Chern-Weil teori

Karakteristiske klasser er en vidtrækkende generalisering af sådanne kvantitative begreber af elementær geometri som graden af en plan algebraisk kurve eller summen af indekserne for enestående punkter i et vektorfelt på en overflade. De er beskrevet mere detaljeret i den tilsvarende artikel. Chern - Weil teorien tillader nogle karakteristiske klasser at blive repræsenteret som udtryk for krumning .

Indlejring ved hjælp af et lineært system

Sæt af punkter på en algebraisk kurve med nogle multipliciteter kaldes divisorer . Hvis der for eksempel gives en kurve liggende på det komplekse projektive plan (eller mere generelt komplekse projektive rum ), så er det sæt af punkter, langs hvilke det skæres af en linje, med multipliciteter lig med multipliciteten af skæringspunktet ( eller, hvis kurven ligger i rummet, er et eller andet hyperplan) en divisor. I algebraisk geometri betragtes normalt ikke individuelle divisorer, men deres klasser. For eksempel kan en plan kurve associeres med en klasse af divisorer bestående af divisorer udskåret på kurven af alle mulige linjer (alle mulige hyperplaner). Det kaldes det lineære divisorsystem svarende til den givne indlejring (normalt kaldes det blot "lineært system"). $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$

Spørgsmål. Lad en abstrakt kurve, der ikke er indlejret nogen steder, blive givet, og et lineært system svarende til en vis inklusion. Er det muligt at genvinde denne indlejring fra den (op til en projektiv transformation af det omgivende rum)?

Det viser sig, at dette er muligt. For at gøre dette er vi dog nødt til bedre at forstå, hvad et hyperplan er i et projektivt rum. I et affint rum kan et hyperplan angives som kernen (sæt af nuller) af en lineær funktion (og en sådan funktion vil være unik op til multiplikation med et tal, der ikke er nul). På et projektivt rum er der imidlertid ingen lineære funktioner: hver holomorf funktion på en kompakt kompleks manifold er konstant. Hvis er et vektorrum, så er dets projektiviseringspunkter linjer , og hvis er en lineær funktion på , så er "værdien" i punktet en lineær funktionel på det tilsvarende lineære rum , det vil sige en vektor i det dobbelte lineære rum . Desuden er de linjer, hvor denne funktionalitet er identisk nul, nøjagtig de linjer, der ligger i kernen ; de tilsvarende punkter i projektiviseringen danner et projektivt hyperplan. $V$ $\mathrm {P} (V)$ $\ell \subset V$ $\varphi$ $V$ $\varphi$ $\ell \in \mathrm {P} (V)$ $\ell \subset V$ $\ell ^{*}$ $\varphi$

Dette er formaliseret som følger: projektivisering tillader et tautologisk linjebundt over sig selv , hvis fiber over et punkt er selve linjen , betragtet som et lineært rum. Dette bundt er angivet med symbolet . Linjebundtet konjugeret til det (det vil sige et, hvis lag ved hvert punkt er dobbelte med lagene i det oprindelige bundt på de samme punkter) er betegnet med ; dens sektioner svarer til lineære funktionaler på et vektorrum . Følgelig er sættene af nuller af sektioner hyperplaner. Således, hvis er en projektiv kurve, så består det tilsvarende lineære system på den af divisorer af nuller af sektioner af bundtet . $\mathrm {P} (V)$ $\ell \in \mathrm {P} (V)$ $\ell \subset V$ ${\mathfrak {O}}(-1)$ ${\mathfrak {O}}(1)$ $V$ $C\subset \mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$ $L={\mathfrak {O}}(1)|_{C}$

Hvis der er en abstrakt kurve, så kan linjebundtet på den rekonstrueres ud fra sættene af nuller af dets forskellige sektioner (forudsat at der er tilstrækkeligt mange forskellige sektioner). Givet et lineært system af divisorer på en abstrakt kurve, kan man således rekonstruere et linjebundt, for hvilket disse divisorer er nulniveauer af dets sektioner. Derfor kan spørgsmålet omformuleres som følger.

