Afrunding

Afrunding er erstatningen af et tal med dets omtrentlige værdi (med en vis nøjagtighed ), skrevet med færre signifikante cifre. Modulus for forskellen mellem det tal, der udskiftes, og erstatningstallet kaldes afrundingsfejlen .

Afrunding bruges til at repræsentere værdier og beregningsresultater med lige så mange decimaler som den sande måling eller beregningspræcision, eller som krævet af den pågældende applikation. Afrunding i manuelle beregninger kan også bruges til at forenkle beregninger i de tilfælde, hvor fejlen, som afrundingsfejlen medfører, ikke går ud over grænserne for den tilladte regnefejl.

Generel afrunding og terminologi

Afrundingen af et tal skrevet i positionstalsystemet med M decimaler kan ske "op til K. decimal", hvor K ≤ M. Med denne afrunding kasseres tal i posten til højre (MK) af signifikant cifre, og det K. ciffer efter kommaet kan ændre sig (se #Metoder ). Terminologi bruges også til at angive enheden for den mindste decimalandel, der er bevaret for et afrundet tal, det vil sige "afrunding til tiendedele", "... til hundrededele", "... til tusindedele" osv. (svarer til afrunding til en, to, tre og så videre flere decimaler). Det specielle tilfælde, hvor K=0 kaldes "oprunding".
Når signifikante cifre i den heltallige del af tallet kasseres under afrunding, taler de om "afrunding til tiere" (hundrede, tusinder og så videre), og kasserer henholdsvis et, to, tre eller flere tegn. Med denne afrunding erstattes de kasserede cifre i den heltallige del af tallet med nuller.
For tal repræsenteret i normaliseret form taler man om "afrunding til K (signifikante) cifre". I dette tilfælde bevarer mantissen af tallet K signifikante cifre, de resterende cifre til højre kasseres.

Metoder

Forskellige felter kan bruge forskellige metoder til afrunding. I alle disse metoder er de "ekstra" tegn sat til nul (kasseret), og tegnet forud for dem korrigeres efter en eller anden regel.

Afrunding til nærmeste heltal

Afrunding til nærmeste heltal er den mest almindeligt anvendte afrunding, hvor et tal afrundes til et heltal, modulus for forskellen, hvormed dette tal har et minimum. Generelt, når et tal i decimalsystemet rundes op til N. decimal, kan reglen formuleres som følger:

hvis N+1 tegn < 5 , så bibeholdes det N. tegn, og N+1 og alle efterfølgende tegn sættes til nul;
hvis N+1 ciffer ≥ 5 , så øges det N. ciffer med et, og N+1 og alle efterfølgende sættes til nul;

For eksempel: 11,9 → 12; -0,9 → -1; −1,1 → −1; 2,5 → 3. Den maksimale ekstra absolutte fejl, der indføres ved denne afrunding (afrundingsfejl) er ±0,5 af det sidst gemte ciffer.

Afrunding opad

Afrunding opad (runding op +∞, afrunding op, engelsk loft - lit. "loft") - hvis tegnene, der skal nulstilles, ikke er lig med nul, øges det foregående tegn med én, hvis tallet er positivt, eller gemmes, hvis tallet er negativt. I økonomisk jargon - afrunding til fordel for sælgeren , kreditor (den person, der modtager pengene). Især 2,6 → 3, −2,6 → −2. Afrundingsfejlen er inden for +1 fra det sidst gemte ciffer.

Afrunding nedad

Afrunding nedad (afrunding ned til −∞, afrunding nedad, engelsk etage - bogstaveligt "gulv") - hvis nultegnene ikke er lig med nul, bibeholdes det forrige tegn, hvis tallet er positivt, eller øges med et, hvis tallet er negativ. I økonomisk jargon - afrunding til fordel for køberen , skyldneren (den person, der giver pengene). Her 2,6 → 2, −2,6 → −3. Afrundingsfejlen er inden for −1 fra det sidst gemte ciffer.

Afrunding op modulo

Oprunding (afrunding mod uendeligt, afrunding væk fra nul) er en relativt sjældent brugt form for afrunding. Hvis nul-tegnene ikke er lig med nul, øges det foregående tegn med én. Afrundingsfejl er +1 sidste ciffer for positive tal og -1 sidste ciffer for negative tal .

