Glidende gennemsnit

Glidende gennemsnit , glidende gennemsnit ( eng. moving average , MA ) er et almindeligt navn for en familie af funktioner, hvis værdier ved hvert definitionspunkt er lig med en eller anden gennemsnitsværdi af den oprindelige funktion for den foregående periode.

Glidende gennemsnit bruges almindeligvis med tidsseriedata til at udjævne kortsigtede udsving og fremhæve større tendenser eller cyklusser [1] [2] .

Matematisk er det glidende gennemsnit en form for foldning .

Ansøgning

Glidende gennemsnit anvendes:

Inden for statistik og økonomi, til udjævning af numeriske serier (primært tidsserier ). For eksempel at estimere BNP , beskæftigelsesfrekvenser eller andre makroøkonomiske indikatorer .
Inden for teknik , signalbehandling, systemanalyse. Se glidende gennemsnit (filter) .
I teknisk analyse , som en selvstændig teknisk indikator eller som en del af andre værktøjer, se glidende gennemsnit (indikator) .

Etymologi

Da ved beregning af det glidende gennemsnit, beregnes værdien af funktionen hver gang på ny [2] , mens der tages hensyn til det endelige signifikante [3] sæt af tidligere værdier, "bevæger" sig (bevæger sig) det glidende gennemsnit, som om det "glider". ” langs tidsserien.

Typer af glidende gennemsnit

Generel sag

Generelt beregnes vægtede glidende gennemsnit ved hjælp af formlen [2] :

{\textit {WWMA}}_{t}=\sum _{{i=0}}^{{n-1}}w_{{ti}}\cdot p_{{ti}},

(WWMA 1) hvor er værdien af det vægtede glidende gennemsnit i punktet ;

{\textit {WWMA}}_{t}

t

n

— antallet af værdier af den oprindelige funktion til beregning af det glidende gennemsnit;

w_{{ti}}

er den normaliserede vægt (vægtkoefficient) af den th værdi af den oprindelige funktion;

ti

p_{{ti}}

er værdien af den oprindelige funktion på tidspunktet, fjernt fra den nuværende med intervaller.

jeg

Normalisering af vægtkoefficienter betyder, at [2] :

\sum _{{i=0}}^{{n-1}}w_{{ti}}=1.

Ovenstående formel med vilkårlige værdier af vægtkoefficienter kan omskrives som:

{\textit {WWMA}}_{t}={\frac {\sum _{{i=0}}^{{n-1}}W_{{ti}}\cdot p_{{ti}}}{ \sum _{{i=0}}^{{n-1}}W_{{ti}}}},

(WWMA2) hvor er værdien af det vægtede glidende gennemsnit i punktet ;

{\textit {WWMA}}_{t}

t

n

— antallet af værdier af den oprindelige funktion til beregning af det glidende gennemsnit;

W_{{ti}}

er vægten (vægtkoefficienten) af den th værdi af den oprindelige funktion;

ti

p_{{ti}}

er værdien af den oprindelige funktion på tidspunktet, fjernt fra den nuværende med intervaller.

jeg

Vægtkoefficienterne i formlerne (WWMA 1) og (WWMA 2) er relateret som:

w_{{ti}}={\frac {W_{{ti}}}{\sum _{{i=0}}^{{n-1}}W_{{ti}}}}.

Ofte bruges enten 1 som en vægt (for et simpelt glidende gennemsnit - SMA ), eller formelle serier, for eksempel en aritmetisk progression ( WMA ) eller en eksponentiel funktion ( EMA ). Men værdierne af de tilknyttede tidsserier kan også fungere som en vægtningsfaktor. For at vægte valutakurser efter transaktionsvolumener ( VMA ) bør transaktionsprisen for instrumentet for eksempel betragtes som værdien og volumen på tidspunktet : $p_{{ti}}$ $W_{{ti}}=V_{{ti}}$ $ti$

{\textit {VMA}}_{t}={\frac {\sum _{{i=0}}^{{n-1}}V_{{ti}}\cdot p_{{ti}}}{ \sum _{{i=0}}^{{n-1}}V_{{ti}}}}.