Spørgsmål. Lad der være en indlejring af en algebraisk kurve , og vær en begrænsning af bundtet til det . Kun ved det, er det muligt at genvinde investeringen ? $f\colon C\to \mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$ $f^{*}{\mathfrak {O}}(1)=L\to C$ ${\mathfrak {O}}(1)$ $L$ $f$

Bemærk, at bundtet har følgende egenskab: for ethvert punkt er der en sektion , således at . Dette er f.eks. sandt, fordi man for ethvert punkt på en rumkurve kan vælge et udsnit af et hyperplan, der ikke passerer gennem det punkt og begrænse det tilsvarende udsnit til kurven. Bundles med denne egenskab kaldes genererede globale sektioner . Redekonstruktionen er nu meget enkel. Overvej sektionspladsen . Hvert punkt definerer en kortlægning ved hjælp af en beregningsmapping . Et punkt på en kurve definerer således en vektor i rummet , veldefineret op til proportionalitet - det vil sige et punkt i det projektive rum . Dette definerer indlejringen , som falder sammen med den oprindelige op til en projektiv korrespondance. $L$ $x\in C$ $s\in \Gamma (L)$ $s(x)\neq 0$ ${\mathfrak {O}}(1)$ $\Gamma (L)$ $x\in C$ ${\displaystyle \Gamma (L)\til L_{x))$ $s\mapsto s(x)$ $\Gamma (L)^{*}$ $\mathrm {P} (\Gamma (L)^{*})$ $C\to \mathrm {P} (\Gamma (L)^{*})$

Hvad har vi egentlig vist? Ethvert linjebundt på en kurve genereret af globale sektioner kan opnås som et omvendt billede af bundtet med hensyn til nogle algebraiske kortlægninger . I dette tilfælde viser sig graden af bundtet (antallet af nuller ved dens fælles sektion) at være lig med graden af billedet af kurven under en sådan indlejring. Det kan forstås som antallet af skæringspunkter med hyperplanet - det vil sige skæringsindekset for homologiklasserne og , eller som et integral: Fubini-Study-formen er Poincaré dual til hyperplansektionsklassen (op til multiplikation med ) , så graden af divisor kan beregnes som . Bemærk, at Fubini-Study- formen er en krumningsform på bundtet . Graden af et linjebundt på en algebraisk kurve genereret af globale sektioner kan således udtrykkes som krumningsintegralet af en eller anden forbindelse på den. Chern-Weil teorien hævder meget mere: i særdeleshed er graden af ethvert linjebundt over en algebraisk kurve (og generelt enhver reel todimensionel kompakt orienterbar manifold) lig med krumningsintegralet af enhver forbindelse i den (delt med ) . ${\mathfrak {O}}(1)\to \mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$ $C\to \mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$ $[f(C)]$ $[\mathbb {C} \mathrm {P} ^{n-1}]$ $\omega$ $[\mathbb {C} \mathrm {P} ^{n-1}]$ $2\pi$ ${\frac {1}{2\pi }}\int _{f(C)}\omega ={\frac {1}{2\pi }}\int _{C}f^{*} \omega$ ${\mathfrak {O}}(1)$ $L$ $2\pi$

Klassificering af kortlægninger for linjebundter

Implementeringen af linjebundter ved brug af kortlægninger over et lineært system lider af betydelige ulemper: for eksempel kan et bundt slet ikke have nogen sektioner. I tilfælde af en kurve kan dette korrigeres kunstigt, for så er der sektioner af det dobbelte bundt, og nogle gange kan man få det originale bundt som et tilbagetræk langs den antiholomorfe kortlægning. Men på en kompleks overflade kan et linjebundt være "positivt" i den ene retning og "negativt" i den anden, og et sådant trick kan ikke længere undværes. Samtidig giver afbildninger over et lineært system en vis intuition, som gør, at man kan opnå meget mere, hvis man ikke får algebraiske eller holomorfe afbildninger, men vilkårlige kontinuerlige. ${\mathfrak {O}}(1)$

