Beregnet antal

I matematik er et beregneligt (eller rekursivt ) tal et tal, der kan beregnes til enhver given præcision ved hjælp af en algoritme (for komplekse tal skal både reelle og imaginære dele kunne beregnes).

Et tal, der ikke kan beregnes, siges at være ikke- beregneligt (et eksempel på et ikke-beregneligt tal er Chaitins konstant i det stoppende problem ).

Ethvert algebraisk tal (og dermed ethvert rationelt og endnu mere ethvert heltal ) kan beregnes. Ethvert element i perioderingen (som inkluderer tallet π og mange andre transcendentale tal ) kan beregnes. Ethvert beregneligt tal er aritmetiske .

Mættet af alle beregnelige tal kan tælles , og sættet af alle ikke-beregnelige tal er utælleligt . Mættet af alle beregnelige tal (såvel som sættet af alle ikke-beregnelige tal) er tæt i og i $\mathbb {R}$ $\mathbb {C} .$

Rækkefølgen på sættet af beregnelige reelle tal er isomorf med rækkefølgen på sættet af rationelle tal.

Definition

Et reelt tal kaldes beregneligt [1], hvis der er en algoritme , der gør det muligt for hver enkelt at beregne en binær brøk i et endeligt antal trin, således at . $x$ $n\in P$ $a={\frac {k}{2^{r))},\ k\in \mathbb {Z} ,\ r\in \mathbb {N}$ ${\displaystyle |xa|<2^{-n))$

Egenskaber

Summen , forskellen og produktet af beregnelige tal kan beregnes.
Grænsen for en beregnelig sekvens af rationelle tal er ikke nødvendigvis et beregneligt tal (men er altid 0′-beregnelig )
Der er en en-til-en overensstemmelse mellem beregnelige delmængder og beregnelige reelle tal [1] . $S\undersæt P$ $x\in [0,1]$

Se også

Algoritmisk afgørelighed
Grad af uopløselighed

Noter

↑ 1 2 Birkhoff G. , Barty T. Modern Applied Algebra. - M., Mir, 1976. - s. 375, 376.

Numeriske systemer
Tællelige sæt	Naturlige tal ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Heltal ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Rationel ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebraisk ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Perioder Beregnbar Aritmetik
Reelle tal og deres forlængelser	Ægte ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Kompleks ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Kvaternioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayley-tal (oktaver, oktonioner) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Skifter Dobbelt Hyperkompleks Superrealistisk Hypermateriale surrealistisk
Numeriske udvidelsesværktøjer	Cayley-Dixon procedure Frobenius sætning Hurwitz-sætning
Andre nummersystemer	kardinalnumre Ordinaltal (transfinite, ordinaler) p-adic Overnaturlige tal intervaltal
se også	dobbelte tal Irrationelle tal transcendentale tal nummerstråle Biquaternion