Simpelt glidende gennemsnit

Simpelt glidende gennemsnit , eller aritmetisk glidende gennemsnit ( eng. simple moving average , eng. SMA ) er numerisk lig med det aritmetiske middelværdi af værdierne af den oprindelige funktion for en specificeret periode [1] og beregnes med formlen [2 ] ] :

{\textit {SMA}}_{t}={\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}p_{ti}=

={\frac {p_{t}+p_{t-1}+\cdots +p_{ti}+\cdots +p_{t-n+2}+p_{t-n+1}}{ n}},

hvor er værdien af det simple glidende gennemsnit i punktet ;

{\textit {SMA}}_{t}

t

n

- antallet af værdier for den oprindelige funktion til beregning af det glidende gennemsnit (udjævningsinterval [1] ), jo bredere udjævningsintervallet er, jo glattere er grafen for funktionen [1] ;

p_{{ti}}

er værdien af den oprindelige funktion i punktet .

ti

Den resulterende værdi af det simple glidende gennemsnit refererer til midten af det valgte interval [1] , men traditionelt henvises det til det sidste punkt i intervallet [2] .

Fra dens tidligere værdi kan et simpelt glidende gennemsnit opnås ved hjælp af følgende rekursive formel [2] :

{\textit {SMA}}_{t}={\textit {SMA}}_{{t-1}}-{\frac {p_{{tn}}}{n}}+{\frac {p_{ {t}}}{n}},

hvor - værdien af det simple glidende gennemsnit ved punktet , - den foregående værdi af det simple glidende gennemsnit;

{\textit {SMA}}_{t}

t

{\textit {SMA}}_{{t-1}}

p_{{tn}}

- værdien af den oprindelige funktion på punktet (i tilfælde af en tidsserie, den "tidligste" værdi af den oprindelige funktion, der blev brugt til at beregne det forrige glidende gennemsnit);

tn

p_{{t}}

- værdien af den funktion, der undersøges på punktet (i tilfælde af en tidsserie, er den aktuelle værdi den sidste værdi).

t

Denne formel er praktisk at bruge for at undgå den regelmæssige summering af alle værdier.

For eksempel beregnes et simpelt glidende gennemsnit for en tidsserie med 10 perioder som:

{\textit {SMA}}_{t}={\frac {p_{t}+p_{t-1}+p_{t-2}+p_{t-3}+p_{t-4 }+p_{t-5}+p_{t-6}+p_{t-7}+p_{t-8}+p_{t-9}}{10}}=

={\textit {SMA}}_{t-1}-{\frac {p_{t-10}}{10}}+{\frac {p_{t}}{10}},

hvor er værdien af det simple glidende gennemsnit i punktet ;

{\textit {SMA}}_{t}

t

p_{{ti}}

er værdien af den oprindelige funktion på tidspunktet, fjernt fra den nuværende med intervaller.

jeg

Der er følgende ulemper ved et simpelt glidende gennemsnit [2] :

Ligestillingsvægtningsfaktor 1.
Dobbeltreaktion på hver værdi (se rekursiv formel): i det øjeblik, man går ind i beregningsvinduet og i det øjeblik, man forlader det.

Vægtede glidende gennemsnit

Generelle bestemmelser

Nogle gange, når du konstruerer et glidende gennemsnit, er det tilrådeligt at gøre nogle værdier af den oprindelige funktion mere betydningsfulde. For eksempel, hvis det antages, at der er en ikke-lineær tendens inden for udjævningsintervallet [1] , eller, i tilfælde af tidsserier, kan de seneste - nyere - data være mere signifikante end de foregående.

Det sker, at den oprindelige funktion er flerdimensionel, det vil sige, at den er repræsenteret af flere forbundne serier på én gang. I dette tilfælde kan det være nødvendigt at kombinere alle de modtagne data i den endelige glidende gennemsnitsfunktion. For eksempel er tidsserier af udvekslingspriser normalt repræsenteret for hvert tidspunkt af tid med mindst to værdier - transaktionsprisen og dens volumen. Et værktøj er nødvendigt for at beregne den volumenvægtede glidende gennemsnitspris.

I disse og lignende tilfælde anvendes vægtede glidende gennemsnit.