Lad os vende tilbage til bundtet , og vi vil antage, at rummet er udstyret med en hermitisk metrisk. Så er bundtet udstyret med en hermitisk metrik. Vi udskiller et bundt vektorer af enhedslængde i det: en enhedsgruppe virker på det , desuden i hvert lag frit og transitivt. Det samlede rum i dette bundt kan identificeres med enhedssfæren i . En fibrering med fibercirkel er den velkendte Hopf-fibrering . ${\mathfrak {O}}(1)\to \mathrm {P} (V)$ $V$ ${\mathfrak {O}}(1)$ $\mathrm {U} (1)$ $S^{2n+1}$ $V$ $S^{2n+1}\to \mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$

Det hermitiske (ufuldstændige) rum , realiseret som grænsen for indeslutninger med unionstopologien, indeholder enhedssfæren , som ovenstående gælder i samme omfang. En kvotient ved handling er et uendeligt-dimensionelt projektivt rum , hvor topologien af foreningen af dets finit-dimensionelle underrum udgør et fuldstændigt flag. Men i modsætning til dets finit-dimensionelle modstykker adskiller det sig i følgende egenskaber: ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\infty ))$ $\mathbb {C} \subset \mathbb {C} ^{2}\subset \mathbb {C} ^{3}\subset \dots$ ${\displaystyle S^{\infty ))$ $S^{\infty }$ $\mathrm {U} (1)$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{\infty ))$

Det samlede rum af et uendeligt dimensionelt Hopf-bundt (det vil sige ) er sammentrækbart . $S^{\infty }$
Hvis er et hovedbundt med fiber , dvs. et cirkelbundt udstyret med en enhedsgruppehandling , som er fri og transitiv på hver fiber, så eksisterer der en mapping , som er isomorf i forhold til det omvendte billede af det uendelig-dimensionelle Hopf-bundt langs . $P\to X$ $\mathrm {U} (1)$ $\mathrm {U} (1)$ ${\displaystyle f_{P}\colon X\to \mathbb {C} \mathrm {P} ^{\infty ))$ $P$ ${\displaystyle f_{P))$
For et givet hovedbundt er alle sådanne kort homotopiske med hinanden. Enhver af disse kaldes en klassificerende kortlægning . $P\to X$ ${\displaystyle f_{P))$

Selvom det samlede rum af et uendeligt dimensionelt Hopf-bundt er sammentrækbart, er topologien af dets base ikke-trivielt: for hvert lige tal er dets heltalskohomologi endimensionel. Som en graderet algebra er de isomorfe i forhold til polynomialringen , hvor . Tilbagetrækningen af generatricen langs kortlægningen, på grund af den tredje egenskab fra listen ovenfor, er en veldefineret invariant af hovedbundtet. Dette er Chern-klassen. ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{\infty ))$ $2k$ $H^{2k}$ $\mathbb {Z} [t]$ $\deg t=2$ $t\in H^{2}$

Bemærk, at i begrænsningen på hver af de finit-dimensionelle klasser kan repræsenteres i de Rham-kohomologien som klassen af Fubini-Study-formen divideret med . På den anden side er Fubini-studieformen krumningen af en invariant forbindelse i , det vil sige, at dens spændvidde er krumningen af en eller anden -ækvivariant forbindelse i hovedbundtet . Hvis man kontrollerer, at krumningerne af -ækvivariante forbindelser i et hovedbundt er lukkede 2-former, der tilhører den samme de Rham-kohomologiklasse, får man straks påstanden om Chern-Weyl-teorien for linjebundter: ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}\subset \mathbb {C} \mathrm {P} ^{\infty ))$ $t$ $2\pi$ ${\mathfrak {O}}(1)\to \mathbb {C} \mathrm {P} ^{\infty }$ ${\displaystyle f_{P))$ $\mathrm {U} (1)$ $P$ $\mathrm {U} (1)$ $\mathrm {U} (1)$

