Anden andengradsform

Den anden kvadratiske form (eller den anden grundform ) af en overflade er en kvadratisk form på overfladens tangentbundt , som i modsætning til den første kvadratiske form definerer overfladens ydre geometri i nærheden af et givet punkt .

Den anden andengradsform betegnes ofte , og dens komponenter betegnes traditionelt , og . $\mathrm{I\!I}$ $L$ $M$ $N$

Kendskab til den første og anden kvadratiske form er tilstrækkelig til at beregne de vigtigste krumninger , middel- og Gauss krumninger af en overflade.

Definition

Lad overfladen i tredimensionelt euklidisk rum med skalarprodukt være givet ved ligningen hvor og er indre koordinater på overfladen; er differensen af radiusvektoren langs den valgte forskydningsretning fra et punkt til et uendeligt tæt punkt ; er normalvektoren til overfladen i punktet . Så har den anden andengradsform formen $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ $r=r(u,v),$ $u$ $v$ $dr=r_{u}du+r_{v}dv$ $r$ $M$ $M'$ $n$ $M$

\mathrm {I\!I} =Ldu^{2}+2Mdudv+Ndv^{2},

hvor koefficienterne er bestemt af formlerne:

L=\langle r_{uu},n\rangle =-\langle r_{u},n_{u}\rangle ={\frac {(r_{uu},r_{u},r_{v} )}{\sqrt {EG-F^{2}}}},

M=\langle r_{uv},n\rangle =-\langle r_{u},n_{v}\rangle =-\langle r_{v},n_{u}\rangle ={\frac { (r_{uv},r_{u},r_{v})}{\sqrt {EG-F^{2))))),

N=\langle r_{vv},n\rangle =-\langle r_{v},n_{v}\rangle ={\frac {(r_{vv},r_{u},r_{v} )}{\sqrt {EG-F^{2}}}},

hvor betegner det blandede produkt af vektorer og er koefficienterne for den første kvadratiske form af overfladen. $(\cdot ,\cdot ,\cdot )$ $E=|r_{u}|^{2},$ $F=\langle r_{u},r_{v}\rangle ,$ $G=|r_{v}|^{2}$

Relaterede definitioner

Formoperatoren eller Weingarten -operatoren er en lineær operator på tangentplanet defineret som $S$ $S(V)=-\nabla _{V}\nu ,$

hvor er feltet af enhedsnormaler til overfladen. Formoperatoren er relateret til den anden kvadratiske form ved følgende relation:

\nu

\langle S(V),W\rangle =\mathrm {I\!I} (V,W).

Formoperatorens egenværdier kaldes overfladens hovedkrumninger ved punktet, og formoperatorens egenretninger kaldes overfladens hovedretninger i punktet.
- Kurver på en overflade, der løber i hovedretninger, kaldes krumningslinjer .

Normal krumning i retning beregnes ved formlen ${\displaystyle k_{V))$ $V$ ${\frac {\mathrm {I} \!\mathrm {I} (V,V)}{\mathrm {I} (V,V)))=\langle S(V),V\rangle / |V|^{2}$

hvor er den første andengradsform .

\mathrm {I}

Retningen med nul normal krumning kaldes asymptotisk , og kurven på overfladen, der går i den asymptotiske retning, kaldes asymptotisk kurve .

Beregning

Funktionsgraf

I et bestemt tilfælde, når overfladen er en graf af en funktion i tredimensionelt euklidisk rum med koefficienter , har koefficienterne for den anden kvadratiske form formen: $z=f(x,y)$ $x,y,z$

L={\frac {f_{xx}}{\sqrt {1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}}},\ \\ M={\frac { f_{xy}}{\sqrt {1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}}},\ \ \ N={\frac {f_{yy}}{\sqrt { 1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}}}.

Variationer og generaliseringer

Hyperoverflader

Betragt en hyperflade i et m -dimensionalt euklidisk rum med indre produkt . Lad være et lokalt kort over overfladen på punktet . $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ ${\displaystyle {r}:\mathbb {R} ^{m-1}\rightarrow \mathbb {R} ^{m))$ $P$

Derefter beregnes koefficienterne for den anden kvadratiske form ved hjælp af formlen

q_{ij}={\biggl \langle }{n},{\frac {\partial ^{2}{r)){\partial u^{i}\partial u^{j))}{ \biggr \rangle },\ \ \ i,j=1,\ldots ,m-1,

hvor angiver enhedsnormalvektoren. $n$

Stor kodimension

Den anden grundlæggende form er også defineret for undervarianter af vilkårlig kodimension. [en]

\mathrm {I\!I} (v,w)=(\nabla _{v}w)^{\bot },

hvor angiver projektionen af den kovariante afledte på normalrummet. ${\displaystyle (\nabla _{v}w)^{\bot ))$ $\nabla _{v}w$

I dette tilfælde er den anden grundlæggende form en bilineær form på tangentrummet med værdier i det normale rum.

For submanifolds af euklidisk rum kan krumningstensoren af submanifolden beregnes ved hjælp af den såkaldte Gauss-formel:

\langle R(u,v)w,z\rangle =\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} ( v,w)\rangle -\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,z)\rangle .

For submanifolds af en Riemann-manifold skal krumningen af det omgivende rum tilføjes; hvis manifolden er indlejret i en Riemann-manifold , er krumningstensoren af manifolden udstyret med den inducerede metrisk givet af den anden fundamentale form og krumningstensoren af den omgivende manifold : $N$ $(M,g)$ $R_{N}$ $N$ ${\displaystyle R_{M))$ $M$

\langle R_{N}(u,v)w,z\rangle =\langle R_{M}(u,v)w,z\rangle +\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I } (u,z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)\rangle -\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w),\mathrm { I} \!\mathrm {I} (v,z)\rangle .

Se også

Noter

↑ c. 128 i M. do Carmo, Riemannian Geometry , Birkhäuser, 1992

Litteratur

Mishchenko A.S. Fomenko A.T. Kursus i differentialgeometri og topologi. - Fizmatlit, 2004. - ISBN 5-9221-0442-X .

Toponogov V.A. Differentiel geometri af kurver og overflader. - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 9785891552135 .

A.V. Chernavsky . Forelæsninger om klassisk differentialgeometri (2 kursus)