Vægtet glidende gennemsnit

Vægtet glidende gennemsnit ( eng. vægtet glidende gennemsnit - eng. WMA ), mere præcist, et lineært vægtet glidende gennemsnit - glidende gennemsnit, ved beregning af hvilken vægten af hvert medlem af den oprindelige funktion, startende fra den mindste, er lig med den tilsvarende medlem af den aritmetiske progression . Det vil sige, at når vi beregner WMA for en tidsserie, betragter vi de sidste værdier af den oprindelige funktion som mere signifikante end de foregående, og signifikansfunktionen er lineært aftagende.

For eksempel, for en aritmetisk progression med en startværdi og et trin lig med 1, vil formlen til beregning af det glidende gennemsnit have formen [2] :

{\textit {WMA}}_{t}={\frac {n\cdot p_{t}+(n-1)\cdot p_{t-1}+\cdots +(ni)\cdot p_ {ti}+\cdots +2\cdot p_{t-n+2}+1\cdot p_{t-n+1}}{n+(n-1)+\cdots +(ni)+\cdots +2 +1}}=

={\frac {2}{n\cdot (n+1)}}\sum _{i=0}^{n-1}(ni)\cdot p_{ti},

hvor er værdien af det vægtede glidende gennemsnit i punktet ;

{\textit {WMA}}_{t}

t

n

— antallet af værdier af den oprindelige funktion til beregning af det glidende gennemsnit, : : — værdien af den oprindelige funktion i et tidsinterval, der er fjernt fra det nuværende med intervaller.

p_{{ti}}

jeg

I dette tilfælde er nævneren af funktionen, i dette tilfælde, lig med et trekantet tal - summen af medlemmerne af en aritmetisk progression med et indledende medlem og et trin lig med 1:

{\frac {n\cdot (n+1)}{2}}.

Eksponentielt vægtet glidende gennemsnit

Eksponentielt vægtet glidende gennemsnit , eksponentielt glidende gennemsnit ( eng. eksponentielt vægtet glidende gennemsnit - eng. EWMA , eng. eksponentielt glidende gennemsnit - eng. EMA ) - en type vægtet glidende gennemsnit, hvis vægte falder eksponentielt og aldrig er lig med nul [3] . Defineret af følgende formel [1] [2] [4] [5] [6] :

{\textit {EMA}}_{t}=\alpha \cdot p_{t}+(1-\alpha )\cdot {\textit {EMA}}_{{t-1}},

hvor - værdien af det eksponentielle glidende gennemsnit på punktet (den sidste værdi, i tilfælde af en tidsserie);

{\textit {EMA}}_{t}

t

{\textit {EMA}}_{{t-1}}

- værdien af det eksponentielle glidende gennemsnit på punktet (den foregående værdi i tilfælde af en tidsserie);

t-1

p_{t}

- værdien af den oprindelige funktion på tidspunktet (den sidste værdi, hvis der er tale om en tidsserie);

t

\alfa

- (udjævningskonstant fra engelsk udjævningskonstant ) koefficient, der karakteriserer vægtreduktionshastigheden, tager en værdi fra 0 til 1, jo mindre dens værdi, jo større indflydelse har tidligere værdier på den aktuelle værdi af gennemsnittet.

Den første værdi af det eksponentielle glidende gennemsnit tages normalt lig med den første værdi af den oprindelige funktion:

{\textit {EMA}}_{0}=p_{0}.

Koefficient , kan vælges vilkårligt, der spænder fra 0 til 1. For eksempel kan det udtrykkes i form af gennemsnitsvinduet: $\ \alfa$

\ \alpha ={\frac {2}{n+1}}.