Sætning. Lad være en hermitisk linjebundt, og være krumningsformen for en enhedsforbindelse i . Så . $L\to X$ $\omega$ $L$ ${\frac {1}{2\pi }}[\omega ]=c_{1}(L)\in H^{2}(X,\mathbb {Z} )$

Fra den følger for eksempel Gauss-Bonnet-sætningen umiddelbart .

Klassificering af mellemrum

Med andre bundter end lineære bundter kan man også associere principal -bundter for andre grupper : for eksempel, med et hermitisk bundt af rang er der forbundet et principbundt med strukturgruppen , hvis fibre er rum, der parametriserer ortonormale rammer i en given fiber af vektorbundtet. Omvendt rekonstrueres vektorbundtet ud fra principal- bundtet og grupperepræsentationen . Hvis et hovedbundt var udstyret med en -ækvivariant forbindelse, vil det resulterende vektorbundt også være udstyret med en strukturbevarende forbindelse . $G$ $G$ $n$ $\mathrm {U} (n)$ $G$ $G$ $G$ $G$ $G$

Det viser sig, at for en vilkårlig Lie-gruppe (eller mere generelt en topologisk gruppe) er der en analog til Hopf-fibrationen. Dette er en hovedbundt; det betegnes , og dets base kaldes klassificeringsrummet . Det er unikt op til homotopiækvivalens og har følgende egenskaber: $G$ $G$ $EG\to BG$

Alle homotopigrupper i dets samlede rum er trivielle. $EG$
For ethvert hovedbundt eksisterer der et klassificeringskort , således at det opnås som det omvendte billede af bundtet langs . $G$ $P\to X$ $f_{P}\colon X\to BG$ $P$ $EG\to BG$ ${\displaystyle f_{P))$
Alle klassificerende kortlægninger er homotopiske med hinanden.

For eksempel, hvis , så kan cirklen vælges som cirklen, og dens universelle dækning, den reelle linje. I de fleste tilfælde har det klassificerende rum dog ikke homotopitypen som en kompakt manifold: således opstår allerede som en uendelig-dimensionel kugle igen, som den antipodale kortlægning virker på, og er en faktor over den, dvs. Fra denne konstruktion, svarende til den ovenfor beskrevne, får vi den første Stiefel-Whitney-klasse af det rigtige linjebundt. $G=\mathbb {Z}$ $BG$ $EG$ $G=\mathbb {Z} /2$ $EG$ $\mathbb {Z} /2$ $BG$ ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{\infty ))$

Weyl algebra

Hvis en kohomologialgebra kan beregnes for en gruppe (som allerede er en veldefineret algebra i kraft af det faktum, at alle klassificeringsrum er homotopiske med hinanden), så vil klassetilbagetrækninger derfra langs klassificerende afbildninger være invarianter af hovedbundter. Dette problem er imidlertid meget vanskeligt, i det mindste hvis kohomologialgebraen tages med heltalskoefficienter. $G$ $H(BG)$

