Ordliste over gruppeteori
Denne artikel opsummerer de vigtigste termer, der bruges i gruppeteori . Kursiv angiver et internt link til denne ordliste. Til sidst er en tabel med hovednotationen brugt i gruppeteori.
P
-Gruppe
En gruppe, hvor alle elementer er i orden lig med en potens af et primtal (ikke nødvendigvis ens for alle elementer). De taler også om en
primær gruppe (se
endelig -gruppe ).
En
Abelsk gruppe
Samme som den
kommutative gruppe .
abelianisering
Kvotientgruppen med hensyn til den
afledte undergruppe , altså for gruppen―.
Additiv ringgruppe
En gruppe, hvis elementer alle er elementer i den givne ring, og hvis operation er den samme som additionsoperationen i ringen.
Gruppe antihomomorfi
En kortlægning af grupper er sådan, at for vilkårlig og i (sammenlign med
en homomorfi ).
Helt almindelig -gruppe
En endelig -gruppe, hvor , hvor er en undergruppe dannet af dens elementers th potens.
G
Gruppe generator
1.
Grupperepræsentationsgenerator , infinitesimal operator.
2. Et element i en gruppes
generatorsæt .
Gruppens genetiske kode
Samme som
gruppeopgave .
Hovedrække af undergrupper
En række af undergrupper , hvori er den maksimale
normale undergruppe affor alle medlemmer af serien.
Holomorph
For en given
gruppe er en gruppe over par ( er en gruppe
af automorfier af en gruppe ) med en gruppesammensætningsoperation defineret som .
Gruppehomomorfi
En kortlægning af grupper er sådan, at for vilkårlige a og b i G .
Gruppe
Et ikke-tomt sæt med
en associativ binær operation defineret på den , hvor der er et
neutralt element i , det vil sige for alle , og for hvert element er der et
omvendt element , sådan at .
Schmidt gruppe
En ikke- nilpotent gruppe, hvis egentlige
undergrupper er nilpotente.
Miller Group - Moreno
En ikke- abelsk gruppe, hvis egentlige undergrupper alle er abelske.
Gruppe algebra
For en
gruppe over
et felt er dette et
vektorrum over , hvis generatorer er elementerne , og multiplikationen af generatorerne svarer til multiplikationen af elementerne .
D
Gruppehandling
Gruppen virker til venstre på sættet,hvis
der er givet en homomorfi , hvorer
den symmetriske gruppe . Gruppen handler fra højre på sættet,hvis der er givet en homomorfi, hvorer
gruppens omvendte gruppe.
Længde af et antal undergrupper
Nummer i definitionen
af et antal undergrupper .
E
Naturlig homomorfi
Homomorfi af en gruppetil en
kvotientgruppe af en
normal undergruppe , der forbinder hvert elementi gruppen med
en coset .
Kernen i denne homomorfi er undergruppen.
W
Gruppeopgave
Definitionen af en
gruppe ved at specificere
et generatorsæt og et sæt af relationer mellem generatorer er angivet med . Også kaldet gruppegenetisk kode , grupperepræsentation (skaber tvetydighed med
lineær grupperepræsentation ), gruppesamrepræsentation .
Og
Gruppe isomorfisme
Bijektiv homomorfi .
Isomorfe grupper
Grupper, mellem hvilke der er mindst én
isomorfi .
Invariant undergruppe
Samme som
normal undergruppe .
omvendt gruppe
Gruppen opnået ved at bytte argumenterne for en binær operation, det vil sige for med en operation , er en gruppe med en operation sådan, at for alle elementer .
Undergruppeindeks
Antallet
af cosets i hver (højre eller venstre) af udvidelserne af en gruppe over en given undergruppe.
Indeks for en række undergrupper
Indeks i definitionen af en
subnormal række af undergrupper .
K
Nilpotens klasse
For en
nilpotent gruppe er minimumslængden af den
centrale række af undergrupper .
Adjacence klasse
For elementet er den venstre coset (eller coset) efter
undergruppe mængden , den højre coset for undergruppe er mængden , den dobbelte coset af undergrupper er mængden (sættet af dobbelte cosets er betegnet med ).
Konjugationsklasse
For et element , mængden af alle dets
konjugerede elementer :.
Engageret
For en gruppe,
der handler på sæt og , er en kortlægning sådan, at for enhver og .
kommutator
Undergruppen , der genereres af alle
switches i gruppen, er normalt betegnet medeller.
kommutativ gruppe
Gruppe med kommutativ binær operation ( ); også kaldet en abelsk gruppe .
Skiftende elementer
Elementer, for hvilke
kommutatoren er lig med gruppens identitetselement, eller tilsvarende de elementer, for hvilke .
Kontakt
For elementer , elementet .
