Binær gruppe af tetraeder

I matematik er den binære gruppe af et tetraeder (betegnet som 2 T eller <2,3,3>) en ikke -abeliask gruppe af den 24. orden . Gruppen er en forlængelse af orden 12 tetraedrisk gruppe T (eller (2,3,3)) af orden 2 cyklisk gruppe og er det omvendte billede af tetraedergruppen for den 2:1 , der dækker homomorfi den særlige ortogonal gruppe af spinorgruppen . Dette indebærer, at den binære gruppe af tetraederet er en diskret undergruppe af Spin(3)-gruppen af den 24. orden. $\operatørnavn {Spin} (3)\til \operatørnavn {SO} (3)$

Den binære gruppe af tetraederet beskrives enklest som en diskret undergruppe af quaternion- enheder under isomorfismen , hvor Sp(1) er den multiplikative gruppe af quaternion-enheder (se beskrivelsen af denne homomorfi i artiklen quaternions and space rotation ). $\operatorname {Spin} (3)\cong \operatorname {Sp} (1)$

Elementer

Den binære gruppe af et tetraeder er givet som gruppen af ener i Hurwitz -ringen af heltal . Der er 24 sådanne enheder

{\displaystyle \{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k,{\tfrac {1}{2))(\pm 1\pm i\pm j\pm k)\))

med enhver kombination af tegn.

Alle 24 enheder er lig med 1 i absolut værdi og er derfor i gruppen af enheder af kvaternioner Sp(1). Det konvekse skrog af disse 24 elementer i 4-dimensionelt rum danner et konveks regulært 4-dimensionelt polyeder kaldet en 24-celle .

Egenskaber

Den binære gruppe af tetraeder 2 T passer ind i den korte nøjagtige sekvens

1\to \{\pm 1\}\to 2T\to T\to 1.

Denne sekvens opdeler ikke i den forstand, at 2 T ikke er et halvdirekte produkt af {±1} og T . Faktisk er der ingen undergruppe 2 T isomorf til T .

Den binære gruppe af tetraederet er den dækkende gruppe af den tetraedriske gruppe. Hvis vi betragter den tetraedriske gruppe som en vekslende gruppe på fire bogstaver , vil den binære gruppe af tetraederet være en dækkende gruppe $T\cong A_{4}$ $2T\cong {\widehat {A_{4))}.$

Midten af gruppe 2 T er undergruppen {±1}. Den indre automorfe gruppe er isomorf , mens den fulde automorfi gruppe er isomorf [1] . $A_{4}$ $S_4$

Den binære gruppe af et tetraeder kan skrives som et halvdirekte produkt

{\displaystyle 2T=Q\rtimes \mathbb {Z} _{3))

hvor Q er quaterniongruppen bestående af 8 Lipschitz-enheder og Z 3 , den 3. ordens cykliske gruppe dannet af ω = −1(1+ i + j + k ). Gruppen Z 3 arbejder på en normal undergruppe Q som en konjugation . Konjugering med hensyn til ω er en automorfi af Q , der roterer i , j og k .

Det kan vises, at den binære gruppe af tetraederet er isomorf med den lineære gruppe SL(2,3), gruppen af alle 2×2 matricer over et endeligt felt F 3 med enhedsdeterminant.

Gruppemission

Gruppe 2 T har en opgave defineret af formlen

\langle r,s,t\midt r^{2}=s^{3}=t^{3}=første\rangle

hvilket svarer til

\langle s,t\mid (st)^{2}=s^{3}=t^{3}\rangle .

Generatorer er givet ved formlen

s={\tfrac {1}{2}}(1+i+j+k)\qquad t={\tfrac {1}{2}}(1+i+jk).

Undergrupper

Kvaterniongruppen , der består af 8 Lipschitz-enheder , danner en normal undergruppe på 2 T med indeks 3. Denne gruppe og midten {±1} er de eneste ikke-trivielle normale undergrupper.

Alle andre undergrupper af gruppe 2T er cykliske grupper af orden 3, 4 og 6 dannet af forskellige grundstoffer.

Store dimensioner

Da den tetraedriske gruppe generaliserer til rotationssymmetrigruppen af n - simplex (som en undergruppe af SO( n )), er der en tilsvarende højere-ordens binær gruppe, der er en dækning af 2-manifolden, opnået fra dækningen $\operatørnavn {Spin} (n)\til \operatørnavn {SO} (n).$

Rotationssymmetrigruppen af en n - simplex kan repræsenteres som en alternerende gruppe af bogstaver, og den tilsvarende binære gruppe er en dækkende gruppe af 2-manifolden. For alle højere dimensioner undtagen og (svarende til 5-dimensionelle og 6-dimensionelle simplicer), er denne binære gruppe en dækningsgruppe (maksimal dækning) og superperfekt , men for dimensionerne 5 og 6 er der en ekstra speciel dækker 3 -varianter og binære grupper er ikke superperfekte. $n+1$ $A_{n+1},$ $A_{6}$ $A_7$

Brug i teoretisk fysik

Den binære gruppe af tetraederet blev brugt i sammenhæng med Yang-Mills teorien i 1956 af Yang Zhenning [2] . Den blev første gang brugt til at bygge en fysisk model af Paul Frampton og Thomas Kephart i 1994 [3] . I 2012 blev det vist [4] , at forholdet mellem vinklerne for neutrinoudvidelse, opnået [5] ved hjælp af binær tetraedrisk symmetri, stemmer overens med teorien.

Se også

Binær gruppe af et polyeder
Binær cyklisk gruppe
Binær dihedral gruppe
Binær gruppe af oktaederet
Binær gruppe af icosahedron

Noter

↑ Speciel lineær gruppe:SL(2,3) . gruppeprops . Dato for adgang: 18. juni 2015. Arkiveret fra originalen 4. juli 2015. (ubestemt)
↑ Case, 1956 , s. 874-876.
↑ Frampton, 1995 , s. 4689-4704.
↑ Eby, 2012 , s. 117-304.
↑ Eby, 2009 , s. 386-390.

Litteratur

John H. Conway, Derek A. Smith. Om Kvaternioner og Oktonioner. - Natick, Massachusetts: A.K. Peters, Ltd, 2003. - ISBN 1-56881-134-9 .
H.S.M. Coxeter, W.O.J. Moser. Generatorer og relationer for diskrete grupper, 4. udgave. - New York: Springer-Verlag, 1980. - ISBN 0-387-09212-9 . 6.5 De binære polyedriske grupper, s. 68
E.M. Case, Robert Karplus, C.N. Yang. Mærkelige partikler og bevarelsen af isotopisk spin // Fysisk gennemgang. - 1956. - T. 101 . - doi : 10.1103/PhysRev.101.874 .
Paul H. Frampton, Thomas W. Kephart. Simple Nonabelian Finite Flavor Groups and Fermion Masses // International Journal of Modern Physics. - 1995. - T. A10 .
David A. Eby, Paul H. Frampton. Ikke-nul theta(13)signaler ikke-maksimal atmosfærisk neutrinoblanding // Fysisk gennemgang. - 2012. - T. D86 . - doi : 10.1103/physrevd.86.117304 . - arXiv : 1112.2675 .
David A. Eby, Paul H. Frampton, Shinya Matsuzaki. Forudsigelser for neutrino-blandingsvinkler i en T′-model // Fysikbogstaver. - 2009. - T. B671 . - S. 386-390. - arXiv : 0801.4899 .