Eksponentielt glidende gennemsnit af vilkårlig rækkefølge

I det sædvanlige eksponentielle glidende gennemsnit udjævnes værdierne af den oprindelige funktion, men værdierne af den resulterende funktion kan også udjævnes [2] . Derfor definerer nogle forfattere begrebet eksponentielt glidende gennemsnit af vilkårlig rækkefølge [2] , som beregnes med formlen:

{\textit {EMA}}_{t}^{{(n)}}=\alpha \cdot {\textit {EMA}}_{t}^{{(n-1)))+(1-\ alpha )\cdot {\textit {EMA}}_{{t-1}}^{{(n))),

hvor - værdien af det eksponentielle glidende gennemsnit af th orden ved punktet (den sidste værdi, i tilfælde af en tidsserie);

{\textit {EMA}}_{t}^{{(n)))

n

t

{\textit {EMA}}_{{t-1}}^{{(n)))

- værdien af det eksponentielle glidende gennemsnit af th orden ved punktet (den foregående værdi i tilfælde af en tidsserie);

n

t-1

{EMA}_{t}^{{(n-1)}}

- værdien af det eksponentielle glidende gennemsnit af th orden ved punktet (den sidste værdi, i tilfælde af en tidsserie);

(n-1)

t

\alfa

er en udjævningskonstant.

Eksponentielt vægtede glidende gennemsnit af anden henholdsvis somog tredje orden omtales nogle gange ] : ${\textit {DMA}}$ ${\textit {TMA}}$

{\textit {DMA}}_{t}=\alpha \cdot {\textit {EMA}}_{t}+(1-\alpha )\cdot {\textit {DMA}}_{{t-1} },

{\textit {TMA}}_{t}=\alpha \cdot {\textit {DMA}}_{t}+(1-\alpha )\cdot {\textit {TMA}}_{{t-1} }.

Ændret glidende gennemsnit

Modificeret glidende gennemsnit (fra engelsk modificeret glidende gennemsnit - engelsk MMA ; nogle gange kaldet engelsk løbende glidende gennemsnit - engelsk RMA og engelsk glattet glidende gennemsnit ) er defineret som:

{\text{MMA}}_{t}={\frac {p_{t}+(n-1)\cdot {\text{MMA}}_{{t-1}}}{n}},

hvor - værdien af det ændrede glidende gennemsnit på punktet (den sidste værdi, i tilfælde af en tidsserie);

{\textit {MMA}}_{t}

t

{\textit {MMA}}_{{t-1}}

- værdien af det ændrede glidende gennemsnit på punktet (den foregående værdi i tilfælde af en tidsserie);

t-1

n

— antallet af værdier af den oprindelige funktion til beregning af det glidende gennemsnit (udjævningsinterval).

Det er let at se, at det modificerede glidende gennemsnit er et specialtilfælde af det eksponentielle glidende gennemsnit, for hvilket udjævningskonstanten er lig med det gensidige af udjævningsintervallet:

\alpha ={\frac {1}{n}}.

Relaterede funktioner

Skydere baseret på andre gennemsnitsfunktioner

I analogi med glidende gennemsnit baseret på det aritmetiske middelværdi kan du bruge andre gennemsnitsfunktioner ( potensmiddelværdi : rodmiddelkvadrat , harmonisk middelværdi osv.; geometrisk middelværdi ; median osv.) og deres vægtede modstykker. Det specifikke valg afhænger af arten af den oprindelige funktion, der undersøges.

Simpel bevægelig median

En simpel bevægelig median ( eng. simple moving median - eng. SMM ) er en funktion, hvis værdi ved hvert definitionspunkt er numerisk lig med medianen af værdierne af den oprindelige funktion i en specificeret periode:

{\textit {SMM}}_{t}={\text{Median}}(p_{t},p_{{t-1}},\ldots,p_{{t-n+1}}),

hvor er værdien af den simple bevægelige median ved punktet ;

{\textit {SMM}}_{t}

t

n

— antallet af værdier af den oprindelige funktion til beregning af den bevægelige median (udjævningsinterval);

p_{{ti}}

er værdien af den oprindelige funktion i punktet .

ti

Dynamiske glidende gennemsnit

I 1990'erne blev der foreslået en række glidende gennemsnit med dynamisk skiftende vinduesbredde (eller udjævningsfaktor), se for eksempel Kaufmans Adaptive Moving Average .

Kumulativt glidende gennemsnit

Det kumulative glidende gennemsnit er numerisk lig med det aritmetiske gennemsnit af værdierne af den oprindelige funktion over hele observationsperioden:

{\textit {CA}}_{t}={\frac {1}{t}}\sum _{{i=1}}^{{t}}p_{i}={\frac {p_{t }+p_{{t-1}}+\cdots +p_{{2}}+p_{{1}}}{t}},

hvor er det kumulative glidende gennemsnit i øjeblikket ;

{\textit {CA}}_{t}

t

t

- antallet af tilgængelige intervaller til beregning;

p_{i}

er værdien af den oprindelige funktion ved punktet

jeg.

