Bestå metode

Sadelmetoden er en metode, der bruges til at tilnærme integraler af formen

\int \limits _{\gamma }\Phi (z)e^{\lambda \phi (z)}\,dz,

hvor er nogle meromorfe funktioner , er nogle store tal, og konturen kan være uendelig. Denne metode omtales ofte som en generalisering af Laplaces metode . $\Phi (z),\phi (z)$ $\lambda$ $\gamma \in {\mathbb {C}}$

Løsningsalgoritme

Reducer integralet til . $I(\lambda )=\int \limits _{\gamma }\Phi (z)e^{\lambda \phi (z)}\,dz$
Da når adfærden er bestemt af eksponenten, er det nødvendigt at undersøge funktionen som følger : $\lambda \to \infty$ $I(\lambda)$ $\phi (z)$
1. Find sadelpunkterne , altså sådanne punkter, hvor relationen holder . $\phi '(z)=0$
2. Konstruer linjer med det stejleste fald.
Deformer konturen langs linjerne med det hurtigste fald. $\gamma$
Få integralets asymptotik ved hjælp af Laplaces metode .

Eksempel: Airy function asymptotics

Den luftige funktion er givet af følgende integral:

I(z)=\int \limits _{\gamma }\exp \left(pz-{\frac {p^{3}}{3}}\right)\,dp.

Som en kontur vil vi bruge den vist på figuren til højre. Lad os foretage en udskiftning og få: $\gamma$ $p={\sqrt {z}}s$

I(z)={\sqrt {z}}\int \limits _{\gamma }\exp \left[z^{3/2}\left(s-{\frac {s^{3} }{3}}\right)\right]\,ds.

Dermed har vi fået den nødvendige form af integralet med funktionen . Sadelpunkterne er derfor lig med: . $\phi (s)=s-{\frac {s^{3}}{3}}$ $s=\pm 1$

Det følger af Cauchy-Riemann-forholdene , at ved sadelpunkterne skærer kurverne for den hurtigste stigning og den hurtigste nedgang i en ret vinkel, og de kan ikke skære hinanden andre steder end sadelpunkterne. Ud fra disse simple betragtninger kan man entydigt konstruere dem. Kurverne for det stejleste fald er vist i figuren (pilene angiver vækstretningen).

For at bruge Laplace-metoden til at finde asymptotikken i dette integral er det nødvendigt at deformere konturen langs kurverne for det hurtigste fald ved lineære transformationer. Da det globale maksimum af funktionen nås på disse kurver , kan vi kun overveje et lille kvarter af det. Derfor udvider vi funktionen i en Taylor-serie i nærheden af sadelpunktet : $\gamma$ $\phi (s)$ $\phi (s)$

Bøger

Fedoryuk M. V. Beståelsesmetoden . - 1977. - S. 366 .
A. I. Prilepko, D. F. Kalinichenko. Asymptotiske metoder og specielle funktioner. - M. : MEPhI, 1980. - S. 107.
A. G. Sveshnikov, A. N. Tikhonov. Teori om funktioner af en kompleks variabel. - 5. udgave - M . : Nauka, Fizmatlit, 1999. - S. 319. - ISBN 5-02-015233-1 .

Bestå metode

Løsningsalgoritme

Eksempel: Airy function asymptotics

Bøger

Se også