Afrunding nedad modulo

Afrunding til den mindste modulo (afrunding til nul, hel engelsk fix, truncate, heltal ) er den mest "simple" afrunding, fordi efter nulstilling af de "ekstra" tegn bevares det forrige tegn, det vil sige teknisk set består det i at kassere ekstra tegn. For eksempel, 11,9 → 11; -0,9 → 0; −1,1 → −1). Med en sådan afrunding kan der indføres en fejl inden for enheden af det sidst lagrede ciffer, og i den positive del af den numeriske akse er fejlen altid negativ, og i den negative del er den positiv.

Tilfældig afrunding

Tilfældig afrunding - afrunding op eller ned i en tilfældig rækkefølge, mens sandsynligheden for at runde op er lig med brøkdelen. Denne metode gør akkumulering af fejl til en tilfældig variabel med nul matematisk forventning .

Muligheder for afrunding 0,5 til nærmeste heltal

En separat beskrivelse er påkrævet af afrundingsreglerne for det specielle tilfælde, når (N + 1) tegn = 5, og efterfølgende tegn er lig med nul . Hvis afrunding til nærmeste heltal i alle andre tilfælde giver en mindre afrundingsfejl, så er netop dette tilfælde karakteriseret ved, at det for en enkelt afrunding formelt set er ligegyldigt, om det er "op" eller "ned" - i begge tilfælde en fejl indføres nøjagtigt i 1/2 af det mindst signifikante ciffer. Der er følgende varianter af afrundingsreglen til nærmeste heltal for dette tilfælde:

Matematisk afrunding - afrunding er altid op (det forrige ciffer øges altid med et).
Afrunding til nærmeste lige tal (på engelsk er det kendt som den engelske banker's rounding - "rounding the banker") - afrunding for dette tilfælde sker til nærmeste lige tal, det vil sige 2,5 → 2; 3,5 → 4.
Tilfældig afrunding - afrunding op eller ned tilfældigt, men med lige stor sandsynlighed (kan bruges i statistik).
Skiftende afrunding - afrunding på skift op eller ned.

I alle tilfælde, når (N + 1) fortegn ikke er lig med 5 eller efterfølgende fortegn ikke er lig med nul, sker afrunding efter de sædvanlige regler: 2,49 → 2; 2,51 → 3.

Matematisk afrunding svarer simpelthen formelt til den generelle afrundingsregel (se ovenfor). Dens ulempe er, at ved afrunding af et stort antal værdier, som derefter vil blive behandlet sammen, kan der opstå en akkumulering af afrundingsfejl . Et typisk eksempel: afrunding til hele rubler beløb af penge udtrykt i rubler og kopek. I et register på 10.000 linjer (forudsat at kopek-delen af hvert beløb er et tilfældigt tal med en ensartet fordeling, hvilket normalt er ganske acceptabelt), vil der i gennemsnit være omkring 100 linjer med beløb, der indeholder værdien 50 i kopek-delen. Når alle sådanne linjer er afrundet i henhold til reglerne for matematisk afrunding "op" vil summen af "totalen" ifølge det afrundede register være 50 rubler mere end den nøjagtige.

De tre andre muligheder er netop opfundet for at reducere summens samlede fejl ved afrunding af et stort antal værdier. Afrunding "til nærmeste lige" forudsætter, at med et stort antal afrundede værdier, der har 0,5 i den afrundede rest, vil halvdelen af dem i gennemsnit være til venstre og halvdelen til højre for den nærmeste lige, og dermed afrundingsfejl vil ophæve hinanden. Strengt taget er denne antagelse kun sand, når mængden af tal, der afrundes, har egenskaberne af en tilfældig række, hvilket normalt er sandt i regnskabsapplikationer, hvor vi taler om priser, beløb på konti og så videre. Hvis antagelsen overtrædes, kan afrunding "til lige" føre til systematiske fejl. I sådanne tilfælde fungerer følgende to metoder bedst.

