Algebraisk overflade

En algebraisk overflade er en algebraisk variation af dimension to. I tilfælde af geometri over feltet af komplekse tal har en algebraisk overflade kompleks dimension to (som en kompleks manifold, hvis den er nonsingular ), og har derfor dimension fire som en glat manifold .

Teorien om algebraiske overflader er væsentligt mere kompleks end teorien om algebraiske kurver (herunder kompakte Riemann-overflader , som er ægte overflader af (virkelig) dimension to). Imidlertid blev mange resultater opnået af den italienske skole for algebraisk geometri for næsten hundrede år siden.

Klassificering efter Kodaira-dimension

I tilfælde af dimension et klassificeres sorter kun efter topologisk slægt , men i dimension to bliver forskellen mellem aritmetisk slægt og geometrisk slægt signifikant, da vi ikke kan skelne birationelt kun topologisk slægt. Vi introducerer begrebet uregelmæssighed til klassificering af overflader. $p_{a}$ ${\displaystyle p_{g))$

Eksempler på algebraiske overflader (her er κ Kodaira-dimensionen ):

κ=−∞: projektivt plan , kvadrikker i P 3 , kubiske overflader , Veronese overflade , del Pezzo overflader , linerede overflader
κ=0 : K3 overflader , Abeliske overflader , Enriques overflader , hyperelliptiske overflader
κ=1: elliptiske overflader
κ=2: overflader af generel type .

Andre eksempler kan findes i artiklen ''Liste over algebraiske overflader'' .

De første fem eksempler er faktisk birationelt ækvivalente . Det vil sige, at for eksempel feltet for rationelle funktioner på en kubisk overflade er isomorft med feltet for rationelle funktioner på det projektive plan , som er feltet for rationelle funktioner i to variable. Det kartesiske produkt af to kurver er også et eksempel.

Birational geometri af overflader

Den birationale geometri af algebraiske overflader er rig på grund af "blow-up" transformationen (som også er kendt som "monoidal transformation"), hvor et punkt erstattes af en kurve af alle afgrænsede tangentretninger i det (en projektiv linje ). Nogle kurver kan trækkes sammen , men der er en begrænsning (selvskæringsindekset skal være -1).

Egenskaber

Nakai-kriteriet siger, at:

En divisor D [1] på en overflade S er rigelig, hvis og kun hvis D 2 > 0 og D • C > 0 for alle irreducerbare kurver C på S [2] [3] .

En rigelig divisor har den nyttige egenskab, at den er det omvendte billede af hyperplandivisoren af et projektivt rum, hvis egenskaber er velkendte. Lad være en abelsk gruppe bestående af alle divisorer på S . Så ved skæringssætningen , ${\mathcal {D}}(S)$

{\mathcal {D}}(S)\time {\mathcal {D}}(S)\rightarrow \mathbb {Z} :(X,Y)\mapsto X\cdot Y

kan opfattes som en kvadratisk form . Lade

{\mathcal {D}}_{0}(S):=\{D\in {\mathcal {D}}(S)|D\cdot X=0

for alle

X\in {\mathcal {D}}(S)\}

bliver så numerisk ækvivalent med klassegruppen af overfladen S og ${\mathcal {D}}/{\mathcal {D}}_{0}(S):=Num(S)$

Antal(S)\gange Antal(S)\mapsto \mathbb {Z} =({\bar {D)),{\bar {E)))\mapsto D\cdot E

bliver også en andengradsform på , hvor er billedet af divisor D på S . ( Bogstavet D bruges nedenfor til billedet .) $Antal(S)$ ${\bar {D))$ ${\bar {D))$

For en rigelig bunke H på S definitionen

\{H\}^{\perp }:=\{D\i antal(S)|D\cdot H=0\}.

fører til en version af Hodge-sætningen om indekset på overfladen

for , det vil sige, er en negativ bestemt andengradsform.

D\in \{\{H\}^{\perp }|D\neq 0\},D\cdot D<0

{\displaystyle \{H\}^{\perp ))

Denne sætning er bevist ved hjælp af Nakai-kriteriet og Riemann-Rochs overfladesætning. For alle divisorer fra denne sætning er sande. Denne teorem er ikke kun et værktøj til undersøgelse af overflader, men den blev brugt af Deligne til at bevise Weil-formodningerne , da den er sand i alle algebraisk lukkede felter. ${\displaystyle \{H\}^{\perp ))$

Grundlæggende resultater i teorien om algebraiske overflader er Hodge-indekssætningen og fem-gruppe-dekomponeringen af rationelle ækvivalensklasser, som er kendt som Enriques-Kodaira- klassifikationen eller klassificeringen af algebraiske overflader . En klasse af generel type med Kodaira-dimension 2 er meget stor (den indeholder f.eks. ikke-singulære overflader af grad 5 og højere i P 3 ).

Der er tre grundlæggende numeriske Hodge-invarianter for en overflade. Blandt disse er h 1,0 , som kaldes uregelmæssigheden og betegnes som q , og h 2,0 , som kaldes den geometriske slægt p g . Den tredje invariant, h 1,1 , er ikke en birational invariant , da opblæsningen kan tilføje komplette kurver fra klassen H 1,1 . Det er kendt, at Hodge-cyklusser er algebraiske, og at algebraisk ækvivalens er det samme som homologisk ækvivalens, således at h 1,1 er en øvre grænse for ρ, rangen af Néron-Severi-gruppen . Slægten p a er lig med forskellen

geometrisk slægt - uregelmæssighed.

Dette faktum forklarer, hvorfor uregelmæssigheden hedder sådan, da det er en slags "restbetegnelse".

Noter

↑ Definitionen af en divisor kan findes i Hartshorne ( Hartshorn 1981 )
↑ Averu et al., 1985 , s. 119.
↑ Hartshorne, 1981 , s. 459, Sætning 1.10.

Litteratur