Stratificeret produkt

Et fiberprodukt ( lagprodukt , coamalgam , kartesisk kvadrat , engelsk pullback ) er et kategoriteoretisk begreb defineret som grænsen for et diagram bestående af to morfismer : Et fiberprodukt betegnes ofte som $X\to Z\venstrepil Y.$ $X\ gange _{Z}Y.$

Det dobbelte koncept er codecartes square .

Generisk egenskab

Lad en kategori få et par morfismer og et fiberprodukt og over være et objekt sammen med morfismer , for hvilke følgende diagram er kommutativt: $C$ $f:X\to Z$ $g:Y\to Z.$ $x$ $Y$ $Z$ $P=X\ gange _{Z}Y$ $p_{1},p_{2},$

Desuden skal fiberproduktet være et universelt objekt med følgende egenskab: for ethvert objekt med et par morfismer , der komplementerer parret til en kommutativ kvadrat, er der en unik morfisme , således at diagrammet nedenfor er kommutativt: $Q,$ $q_{1}:Q\to X,\,q_{2}:Q\to Y,$ $(f,g)$ $u\colon Q\to P,$

Det indre kvadrat af dette diagram dannet af morfismer kaldes det kartesiske (eller kouniversale) kvadrat for et par morfismer og ${\displaystyle f,g,p_{1},p_{2))$ $f$ $g.$

Ligesom andre objekter defineret af den universelle egenskab , eksisterer fiberproduktet ikke nødvendigvis, men hvis det gør, er det defineret op til isomorfi.

Eksempler

I kategorien sæt er det fibrede produkt af sæt og med mappinger og sættet $x$ $Y$ $f:X\to Z$ $g:Y\to Z$

{\displaystyle X\times _{Z}Y=\{(x,y)\in X\times Y|f(x)=g(y)\))

sammen med naturlige projektioner til komponenterne.

Fiberproduktet i kategorien kommutative ringe er defineret på lignende måde .

Desuden kan fiberproduktet i beskrives på to asymmetriske måder: ${\mathbf {Sæt}}$

X\ gange _{Z}Y

\cong \coprod _{x\in X}g^{-1}[\{f(x)\}]

\cong \coprod _{y\in Y}f^{-1}[\{g(y)\}],

hvor er en usammenhængende forening af sæt. $\coprod$

Se også

Induceret bundt

Litteratur

Goldblatt R. Topoi. Kategorisk analyse af logik = Topoi. Den kategoriale analyse af logik / Pr. fra engelsk. V. N. Grishin og V. V. Shokurov, red. D. A. Bochvara. — M .: Mir , 1983. — 488 s.
Gorodentsev A. L. Algebra for studerende i matematik. Del II . - M. , 2015. - S. 160.
McLane S. Kapitel 3. Universelle konstruktioner og grænser // Kategorier for den arbejdende matematiker = Kategorier for den arbejdende matematiker / Pr. fra engelsk. udg. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 68-94. — 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Face K. Algebra - ringe, moduler og kategorier, bind 1. - M . : Mir - bind 190 af Springer-Verlag-serien - Grundlehren der mathematischen wissenschaften - 1977 [1973].
Jiří Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker. Abstrakte og konkrete kategorier. Kattenes glæde . - Willey & Sons , 1990. - S. 524. - ISBN 0-471-60922-6 .