I reelle beregninger, når den tidligere værdi af det kumulative glidende gennemsnit er kendt, gælder følgende formler også:

{\textit {CA}}_{t}={\frac {p_{t}+(t-1)\cdot {\textit {CA}}_{{t-1}}}{t}}={ \textit {CA}}_{{t-1}}+{\frac {p_{t}-{\textit {CA}}_{{t-1}}}{t}},

hvor er det kumulative glidende gennemsnit i øjeblikket ;

{\textit {CA}}_{t}

t

{\textit {CA}}_{{t-1}}

- kumulativt glidende gennemsnit i øjeblikket (den tidligere værdi, i tilfælde af en tidsserie);

t-1

p_{t}

— værdien af den oprindelige funktion på tidspunktet (i tilfælde af en tidsserie, den sidste værdi);

t

t

- antallet af tilgængelige intervaller til beregning, og

{\textit {CA}}_{0}=0.

Akkumuleret beløb

Det kumulative glidende gennemsnit skal ikke forveksles med den kumulative sum , som beregnes ved at summere alle værdierne af serien i en løbende total:

{\textit {kumulativ}}_{t}=p_{t}+{\textit {kumulativ}}_{{t-1}}=\sum _{{i=1}}^{{t}}p_ {i}=p_{t}+p_{{t-1}}+\cdots +p_{{2}}+p_{{1}},

hvor er de nuværende og tidligere værdier af den kumulative sum;

{\textit {kumulativ}}_{t},{\textit {kumulativ}}_{{t-1}}

p_{i}

er værdien af den originale serie i øjeblikket

jeg.

Se også

Autoregressiv model : Autoregressiv model - glidende gennemsnit , glidende gennemsnitsmodel
Vindue (vægtfunktion)

Noter

↑ 1 2 3 4 5 6 7 Greshilov A. A., Stakun V. A., Stakun A. A. Matematiske metoder til at konstruere prognoser. - M .: Radio og kommunikation, 1997. - 112 s. — ISBN 5-256-01352-1 .
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Bulashev S. V. Statistik for handlende. — M.: Company Sputnik+, 2003. — 245 s.
↑ 1 2 Ved beregning af det eksponentielt vægtede glidende gennemsnit tages teoretisk alle værdier af tidsserien i betragtning, men i praksis, startende fra et tidspunkt, er bidraget fra startværdierne lavere end regnefejlen. Derfor kan de negligeres, og sættet af tidligere værdier kan betragtes som endeligt.
↑ Nogle kilder bruger den "omvendte" repræsentation af denne formel: ${\textit {EMA}}_{t}=(1-\alpha )\cdot p_{t}+\alpha \cdot {\textit {EMA}}_{{t-1}},$ Dette ændrer ikke på den matematiske betydning, men når man bruger og analyserer, bør man nøje overveje den kontekstuelle definition.
↑ Single Exponential Smoothing Arkiveret 10. marts 2011 på Wayback Machine på US National Institute of Standards and Technologys hjemmeside .
↑ EWMA Control Charts Arkiveret 4. marts 2011 på Wayback Machine på US National Institute of Standards and Technologys hjemmeside .

Betyde
Matematik	Effektmiddel ( vægtet ) harmonisk middel vægtet geometrisk middelværdi vægtet Gennemsnit vægtet geometriske middelværdi Gennemsnitlig kubik glidende gennemsnit Aritmetisk-geometrisk middelværdi Funktion Middel Kolmogorov mener
Geometri	geometrisk centrum Barycenter
Sandsynlighedsteori og matematisk statistik	Winsoriseret middelværdi prøvegennemsnit Forventet værdi Median Mode standardafvigelse Afkortet middelværdi Betinget forventning
Informationsteknologi	Medoid k-median metode
Sætninger	Første middelsætning Anden middelsætning Ulighed om det aritmetiske, geometriske og harmoniske middelværdi
Andet	Distributionscenter-metrics