Asymptotisk analyse

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 9. marts 2020; checks kræver 3 redigeringer .

Asymptotisk analyse er en metode til at beskrive funktioners begrænsende adfærd.

For eksempel, i en funktion , når den nærmer sig uendelighed, bliver termen ubetydelig sammenlignet med , så funktionen siges at være "asymptotisk ækvivalent som ", hvilket ofte også skrives som . Et eksempel på et vigtigt asymptotisk resultat er primtalssætningen . Lad betegner fordelingen funktion af primtal , Det vil sige lig med antallet af primtal , der er mindre end eller lig med , Så kan sætningen formuleres som . $f(n)=n^{2}+3n$ $n$ $3n$ $n^{2}$ $f(n)$ $n^{2}$ $n\til\infty$ ${\displaystyle f(n)\sim n^{2))$ $\pi(x)$ $\pi(x)$ $x$ $\pi (x)\sim {\frac {x}{\log x))$

Asymptotisk lighed

Lad og være nogle funktioner. Så er den binære relation defineret på en sådan måde, at $f(x)$ $g(x)$ $\sim$

f(x)\sim g(x)\quad ({\text{for }}x\to \infty )

hvis og kun hvis [1]

\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)))=1.

Funktionerne og kaldes også asymptotisk ækvivalente , da det er en ækvivalensrelation for funktioner over . Domænet for og kan være ethvert sæt, hvor begrebet grænse giver mening: reelle tal , komplekse tal , naturlige tal osv. Den samme notation bruges også til andre grænsebegrænsninger på , som f.eks . En specifik grænse er normalt ikke angivet, hvis det fremgår tydeligt af sammenhængen. $f$ $g$ $\sim$ $x$ $f$ $g$ $x$ $x\to 0$

Ovenstående definition er almindelig i litteraturen, men den mister sin betydning, hvis den tager et uendeligt antal gange. Derfor bruger nogle forfattere en alternativ definition i form af O-notation : $g(x)$ $0$

f(x)-g(x)\in o(g(x)).

Denne definition svarer til den ovenfor angivne, hvis den er forskellig fra nul i et eller andet område af grænsepunktet [2] [3] . $g(x)$

Egenskaber

Hvis og , så er følgende under nogle naturlige begrænsninger sandt: $f\sim g$ $a\sim b$

${\displaystyle f^{r}\sim g^{r))$ , for enhver ægte $r$
$\log(f)\sim \log(g)$
$f\times a\sim g\times b$
$f/a\sim g/b$

Disse egenskaber gør det muligt frit at udveksle asymptotisk ækvivalente funktioner for hinanden i nogle algebraiske udtryk.

Eksempler på asymptotiske formler

Stirling formel for factorials

n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}

Antal måder at opdele et naturligt tal i en uordnet sum af naturlige tal $n$

p(n)\sim {\frac {1}{4n{\sqrt {3))))e^{\pi {\sqrt {\frac {2n}{3))))

Luftig funktion - løsning af en differentialligning $Ai(x)$ $y''-xy=0$

{\displaystyle \operatorname {Ai} (x)\sim {\frac {e^{-{\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}}}{2{\sqrt {\pi }}x^{1/4))))

Hankel funktioner

{\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z))}e^{i\left(z -{\frac {2\pi \alpha -\pi }{4}}\right)}\\H_{\alpha }^{(2)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2} {\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {2\pi \alpha -\pi }{4}}\right)}\end{aligned}}

Asymptotisk ekspansion

En asymptotisk udvidelse af en funktion er et udtryk for en funktion i form af en serie , hvis partielle summer måske ikke konvergerer , men enhver delsum giver det korrekte asymptotiske estimat . Hvert næste element i den asymptotiske ekspansion giver således en lidt mere præcis beskrivelse af rækkefølgen af vækst af . Med andre ord, hvis er en asymptotisk udvidelse af , Så i det generelle tilfælde for enhver . I overensstemmelse med definitionen betyder det, at , dvs. vokser asymptotisk meget langsommere $f(x)$ $f$ $f$ $f=g_{1}+g_{2}+g_{3}+\dots$ $f$ $f\sim g_{1},$ ${\displaystyle f-g_{1}\sim g_{2))$ ${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-1}\sim g_{k))$ $k$ $\sim$ $f-(g_{1}+\cdots +g_{k})=o(g_{k})$ $f-(g_{1}+\cdots +g_{k})$ $g_{k}.$