Undergruppe skifte
Masser af forskellige værker .
kompositionsserie
For en gruppe en
række undergrupper , hvor alle
faktorgrupper er
simple grupper .
slutgruppe
En gruppe med et begrænset antal elementer.
Terminal -gruppe
-gruppe af endelig
rækkefølge .
Endeligt givet gruppe
En gruppe, der har et endeligt antal
generatorer og er
defineret i disse generatorer af et endeligt antal
relationer ; også kaldet en endeligt præsenteret gruppe .
Endeligt genereret abelsk gruppe
En abelsk gruppe med et begrænset system
af generatorer .
endeligt genereret gruppe
En gruppe, der har et begrænset system
af generatorer .
Gruppepræsentation
Samme som
gruppeopgave .
Torsion
Undergruppen af alle elementer af endelig
rækkefølge , brugt til
kommutative og
nilpotente grupper, betegnet med .
L
lokal ejendom
En gruppe siges at have en lokal egenskab, hvis en
endeligt genereret undergruppe af har denne egenskab. Eksempler er lokal endelighed, lokal nilpotens.
Lokal sætning
En bestemt lokal sætning siges at være sand for nogle egenskaber af grupper, hvis hver gruppe, der
lokalt har denne egenskab , også har det. For eksempel: en lokalt abelsk gruppe er abelsk, men en lokalt begrænset gruppe kan være uendelig.
M
Maksimal undergruppe
En
undergruppe , så der ikke er andre undergrupper, der indeholder den (ikke sammenfaldende med selve gruppen).
Metabelsk gruppe
En gruppe hvis
kommutator er
Abelian ,
solvabilitetsklassen for en sådan gruppe er 2.
Methanilpotent gruppe
En polynilpotent gruppe med
solvabilitetsklasse 2.
Metacyklisk gruppe
En gruppe, der har en
cyklisk normal undergruppe , hvis
faktorgruppe også er cyklisk. Enhver endelig gruppe, hvis
rækkefølge er
kvadrat -fri (dvs. ikke delelig med kvadratet af et hvilket som helst tal) er metacyklisk.
Minimum normal undergruppe
Den mindste (ved inklusion) ikke-identitet (dvs. bestående af ikke kun identitetselementet)
normale undergruppe .
H
neutralt element
Et element specificeret i definitionen af en
gruppe , hvis enhver brug i en binær operation efterlader det andet argument uændret.
Nilpotent gruppe
En gruppe, der har en
central række af undergrupper . Minimumslængderne af sådanne serier kaldes dens
nilpotensklasse .
Gruppenorm
Sættet af elementer i en gruppe, der
permuterer med alle
undergrupper , det vil sige skæringspunktet mellem
normalisatorerne for alle dens undergrupper.
Normalizer
For en undergruppe i - dette er den maksimale undergruppe , som er
normal . Med andre ord er en normalisator en
stabilisator , når den
virker på sættet af dens undergrupper ved
konjugationer , dvs.
Normal undergruppe
er en normal
undergruppe , hvis , for ethvert element , , det vil sige, at
højre og venstre sidesæt i er ens. Med andre ord, hvis . Kaldes også en invariant undergruppe , en normaldivisor .
normal divisor
Samme som
normal undergruppe .
Normal række af undergrupper
En række undergrupper , hvori er
normal i, for alle medlemmer af serien.
Åh
Kredsløb
For et element i sættet , som gruppen
handler på fra venstre , er sættet af alle handlinger på elementet: .
P
Permutationselementer
Et par elementer som .
Gruppeperiode
Det mindste fælles multiplum af elementrækkefølgerne i en given gruppe. Samme som
eksponent ,
gruppeeksponent .
Periodisk gruppe
En gruppe, hvor hvert element har en endelig rækkefølge .
Undergruppe
En delmængde af gruppen , der er en
gruppe i forhold til operationen defineret i .
Torsion undergruppe
Det samme som
torsion .
En undergruppe genereret af et sæt
For en vilkårlig delmængde , angiver den mindste undergruppe , der indeholder .
Thompson
Undergruppe genereret af alle
abelske undergrupper ; er angivet .
Tilpasningsundergruppe
Undergruppe genereret af alle
nilpotente normale undergrupper ; er angivet .
Frattini undergruppe
Skæringspunktet mellem alle
maksimale undergrupper , hvis der findes nogen, eller selve gruppen ellers; er angivet .
Gruppescore
Samme som
eksponent ,
gruppeperiode .
Polynilpotent gruppe
En gruppe, der har en endelig
normalrække, hvis faktorer er
nilpotente .
Halvdirekte produkt
For grupper og over
en homomorfi (angivet på forskellige måder, herunder ) - et sæt udstyret med en operation sådan, at for enhver , .
Generer sæt af en gruppe
En delmængde af en gruppe, således at hvert element i gruppen kan skrives som produktet af et endeligt antal elementer i mængden og deres invers.