For manifolds er problemet med at beregne kohomologi med reelle koefficienter forenklet af det faktum, at de kan betragtes som de Rham kohomologi . Klassificeringsrum er dog ikke mangfoldige. Ideen om, hvordan de Rham-tilgangen til kohomologi kan realiseres, er givet af det såkaldte Chevalley-Eilenberg-kompleks . Hvis er en Lie-gruppe, så indeholder dens kompleks af differentialformer et subkompleks af venstre-invariante differentialformer. En venstre-invariant differentialform er defineret ved dens værdi på tangentrummet ved enhed , det vil sige en skæv-symmetrisk multilineær form på Lie-algebraen . Således, som en algebra med skæv-symmetrisk multiplikation, er rummet af venstre-invariante differentialformer isomorf til den ydre algebra . Differentialet på denne algebra, som det let kan udledes af standardformlen for de Rham-differentialet, er der en afbildning i udtrykket, der er dobbelt i forhold til parentesen (mere præcist med et minustegn), og så fortsætter den iflg. den graderede Leibniz-regel , ved at bruge det faktum, at den eksterne algebra er genereret af dens første kalibreringskomponent. Så der er et endeligt-dimensionelt subkompleks , som på trods af den geometriske motivation kan defineres algebraisk i form af Lie-algebraen. Dens kohomologi kaldes Lie algebra kohomologien ; de ligger naturligt i Lie-gruppens de Rham-kohomologi , og desuden, når de er kompakte, er de lig med al Lie-gruppens de Rham-kohomologi . $BG$ $G$ $e\in G$ $\mathfrak{g}$ $\Lambda ({\mathfrak {g}}^{*})$ ${\mathfrak {g}}^{*}\to \Lambda ^{2}{\mathfrak {g}}^{*}$ $[\cdot ,\cdot ]\colon \Lambda ^{2}{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ $\Lambda {\mathfrak {g}}^{*}\subset \Omega (G)$ $\mathfrak{g}$ $G$ $G$ $G$

Dette motiverer os til formelt , i form af Lie-algebraen alene , at definere, hvad der er de Rham-algebraen for det klassificerende rum - mere præcist, de Rham-algebraen i rummet . Lad mig minde dig om, at der kræves to ting: det er et sammentrækbart rum, som det handler frit på. De tilsvarende algebraiske krav er som følger: der er en differentielt graderet algebra med nul kohomologi (undtagen i nulgradering, hvor de er endimensionelle), som Lie-algebraen virker på ved afledninger , og det naturlige kort er surjektivt. $\mathfrak{g}$ $EG$ $EG$ $G$ $\Omega (EG)$ $\mathfrak{g}$ $\Omega (EG)\to \Lambda {\mathfrak {g}}^{*}$

En algebra med de nødvendige egenskaber er ret nem at konstruere, den kaldes Weil-algebraen og betegnes med . Dette er nemlig en graderet ekstern algebra - det vil sige to kopier af , hvoraf den ene har en lige karakter og den anden en ulige. Tilsvarende er dette et tensorprodukt , hvor generatorerne af den ydre algebra har graduering 1, og den symmetriske algebra har graduering 2. Det kan også repræsenteres som det samlede kompleks af følgende bikompleks: $W({\mathfrak {g)))$ $\Lambda ({\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {g}}[1])$ $\mathfrak{g}$ $\Lambda ({\mathfrak {g}}^{*})\otimes \mathrm {Sym} ({\mathfrak {g}}^{*})$

$k$	$\til$	$\Lambda ^{1}({\mathfrak {g}}^{*})$	$\til$	$\Lambda ^{2}({\mathfrak {g}}^{*})$	$\til$	$\Lambda ^{3}({\mathfrak {g}}^{*})$	$\to \dots$
		$\pil ned$		$\pil ned$		$\pil ned$
		$\mathrm {Sym} ^{1}({\mathfrak {g}}^{*})$	$\til$	$\mathrm {Sym} ^{1}({\mathfrak {g}}^{})\otimes \Lambda ^{1}({\mathfrak {g}}^{})$	$\til$	$\mathrm {Sym} ^{1}({\mathfrak {g}}^{})\otimes \Lambda ^{2}({\mathfrak {g}}^{})$	$\to \dots$
				$\pil ned$		$\pil ned$
				$\mathrm {Sym} ^{2}({\mathfrak {g}}^{*})$	$\til$	$\mathrm {Sym} ^{2}({\mathfrak {g}}^{})\otimes \Lambda ^{1}({\mathfrak {g}}^{})$	$\to \dots$
						$\pil ned$
						$\mathrm {Sym} ^{3}({\mathfrak {g}}^{*})$	$\to \dots$

