Poincarés vektorfeltsætning

Poincarés vektorfeltsætning (også kendt som Poincaré-Hopf- sætningen og indekssætningen ) er en klassisk sætning inden for differentialtopologi og teorien om dynamiske systemer ; generalisering og forfining af hedgehog combing teoremet .

Heraf følger det især, at et glat vektorfelt uden entalspunkter ikke eksisterer på en todimensionel kugle, men det kan eksistere på en todimensionel torus .

Ordlyd

Lad et glat vektorfelt defineres på en glat lukket manifold , som har et endeligt antal isolerede entalspunkter . Derefter $M$ $V$ $A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}$

\sum _{{i=1}}^{{n}}J_{{A_{i}}}(V)=\chi (M),

her er indekset for punktet i forhold til feltet, og tallet er Euler-karakteristikken for manifolden . $J_{{A_{i}}}(V)$ $A_{i}$ $V$ $\chi (M)$ $M$

Historie

For tilfældet med todimensionelle manifolds blev sætningen bevist af Poincaré i 1885. For manifolder af vilkårlig dimension blev resultatet opnået af Hopf i 1926 [1] .

Variationer og generaliseringer

Lignende sætninger er blevet bevist for vektorfelter med ikke-isolerede singulære punkter og for manifolder med singulariteter [2] [3] .

Noter

↑ En todimensionel version af denne sætning blev bevist af Poincaré i 1885. Den fulde sætning blev bevist af Hopf i 1926 efter delvise resultater af Brouwer og Hadamard . // Milnor J., Wallace A. Differentiel topologi. Indledende kursus. M: Mir, 1972 (s. 223).
↑ Jean-Paul Brasselet, José Seade, Tatsuo Suwa . Vektorfelter på Singular Varieties Arkiveret 12. juni 2018 på Wayback Machine . Springer, 2009.
↑ Pavao Mardesic . Indeks over singulariteter af rigtige vektorfelter på singular hyperoverflader Arkiveret 18. juni 2022 på Wayback Machine . Journal of the Singularities , bind 9 (2014), 111-121.

Litteratur

Milnor J., Wallace A. , Differentiel topologi. Indledende kursus. M: Mir, 1972.
Arnold V.I. , Almindelige differentialligninger . Enhver udgave.