De sidste to afrundingsmuligheder sikrer, at cirka halvdelen af de særlige værdier bliver rundet den ene vej og halvt den anden vej. Men implementeringen af sådanne metoder i praksis kræver yderligere indsats for at organisere beregningsprocessen.

Tilfældig afrunding kræver, at der genereres et tilfældigt tal for hver afrundet række. Når du bruger pseudo-tilfældige tal genereret af en lineær tilbagevendende metode, er operationen med multiplikation, addition og modulo division påkrævet for at generere hvert tal, hvilket betydeligt kan bremse beregninger for store mængder data.
Interleaved afrunding kræver lagring af et flag, der angiver, hvilken vej den særlige værdi sidst blev afrundet, og ændring af værdien af dette flag med hver operation.

Notation

Operationen med at afrunde et tal x til et større ( op ) betegnes som følger: . På samme måde er afrunding ned ( ned ) angivet med . Disse symboler (såvel som de engelske navne for disse operationer - henholdsvis loft og gulv , lit. "loft" og "gulv") blev introduceret [1] af K. Iverson i hans værk A Programming Language [2] , som beskrev systemet med matematisk notation, senere udviklet til APL -programmeringssproget . Iversons notation for afrundingsoperationer blev populært af D. Knuth i hans bog The Art of Programming [ 3] . $\lceil x\rceil$ $\lgulv x\rgulv$

I analogi betegnes afrunding til nærmeste heltal ofte som . I nogle tidligere og moderne (indtil slutningen af det 20. århundrede) værker blev afrunding angivet på denne måde; denne brug af denne notation går tilbage til Gauss ' arbejde i 1808 (hans tredje bevis på den kvadratiske lov om gensidighed ). Derudover bruges den samme notation (med en anden betydning) i Iverson-notation . [en] $\venstre[ x \højre]$

Følgende tegn er fastsat i Unicode- standarden :

Navn i Unicode	Kode i Unicode		Udsigt	Mnemonics i HTML 4	Noter
Navn i Unicode	hexadecimal	decimal	Udsigt	Mnemonics i HTML 4	Noter
VENSTRE LOFT (også APL upstile)	2308	8968	⌈	⌈	ikke at forveksle med: U+2E22 ⸢ - Øverste venstre halvbeslag U+300C「- Venstre hjørnebeslag
HØJRE LOFT	2309	8969	⌉	⌉	ikke at forveksle med: U+20E7 ◌⃧ — Kombinerende annuitetssymbol U+2E23 ⸣ - Øverste højre halvbeslag
VENSTRE ETAGE (også APL downstile)	230A	8970	⌊	&lgulv;	ikke at forveksle med: U+2E24 ⸤
HØJRE ETAGE	230B	8971	⌋	&rgulv;	ikke at forveksle med: U+2E25 ⸥ U+300D」-Højre hjørnebeslag

Ansøgninger

Afrunding bruges til at arbejde med tal inden for det antal cifre, der svarer til den faktiske nøjagtighed af beregningsparametrene (hvis disse værdier er reelle værdier målt på den ene eller anden måde), den realistisk opnåelige beregningsnøjagtighed, eller den ønskede nøjagtighed af resultatet. Tidligere var afrunding af mellemværdier og resultatet af praktisk betydning (fordi, når man regner på papir eller bruger primitive enheder som abacus , kan det øge mængden af arbejde alvorligt at tage højde for ekstra decimaler). Nu forbliver det et element af videnskabelig og ingeniørkultur. I regnskabsapplikationer kan brugen af afrunding, herunder mellemliggende, desuden være påkrævet for at beskytte mod beregningsfejl forbundet med den endelige bitkapacitet af computerenheder.

Desuden bruger nogle undersøgelser aldersafrunding til at måle talforståelse . Dette skyldes, at mindre uddannede har en tendens til at runde deres alder i stedet for at angive den nøjagtige alder. For eksempel, i officielle optegnelser over befolkninger med lavere niveauer af menneskelig kapital , er alder 30 mere almindelig end alder 31 eller 29 [4] .