Differentialerne i rækkerne her er Chevalley-Eulenberg-komplekser med en tilføjet handling på -moduler (især den første differential i en række kortlægger et element til operatoren , ), og hver kolonne er et Koszul-kompleks , som kan relateres ikke kun til Lie-algebraen, men også med et hvilket som helst vektorrum. Ud fra dets acyklicitet kan vi udlede, at Weil-komplekset heller ikke har nogen kohomologi, bortset fra nul enere. $\mathfrak{g}$ $\mathrm {Sym} ^{k}({\mathfrak {g}}^{*})$ $m\in M=\mathrm {Sym} ^{k}({\mathfrak {g))^{*})$ ${\mathfrak {g}}\to M$ $v\mapsto [m,v]$ $\Lambda ^{k}(V)\to V\otimes \Lambda ^{k-1}(V)\to \mathrm {Sym} ^{2}(V)\otimes \Lambda ^{k- 2}(V)\to \dots \to \mathrm {Sym} ^{k-1}(V)\otimes V\to \mathrm {Sym} ^{k}(V)$

Hvis Weil-bikomplekset er en tilnærmelse af differentialformer på rummet , og dens nulrække, Chevalley-Eilenberg-algebraen, er algebraen for venstre-invariante differentialformer på , så er analogen af differentialformerne, der stiger fra basen - dvs. , "de Rham-algebraen" - er elementerne i diagonalen af bikomplekset , algebraen af symmetriske funktioner på . I dette tilfælde vil de lukkede former være præcis dem, der er lukkede med hensyn til differentialet i Weyl-algebraen. Af den måde, det fungerer på de diagonale elementer (som blev angivet i det foregående afsnit), følger det, at disse simpelthen er polynomielle funktioner på , som er invariante under gruppens adjunktvirkning på deres Lie-algebra. $W({\mathfrak {g}}^{*})$ $EG$ $G$ $BG$ $\mathfrak{g}$ $\mathfrak{g}$ $G$

Chern-Weil homomorfi

Lad være en Lie-gruppe og være en hovedbundt. Lad os vælge en forbindelse i den, det vil sige et underbundt , således at projektionen afbilder fibrene i denne underbundt på tangentrummene til k isomorf, og denne underbundt bevares af handlingen . Det kan kodes af en -invariant projektion på et lodret underbundt (det vil sige et bundt af tangentrum til -baner). Tangentrummet til kredsløbet for en fri handling af en Lie-gruppe er kanonisk isomorf til Lie-algebraen , så denne form kan gives som en 1-form . En anden invariant af forbindelsen er dens krumning, i dette tilfælde opnået som en projektion af kommutatoren af to vandrette vektorfelter (det vil sige sektioner ) på tangentrummene til lagene. Dette er en 2-form med koefficienter i . $G$ $P\to X$ $G$ $Hor\subset TP$ $x$ $G$ $G$ $G$ $G$ $\mathfrak{g}$ $\theta \colon TP\to {\mathfrak {g))$ $Hor$ $\Phi$ $\mathfrak{g}$