Hvis den asymptotiske ekspansion ikke konvergerer, så er der for ethvert argument en delsum, der bedst tilnærmer funktionen på dette tidspunkt, og yderligere tilføjelse af led til den vil kun reducere nøjagtigheden. Som regel vil antallet af led i en sådan optimal sum stige, når grænsepunktet nærmer sig. $x$

Eksempler på asymptotiske udvidelser

gamma funktion

{\frac {e^{x}}{x^{x}{\sqrt {2\pi x}}}}\Gamma (x+1)\sim 1+{\frac {1}{12x ))+{\frac {1}{288x^{2}}}-{\frac {139}{51840x^{3}}}-\cdots \ (x\to \infty )

Integral eksponent

xe^{x}E_{1}(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!}{x^{n }}}\ (x\til \infty )

Fejlfunktion

{\sqrt {\pi }}xe^{x^{2}}{\rm {erfc}}(x)\sim 1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1 )^{n}{\frac {(2n-1)!!}{n!(2x^{2})^{n}}}\ (x\to \infty )

hvor ( 2n − 1)!! er den dobbelte faktor .

Ansøgninger

Asymptotisk analyse anvendes:

I anvendt matematik at bygge numeriske metoder til løsning af ligninger.
I matematisk statistik og sandsynlighedsteori for at bestemme de begrænsende egenskaber af stokastiske variable og statistiske estimater .
I datalogi i analyse af algoritmer og deres køretid .
I statistisk fysik i analyse af fysiske systemers adfærd .
I analysen af katastrofer ved at bestemme årsagerne til en katastrofe ved at modellere mange katastrofer på samme sted.

Asymptotisk analyse er et nøgleværktøj til at studere differentialligninger, der opstår i matematisk modellering af fænomener i den virkelige verden [4] . Som regel er anvendelsen af asymptotisk analyse rettet mod at studere modellens afhængighed af en eller anden dimensionsløs parameter , som antages at være ubetydelig på skalaen af det problem, der skal løses.

Asymptotiske udvidelser opstår som regel i de omtrentlige beregninger af nogle integraler ( Laplaces metode, sadelpunktsmetode ) eller sandsynlighedsfordelinger ( Edgeworths serie ). Et eksempel på en divergerende asymptotisk ekspansion er Feynman-graferne i kvantefeltteorien .

Se også

Noter

↑ ( de Bruijn 1981 , §1.4)
↑ Hazewinkel, Michiel, red. (2001), Asymptotisk lighed , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
↑ Estrada & Kanwal (2002 , §1.2)
↑ Howison, S. (2005), Practical Applied Mathematics Arkiveret 22. juli 2021 på Wayback Machine , Cambridge University Press

Litteratur

Fedoryuk M. V. Asymptotik: Integraler og serier. — M .: Nauka , 1987. — 544 s. — (Matematisk referencebibliotek).
Olver, F. Introduktion til asymptotiske metoder og specielle funktioner. — M .: Nauka , 1978. — 386 s.
Balser, W. (1994), From Divergent Power Series To Analytic Functions , Springer-Verlag , < https://books.google.com/books?id=V-17CwAAQBAJ&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false >
de Bruijn, NG (1981), Asymptotic Methods in Analysis , Dover Publications , < https://books.google.com/books?id=Oqj9AgAAQBAJ&printsec=frontcover >
Estrada, R. & Kanwal, RP (2002), A Distributional Approach to Asymptotics , Birkhäuser , < https://books.google.com/books?id=X3cECAAAQBAJ&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false >
Miller, P.D. (2006), Applied Asymptotic Analysis , American Mathematical Society , < https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false >
Murray, JD (1984), Asymptotic Analysis , Springer , < https://books.google.com/books?id=PC3rBwAAQBAJ&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false >
Paris, R. B. & Kaminsky, D. (2001), Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals , Cambridge University Press og >