Afrunding ved håndtering af tal med begrænset præcision

Reelle fysiske størrelser måles altid med en vis endelig nøjagtighed , som afhænger af instrumenterne og målemetoderne og estimeres ved den maksimale relative eller absolutte afvigelse af den ukendte sande værdi fra den målte, som i decimalrepræsentation af værdien svarer enten til et vist antal signifikante cifre, eller til en bestemt position i nummerindtastningen, hvor alle numrene efter (til højre) er ubetydelige (ligger indenfor målefejlen ). Selve de målte parametre er registreret med så mange tegn, at alle tal er pålidelige, måske er den sidste tvivlsom. Fejlen i matematiske operationer med tal med begrænset præcision er bevaret og ændres i henhold til kendte matematiske love, så når mellemværdier og resultater med et stort antal cifre optræder i yderligere beregninger, er kun en del af disse cifre signifikante. De resterende tal, der er til stede i værdierne, afspejler faktisk ikke nogen fysisk virkelighed og tager kun tid til beregninger. Som et resultat afrundes mellemværdier og resultater i beregninger med begrænset nøjagtighed til det antal decimaler, der afspejler den faktiske nøjagtighed af de opnåede værdier. I praksis anbefales det normalt at gemme et ciffer mere i mellemværdier for lange "kædede" manuelle beregninger. Ved brug af en computer mister mellemrundinger i videnskabelige og tekniske anvendelser oftest deres betydning, og kun resultatet afrundes.

Så hvis for eksempel en kraft på 5815 gf er givet med en nøjagtighed på et gram kraft og en skulderlængde på 1,40 m med en nøjagtighed på en centimeter, så er kraftmomentet i kgf ifølge formlen , i tilfældet af en formel beregning med alle tegn, vil være lig med: 5.815 kgf • 1, 4 m \u003d 8.141 kgf • m . Men hvis vi tager målefejlen i betragtning, så får vi, at den begrænsende relative fejl for den første værdi er 1/5815 ≈ 1,7•10 −4 , den anden er 1/140 ≈ 7,1•10 −3 , den relative fejl af resultatet i henhold til operationsfejlreglens multiplikation (når man multiplicerer omtrentlige værdier, summeres de relative fejl) vil være 7,3•10 −3 , hvilket svarer til den maksimale absolutte fejl af resultatet ±0,059 kgf•m! Det vil sige, i virkeligheden, under hensyntagen til fejlen, kan resultatet være fra 8.082 til 8.200 kgf•m, således i den beregnede værdi på 8.141 kgf•m er kun det første tal fuldstændig pålideligt, selv det andet er allerede tvivlsomt ! Det vil være korrekt at afrunde resultatet af beregninger til det første tvivlsomme tal, det vil sige til tiendedele: 8,1 kgf•m, eller, om nødvendigt, en mere nøjagtig indikation af fejlmarginen, præsentere det i en form afrundet til en eller to decimaler med angivelse af fejlen: 8 ,14 ± 0,06 kgf•m . $M=(mg)\cdot h$

Afrunding af den beregnede fejlværdi

Normalt er kun de første en eller to signifikante tal tilbage i den endelige værdi af den beregnede fejl. I henhold til en af de anvendte regler, hvis fejlværdien starter med cifrene 1 eller 2 [5] (ifølge en anden regel - 1, 2 eller 3 [6] ), så er to signifikante cifre gemt i den, i andre tilfælde - en, for eksempel: 0 ,13; 0,26; 0,3; 0,8. Det vil sige, at hvert årti af mulige værdier af den afrundede fejl er opdelt i to dele. Ulempen ved denne regel er, at den relative afrundingsfejl ændrer sig markant, når man går fra 0,29 til 0,3. For at eliminere dette foreslås det at opdele hvert årti af mulige fejlværdier i tre dele med en mindre skarp ændring i afrundingstrinnet. Derefter har en række afrundede fejlværdier, der er tilladt at bruge, formen:

0,10; 0,12; 0,14; 0,16; 0,18;
0,20; 0,25; 0,30; 0,35; 0,40; 0,45;
0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 1.0.

Men når man bruger en sådan regel, skal de sidste cifre i selve resultatet, efterladt efter afrunding, også svare til den givne serie [5] .