Dette giver os mulighed for at associere med forbindelsen en homomorfi af differentielt graderede algebraer , som vil være en erstatning for den klassificerende kortlægning. I dette tilfælde viser det sig at være mere bekvemt at definere det mellem totale mellemrum og ikke mellem baser. Det er tilstrækkeligt at definere det på generatorer, det vil sige og . Begge disse rum er simpelthen funktionelle på Lie-algebraen; men den første skal afbildes i 1-former på det samlede rum , og den anden til 2-former. Lad os sende det funktionelle til 1-formen og det funktionelle til 2-formen . Denne kortlægning kaldes Chern-Weil homomorfisme , og man kan verificere, at det faktisk er en ækvivariant homomorfi af differentielt graderede algebraer . Især kortlægger det elementer fra diagonalen af Weyl-bikomplekset til -invariante former på , det vil sige tilbagetrækningerne af differentialformer på . Da elementer lukket i forhold til Weil-differentialet går over til lukkede former, giver invariante polynomier på Lie-algebraen lukkede former på basis af hovedbundtet. De kaldes karakteristiske former . De kan udtrykkeligt skrives som $W({\mathfrak {g}})\to \Omega (P)$ $\Lambda ^{1}({\mathfrak {g}}^{*})$ $\mathrm {Sym} ^{1}({\mathfrak {g}}^{*})$ $P$ $\varphi \in \Lambda ^{1}({\mathfrak {g}}^{*})$ $v\mapsto \varphi (\theta (v))$ $\psi \in \mathrm {Sym} ^{1}({\mathfrak {g}}^{*})$ $v\wedge w\mapsto \psi (\Phi (v,w))$ $G$ $W({\mathfrak {g}})\to \Omega (P)$ $G$ $P$ $x$

$\psi (\Theta )(v_{1},\dots ,v_{2k})={\frac {1}{(2k)!}}\sum _{\sigma \in S_{2k}} (-1)^{\sigma }\psi (\Theta (v_{\sigma (1)},v_{\sigma (2)}),\dots ,\Theta (v_{\sigma (2k-1)} ,v_{\sigma (2k)})))$

Her er et invariant polynomium, og er krumningen. Når du vælger en anden forbindelse i hovedbundtet, ændres krumningen og karakteristiske former, men deres kohomologiklasser forbliver de samme. $\psi \in \mathrm {Sym} ^{k}({\mathfrak {g}}^{*})$ $\Theta$

Eksempler

For en gruppe kan man definere invariante funktioner på dens Lie-algebra ved betingelsen . De resulterende klasser er Chern-klasserne . En lignende formel for definerer klasser, kaldet Pontryagin-klasser (kun vi skal fjerne ) fra nævneren. $\mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )$ $\psi _{i}$ ${\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} )$ $\det \left(\mathrm {Id} -t{\frac {x}{2\pi {\sqrt {-1}}}}\right)=\sum _{i=1}^{n }\psi _{i}(x)t^{i}$ $\mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )$ ${\sqrt {-1}}$

I tilfælde af generelle lineære grupper genereres algebraen af invariante polynomier af polynomier . Generelt er dette ikke tilfældet: for eksempel på en speciel ortogonal Lie-algebra er der et Pfaffian- polynomium af grad . Den tilsvarende klasse (delt med ) kaldes Euler-klassen . $A\mapsto \mathrm {Tr} (A^{k})$ ${\mathfrak {so}}(2n)$ $n$ ${\displaystyle (2\pi )^{n))$

I fysik

Chern-Weil teorien er en af mange ækvivalente måder at definere karakteristiske klasser på. Fra et matematisk synspunkt har det mange ulemper: det, ligesom de Rham kohomologi, fungerer kun i tilfældet, hvor basen er en mangfoldighed, ikke fanger klasserne, der tilhører torsionsundergruppen i kohomologien, og klassernes integralitet opnået ved at integrere nogle differentiale udtryk er langt fra indlysende (mens heltal på nogle andre måder opnås automatisk).

Men denne integralitet, i det mindste for linjebundter, har en uventet anvendelse i fysik. Den elektromagnetiske felttensor er en 2-form på rumtid, som faktisk er krumningsformen for en eller anden forbindelse i det hermitiske linjebundt. Det anses normalt for fysisk rimeligt at antage, at denne pakke er triviel. Dirac bemærkede, at hvis det antages, at dette bundt kunne være ikke-trivielt, så ville dens Chern-klasse være lig med den magnetiske ladning . Af integriteten af Chern-klasserne følger det således, at hvis et enkelt magnetfelt stadig eksisterer, så er dets ladning et integralt multiplum af en elementær magnetisk ladning.

