale form .

Der lægges stor vægt på andre klasser af kurver på overfladen , herunder geodetik , asymptotiske kurver og krumningslinjer .

De vigtigste resultater af teorien vedrører egenskaberne af konvekse sadeloverflader , omdrejningsflader , overflader med konstant middelkrumning og især minimale overflader .

Konstruktioner

Sfærisk kortlægning er en kortlægning, hvor et overfladepunkt afbildes til en enhedsnormalvektor på det punkt.

Darboux-triederet er en naturlig reference for en kurve på en overflade, brugt i definitionen af geodætisk og normal krumning .

Tekniske godkendelser

Eulers formel giver dig mulighed for at beregne den normale krumning af en overflade.

Meuniers sætning - giver et udtryk for krumningen af en kurve, der ligger på en overflade.

Fundamentale teoremer

Gauss' Lemma om Geodesics - siger, at enhver tilstrækkelig lille cirkel centreret i et punkt på overfladen er vinkelret på hver geodætisk kurve fra midten. Bruges til at bevise, at geodætiske kurver er de lokale korteste kurver. Spiller også en nøglerolle i at bevise egenskaberne af normale og semi-geodetiske koordinater

Peterson-Codazzi-ligningerne giver lokale forhold på overfladens første og anden kvadratiske form .

Uniformiseringssætningen garanterer eksistensen af en konform parametrisering af en given overflade med en overflade med konstant Gaussisk krumning.

Gauss-Bonnet-formlen giver et udtryk for integralet af den Gaussiske krumning over et område på en overflade.

Alexandrovs sammenligningssætning - giver estimater for vinklerne i en geodætisk trekant.

Åbne spørgsmål

Isometrisk indlejringsproblem. Det er fortsat et åbent spørgsmål, om enhver abstrakt givet overflade tillader en isometrisk indlejring i et euklidisk rum med dimension 3. Dette er den såkaldte " Weyl - ligning " [5] .
- Resultatet af Jakobovich [6] og Poznyak [7] giver et positivt svar for indlejringer i 4-dimensionelt rum.
- I 1926 beviste og løste Maurice Janet problemet med analytiske metrikker.
- Aleksandrovs indlejringsteorem siger, at enhver tilstrækkelig glat metrik på en kugle med positiv Gaussisk krumning er isometrisk til en lukket konveks overflade i . Et lignende resultat for analytiske målinger blev opnået tidligere af Weil.
[otte] $\mathbb{E}^3$

Carathéodorys formodning: Formodningen siger, at en lukket konveks tre gange differentierbar overflade tillader mindst to afrundingspunkter . Det første arbejde på denne formodning var det af Hans Hamburger i 1924, som bemærkede, at formodningen følger af følgende mere strenge udsagn: Halvheltalsindekset for bundtet af hovedkrumning af en isoleret navle overstiger ikke én.

Wilmores hypotese . Denne formodning siger, at integralet af kvadratet af den gennemsnitlige krumning af torus indlejret iskal være afgrænset nedefra af. Det er kendt, at integralet er en Möbius-invariant. Hypotesen blev løst i 2012 af Fernando Koda Marquez og Andrk Neves [9] . $\mathbb{E}^3$ $2\pi ^{2}$

Noter

↑ Euler, 1760 .
↑ Euler, 1771 .
↑ Gauss, 1902 .
↑ Toponogov, 2012 , s. 132.
↑ Han, Hong, 2006 .
↑ Jacobowitz, 1972 .
↑ Poznjak, 1973 .
↑ Pogorelov A. V. Bøjning af konvekse overflader GITTL (1951)
↑ Marques, Neves, 2014 , s. 683-782.

Litteratur

S. E. Cohn-Vossen , D. Gilbert . visuel geometri. - M . : United Scientific and Technical Publishing House of the NKTP USSR, 1936. - 302 s.

Do Karmo, M. Differentiel geometri af kurver og overflader. - Moskva, Izhevsk, 2013. - ISBN 978-5-4344-0150-0 .

Pogorelov, A. I. Differentialgeometri . — 6. udgave. — M .: Nauka, 1974.

Poznyak EG Isometriske fordybelser af todimensionelle riemannske metrik i euklidiske rum. - 1973. - T. 28 , no. 4 . — s. 47–77 . - doi : 10.1070/RM1973v028n04ABEH001591 .

Rashevsky, P.K. Et kursus i differentialgeometri . — 3. udgave. — M. : GITTL, 1950.

Toponogov, V. A. Differentiel geometri af kurver og overflader. - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 9785891552135 .

Chernavsky, A. V. Differentialgeometri, 2. kursus .

Recherches sur la courbure des surfaces // Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin. - 1760. - T. 16 . — S. 119–143 . . Udgivelsesdato - 1767

Leonhard Euler . De solidis quorum superficiem in planum explicare licet // Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae. - 1771. - T. 16 . — s. 3–34 . . Udgivelsesdato - 1772

Carl Friedrich Gauss . Generelle undersøgelser af buede overflader fra 1825 og 1827 . - Princeton University Library, 1902.

Qing Han, Jia-Xing Hong. Isometrisk indlejring af Riemannske manifolder i euklidiske rum. - 2006. - ISBN 978-0-8218-4071-9 .

Howard Jacobowitz. Lokal isometrisk indlejring af overflader i det euklidiske firerum // Indiana Univ. Matematik. J .. - 1972. - T. 21 , no. 3 . — S. 249–254 . - doi : 10.1512/iumj.1971.21.21019 .

Fernando Codá Marques, André Neves. Min-Max teori og Willmore formodning // Annals of Mathematics. - 2014. - T. 179 , Nr. 2 . - doi : 10.4007/annals.2014.179.2.6 . - arXiv : 1202.6036 . — .