Genberegning af værdierne af fysiske mængder

Genberegningen af værdien af en fysisk mængde fra et system af enheder til et andet skal udføres med bibeholdelse af nøjagtigheden af den oprindelige værdi. For at gøre dette skal den oprindelige værdi i én enhed multipliceres (divideres) med en omregningsfaktor, der ofte indeholder et stort antal signifikante cifre, og resultatet skal afrundes til antallet af signifikante cifre, der sikrer nøjagtigheden af den oprindelige værdi. . For eksempel, når man konverterer en kraftværdi på 96,3 tf til en værdi udtrykt i kilonewtons (kN), skal den oprindelige værdi multipliceres med en konverteringsfaktor på 9,80665 (1 tf = 9,80665 kN). Resultatet er en værdi på 944,380395 kN, som skal afrundes til tre signifikante cifre. I stedet for 96,3 tf får vi 944 kN [7] .

Tommelfingerregler for afrunding af regnestykker

I tilfælde, hvor der ikke er behov for nøjagtigt at tage højde for beregningsfejl, men kun et omtrentligt estimat af antallet af nøjagtige tal som følge af beregningen med formlen er påkrævet, kan du bruge et sæt simple regler for afrundede beregninger [ 8] :

Alle råværdier rundes op til den faktiske målenøjagtighed og registreres med det passende antal signifikante cifre, således at alle cifre i decimalnotation er pålidelige (det er tilladt, at det sidste ciffer er tvivlsomt). Om nødvendigt registreres værdier med signifikante højre nuller, så det faktiske antal pålidelige tegn er angivet i posten (f.eks. hvis en længde på 1 m faktisk måles til nærmeste centimeter, er "1,00 m" skrevet, så det kan ses, at to tegn er pålidelige i posten efter decimaltegnet), eller nøjagtigheden er eksplicit angivet (for eksempel 2500 ± 5 m - her er kun tiere pålidelige, og skal rundes op til dem) .
Mellemværdier afrundes med et "reserve"-ciffer.
Når der lægges til og trækkes fra, afrundes resultatet til den sidste decimal af den mindst nøjagtige af parametrene (for eksempel, når man beregner en værdi på 1,00 m + 1,5 m + 0,075 m, afrundes resultatet til tiendedele af en meter, dvs. er til 2,6 m). Samtidig anbefales det at udføre beregninger i en sådan rækkefølge, at man undgår at trække tal, der er tæt på i størrelse, og at udføre operationer på tal, hvis det er muligt, i stigende rækkefølge af deres moduler.
Når der multipliceres og divideres, afrundes resultatet til det mindste antal signifikante cifre, som faktorerne eller dividende og divisor har. For eksempel, hvis et legeme med ensartet bevægelse tilbagelagde en afstand på 2,5⋅10 3 meter på 635 sekunder , så skal resultatet rundes op til 3,9 m/s , når man beregner hastigheden, da et af tallene (afstanden) er kendt kun med en nøjagtighed på to signifikante cifre. Vigtig bemærkning: hvis en operand under multiplikation eller en divisor under division er et heltal i betydning (det vil sige ikke resultatet af måling af en kontinuerlig fysisk størrelse med en nøjagtighed af heltalsenheder, men for eksempel en mængde eller blot en heltalskonstant ), så er antallet af signifikante cifre i det, nøjagtigheden af resultatet af operationen ikke påvirkes, og antallet af tilbageværende cifre bestemmes kun af den anden operand. For eksempel er den kinetiske energi af et legeme med en masse på 0,325 kg , der bevæger sig med en hastighed på 5,2 m/s , lig med $E_{k}={\tfrac {mv^{2}}{2}}={\tfrac {0.325\cdot 5.2^{2}}{2}}=4.394\ca. 4.4$ J - afrundet til to decimaler (i henhold til antallet af signifikante cifre i hastighedsværdien), og ikke til én (divisor af 2 i formlen), da værdien 2 er en heltalsformelkonstant, er den absolut nøjagtig og påvirker ikke nøjagtigheden af beregninger (formelt kan en sådan operand betragtes som "målt med et uendeligt antal signifikante cifre").
Når du hæver til en potens, bør du som følge af beregningen lade lige så mange signifikante cifre, som gradens basis har.
Når man uddrager en rod af en hvilken som helst grad fra et omtrentligt tal, bør der derfor tages lige så mange signifikante cifre, som rodtallet har.
Ved beregning af værdien af en funktion er det nødvendigt at estimere værdien af modulet af den afledte funktion af denne funktion i nærheden af beregningspunktet. Hvis , så er resultatet af funktionen nøjagtig med samme decimal som argumentet. Ellers indeholder resultatet færre nøjagtige decimaler med , rundet op til nærmeste heltal. $f \venstre( x \højre)$ $\left|f'\left(x\right)\right|\leqslant 1$ $\log _{10}\left(\left|f'\left(x\right)\right|\right)$

