Symmetrisk gruppe

Symmetrisk gruppe - gruppen af alle permutationer af et givet sæt (det vil sige bijektioner ) med hensyn til sammensætningsoperationen . $x$ $X\ til X$

Den symmetriske gruppe af et sæt betegnes normalt . Hvis , så er også betegnet med . Da for sæt af lige stor styrke ( ) deres permutationsgrupper ( ) også er isomorfe , så er dens permutationsgruppe for en endelig ordensgruppe identificeret med . $x$ $S(X)$ $X=\{1,2,...,n\}$ $S(X)$ $S_{n}$ $|X|=|Y|$ $S(X)\cong S(Y)$ $n$ $S_{n}$

Det neutrale element i den symmetriske gruppe er identitetspermutationen . $\mathrm {id} (x)=x$

Permutationsgrupper

Selvom gruppen af permutationer (eller permutationer) normalt refererer til selve den symmetriske gruppe , kaldes undergrupper af den symmetriske gruppe nogle gange, især i den engelsksprogede litteratur, for permutationsgrupper af et sæt . I dette tilfælde kaldes graden af gruppen kardinalitet . $x$ $S(X)$ $x$

Hver endelig gruppe er isomorf for en eller anden undergruppe af gruppen ( Cayleys sætning ). $G$ $S(G)$

Egenskaber

Antallet af elementer i den symmetriske gruppe for en endelig mængde er lig med antallet af permutationer af elementerne, det vil sige potensfaktoren : . For , den symmetriske gruppe er ikke- kommutativ. $|S_{n}|=n!$ $n\geqslant 3$ $S_{n}$

Den symmetriske gruppe indrømmer følgende opgave : $S_{n}$

\langle \sigma _{1},\sigma _{2},\dots ,\sigma _{n-1}|\sigma _{i}^{2},(\sigma _{i}\ sigma _{i+1})^{3},\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}\ {\text{if))\ |ij| >1\range

Vi kan antage, at det permuterer og . Den maksimale rækkefølge af gruppeelementer er Landau-funktionen . $\sigma_i$ $jeg$ $i+1$ $S_{n}$

Grupperne er opløselige , mens den symmetriske gruppe er uopløselig . ${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},S_{4))$ $n\geqslant 5$ $S_{n}$

En symmetrisk gruppe er perfekt (det vil sige, at konjugationskortlægningen er en isomorfi), hvis og kun hvis dens rækkefølge er forskellig fra 2 og 6 ( Hölders sætning ). I tilfælde af, at gruppen har en ydre automorfi mere . I kraft af denne og den tidligere egenskab for , er alle automorfier interne, det vil sige, at hver automorfi har formen for nogle . $n=6$ $S_6$ $n\geqslant 3,n\neq 6$ $S_{n}$ $\alfa(x)$ $g^{-1}xg$ $g\in S_n$

Antallet af klasser af konjugerede elementer i den symmetriske gruppe er lig med antallet af partitioner af tallet [2] . Sættet af transpositioner er et generatorsæt . På den anden side er alle disse transpositioner genereret af kun to permutationer , så det mindste antal generatorer af en symmetrisk gruppe er to. $S_{n}$ $n$ $(12),(23),...,(n-1 \ n)$ $S_{n}$ $(12),(12...n)$

Centrum af den symmetriske gruppe er trivielt for . Kommutatoren er den alternerende gruppe ; desuden er at den eneste ikke-trivielle normale undergruppe , og har en mere normal undergruppe - Klein-firedoblet gruppe . $n\geqslant 3$ $S_{n}$ $A_{n}$ $n\neq 4$ $A_{n}$ $S_{n}$ $S_4$

Visninger

Enhver undergruppe af permutationsgruppen kan repræsenteres af en gruppe af matricer fra , og hver permutation svarer til en permutationsmatrix (en matrix, hvor alle elementer i cellerne er lig med 1, og de andre elementer er lig nul); for eksempel er en permutation repræsenteret af følgende matrix : $G$ $S_{n}$ $SL(n,\mathbb {Z} )$ $\pi:i\to\pi (i)$ $(i,\pi(i))$ $(231)$ $3 gange 3$

\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

En undergruppe af en sådan gruppe, sammensat af matricer med determinant lig med 1, er isomorf til den alternerende gruppe . $A_{n}$

Der er andre repræsentationer af symmetriske grupper, for eksempel er symmetrigruppen (bestående af rotationer og refleksioner) af dodekaederet isomorf , mens rotationsgruppen i terningen er isomorf . $S_5$ $S_4$

Noter

↑ Aigner M. Kombinatorisk teori. M.: Mir, 1982. - 561 s.
↑ OEIS -sekvens A000041 _

Litteratur

Vinberg E. B. Algebra kursus. - M. : Factorial-Press, 2001.
Kargapolov M.I., Merzlyakov Yu.I. Grundlæggende om gruppeteori. - M . : Nauka, Fizmatlit, 1982.
Kostrikin A.I. Introduktion til algebra. Del III. Grundlæggende strukturer. - M. Publishing House = Fizmatlit, 2004.
Kurosh A.G. Teori om grupper. - M . : Nauka, Fizmatlit, 1967.
Postnikov M. M. Galois teori. — M .: Fizmatlit, 1963.