Det er bemærkelsesværdigt, at Diracs teorem om kvantisering af magnetisk ladning dukkede op i 1931, det vil sige mere end 10 år før fremkomsten af Chern-Weil-teorien.

Historie

Forbindelsen mellem krumning og topologi blev først bemærket, sandsynligvis af Lhuillier . Gauss-Bonnet-sætningen , der fungerede som et vigtigt skridt hen imod Chern-Weil-teorien, blev først formuleret i sin moderne form (til kompakte orienterbare overflader) i 1888 af von Dyck .

En multidimensionel analog af Gauss-Bonnet-sætningen blev foreslået i 1925 af Hopf : han overvejede hyperoverflader i rummet og introducerede en analog af Gaussisk krumning på dem som et omvendt billede af volumenformen på enhedssfæren med hensyn til Gaussisk kortlægning . Det lykkedes ham at udtrykke denne form som et polynomium i lokale krumninger, svarende til formlen for den karakteristiske form (se ovenfor). For ligedimensionelle undermanifolder af et euklidisk rum med kodimension større end 1 blev analoger til Gauss-Bonnet-sætningen etableret uafhængigt af Allendorfer og Fenchel i 1940. Deres bevis reducerede problemet til grænsen af et lille rørformet kvarter af en undermanifold, som er en hyperoverflade dækket af Hopfs sætning. Grænsen er i moderne termer enhedssfærebundtet i det normale hyperoverfladebundt, og ovenstående lokale krumninger gør det muligt at opnå en formel for Euler-klassen i denne undermanifold. $\R^{2n+1}$

Chern begyndte på forslag af Weil at søge efter et lignende resultat for vilkårlige Riemannmanifolder, der ikke er indlejret nogen steder, og kom til den konklusion, at analogen til Gauss-kortlægningen for en abstrakt Riemannmanifold er bundtet af enhedssfærer i tangentbundt. Hans endelige resultat fra 1944, kendt som den generaliserede Gauss-Bonnet-formel , siger, at Euler-karakteristikken for en ligedimensionel Riemann-manifold er lig med Pfaff-integralet af dens krumning. Denne sætning var tidligere blevet bevist af Weil og Allendorfer, men deres bevis syntes Weil var utilfredsstillende (det var baseret på lokale indlejringer af manifolden i det euklidiske rum og efterfølgende limning, hvilket ikke giver en tilstrækkelig forståelse af geometrien bag denne formel). Efterfølgende lykkedes det Chern at finde et udtryk ikke kun for Euler-klassen, men også for Chern-klasserne. Han forsøgte at definere dem for en vilkårlig ligedimensionel Riemann-manifold, men det viste sig, at dette kun var muligt for Hermitian-manifolder. Denne forståelse var et vigtigt skridt i udviklingen af kompleks geometri.

Samtidig forsøgte Pontryagin at opbygge karakteristiske klasser gennem differentielle former ; han betragtede kun delmanifolder i , men i stedet for en gaussisk kortlægning af grænsen for et rørformet kvarter, overvejede han en kortlægning til en Grassmann, og det lykkedes i 1944 at udskrive korrekte formler for de karakteristiske former. Imidlertid overvejede han ikke tilfældet med abstrakte Riemann-manifolder, og tilsyneladende var Cherns seneste arbejde ikke kendt for ham. $\mathbb {R} ^{n}$

Den homologiske algebra bag Cherns bevis blev præciseret af Henri Cartan i en note fra 1951 baseret på Weyls upublicerede tekst. Især introducerede den begrebet en Weyl-algebra.

Forbindelsen mellem differentialgeometrien af forskellige Gaussiske kortlægninger og indlejringer ved hjælp af lineære systemer i algebraisk geometri, som blev betragtet af geometre fra den italienske skole siden Veronese , blev først klart efter arbejdet med Kodaira .