På trods af ustrengheden fungerer ovenstående regler ganske godt i praksis, især på grund af den ret høje sandsynlighed for gensidig annullering af fejl, som normalt ikke tages i betragtning, når fejl tages nøjagtigt i betragtning.

Fejl

Ganske ofte er der misbrug af ikke-runde tal. For eksempel:

Skriv tal ned, der har lav nøjagtighed, i uafrundet form. I statistik: hvis 4 personer ud af 17 svarede "ja", så skriver de "23,5%" (mens "24%" er korrekt, da antallet af signifikante cifre i kildedataene ikke er mere end to ).
Pointerbrugere tænker nogle gange sådan: "Markøren stoppede mellem 5,5 og 6 tættere på 6, lad det være 5,8" - sådan ræsonnement er forkert. ( Kalibreringen af instrumentet svarer som regel til dets reelle nøjagtighed, det ville være korrekt at fastsætte værdien "6".

Interessant fakta

Carl Friedrich Gauss bemærkede: "Manglerne ved matematisk uddannelse kommer tydeligst til udtryk i den overdrevne nøjagtighed af numeriske beregninger" [9] .

Se også

Noter

↑ 1 2 Floor Function - fra Wolfram MathWorld . Hentet 8. august 2015. Arkiveret fra originalen 5. september 2015. (ubestemt)
↑ Iverson, Kenneth E. Et programmeringssprog . - Wiley, 1962. - ISBN 0-471-43014-5 . Arkiveret kopi (ikke tilgængeligt link) . Dato for adgang: 8. august 2015. Arkiveret fra originalen 4. juni 2009. (ubestemt)
↑ Knut D. E. Kunsten at programmere. Bind 1. Grundlæggende algoritmer = Kunsten at programmere computer. Bind 1. Fundamental Algorithms / red. S. G. Trigub (kap. 1), Yu. G. Gordienko (kap. 2) og I. V. Krasikova (afsnit 2.5 og 2.6). - 3. - Moskva: Williams, 2002. - T. 1. - 720 s. — ISBN 5-8459-0080-8 .
↑ A'Hearn, B., J. Baten, D. Crayen (2009). "Quantifying Quantitative Literacy: Age Heaping and the History of Human Capital," Journal of Economic History 69, 783-808.
↑ 1 2 Afrunding af måleresultater . www.metrologie.ru Hentet 10. august 2019. Arkiveret fra originalen 16. august 2019. (ubestemt)
↑ 1.3.2. Regler for afrunding af fejlværdier og registrering . StudFiles. Hentet 10. august 2019. Arkiveret fra originalen 10. august 2019. (Russisk)
↑ Regler for genberegning af værdier af fysiske mængder | Enheder af fysiske størrelser . sv777.ru. Hentet 8. august 2019. Arkiveret fra originalen 8. august 2019. (ubestemt)
↑ V. M. Zavarykin, V. G. Zhitomirsky, M. P. Lapchik. Computerteknik og algoritmisering: Introduktionskursus: Lærebog for studerende fra pædagogiske institutter i fysik og matematik. - M: Uddannelse, 1987. 160 s.: ill.
↑ cit. ifølge V. Gilde, Z. Altrichter. "Med en lommeregner i hånden." Anden version. Oversættelse fra tysk af Yu. A. Danilov. M: Mir, 1987, s. 64.

Litteratur

Henry S. Warren, Jr. Kapitel 3 Afrunding til Powers of 2 // Algoritmiske tricks for programmører = Hacker's Delight. - M . : "Williams" , 2007. - S. 288. - ISBN 0-201-91465-4 .