Gruppebestilling
Det samme som
kardinalitet af gruppens sæt (for
endelige grupper , antallet af elementer i gruppen).
Elementrækkefølge
For et grundstof er det mindste naturlige tal således, at . Hvis dette ikke eksisterer, anses det for at have en uendelig rækkefølge.
Næsten - - Gruppe
For en gruppeteoretisk egenskab , en gruppe, der har en undergruppe af endeligt
indeks , der har egenskaben ; sådan taler man om næsten
nilpotente , næsten
opløselige , næsten
polycykliske grupper.
Gruppevisning
1.
Lineær repræsentation af en gruppe ,
en homomorfi af en given gruppe til en gruppe af ikke-degenererede
lineære transformationer af et vektorrum .
2. Samme som
gruppeopgave .
simpel gruppe
En gruppe, hvor der ikke er andre normale undergrupper end den trivielle (bestående kun af identitetselementet) og hele gruppen.
Primær gruppe
En gruppe, hvor alle elementer er i orden lig med en potens af et primtal (ikke nødvendigvis ens for alle elementer). Man taler også om en
endelig -gruppe .
direkte produkt
For grupper og - et sæt af par udstyret med operationen af komponentvis multiplikation: .
R
Gruppeudvidelse
En gruppe, der indeholder den givne gruppe som en
normal undergruppe af .
Opløselig gruppe
En gruppe, der har en
normal række af undergrupper med
abelske faktorer . Den mindste af længderne af sådanne serier kaldes dens solvabilitetstrin .
Opløselig radikal
Undergruppen genereret af alle
opløselige normale undergrupper er betegnet med .
En række undergrupper
En endelig række af undergrupper er sådan , at for alle . Sådan en serie skrives i formen
eller i formen .
Regelmæssig -gruppe
En endelig
gruppe , for ethvert par af elementer, og for hvilket der er et element af den
afledte undergruppe af undergruppen, der genereres af disse elementer, således at .
C
Superopløselig gruppe
En gruppe, der har en
normal række af undergrupper med
cykliske faktorer .
fri gruppe
En gruppe
defineret af et sæt og alligevel ikke har andre relationer end de relationer, der definerer gruppen. Alle frie grupper, der genereres af
sæt med lige stor effekt, er
isomorfe .
frit arbejde
En gruppe
defineret af elementerne i disse grupper uden yderligere relationer mellem elementerne ud over de relationer, der definerer hver af de givne grupper.
Sylow undergruppe
-undergruppe i
orden ,hvorog
er den største fælles divisor af taloger lig med 1.
Symmetrisk gruppe
Gruppen af alle
bijektioner af en given endelig mængde (det vil sige alle
permutationer ) med hensyn til
sammensætningsoperationen .
Forhold
En identitet, der opfyldes af generatorer af grupper (når
en gruppe er defineret af generatorer og relationer).
Konjugeret element
For et element , et element af formen for nogle . Den korte notation bruges ofte .
Gruppe plexus
Kransproduktet af grupper og(benævntmed ), hvor gruppenvirker på et sæt, er det semidirekte produkt, hvor gruppener det direkte produkt eller direkte sum af sættet af kopier af gruppenindekseret af elementerne i sættet; i det første tilfælde kaldes plexus den kartesiske (eller fuld) plexus og betegnes ogsåi den anden direkte plexus.
Stabilisator
For et element i sættet , som gruppen agerer på - en undergruppe , hvis alle elementer efterlades på plads: .
Grad af løselighed
Den mindste af længderne af
normalrækken af undergrupper med
abelske faktorer for den givne gruppe.
Subnormal række af undergrupper
En række af undergrupper , hvor undergruppener normal i undergruppen, for alle medlemmer af serien.
F
Faktor gruppe
For en
gruppe og dens
normale undergruppe , er sættet
af bimængder af undergruppen med multiplikation defineret som følger: .
Subnormale seriefaktorer
Faktorgrupper i definitionen af en
subnormal række af undergrupper .
X
Karakteristisk undergruppe
En undergruppe , der er invariant under alle
automorfier i gruppen.
Hall undergruppe
En undergruppe , hvis
rækkefølge er
relativt prime i forhold til dens indeks i hele gruppen.
C
Gruppecenter
Maksimal gruppe af elementer, der
pendler med hvert element i gruppen: . En slags "abelsk målestok": en gruppe er abelsk, hvis og kun hvis dens centrum falder sammen med hele gruppen.
Centralisator
Den maksimale undergruppe, hvor hvert element
pendler med et givet element: .
Central række af undergrupper
Normal serie af undergrupper , hvori, for alle medlemmer af serien.
Centralt element i gruppen
Elementet i
midten af gruppen .
Cyklisk gruppe
En gruppe bestående af et
genererende element og alle dets heltalspotenser. Den er endelig, hvis rækkefølgen af det genererende element er endelig.
E
Udstiller
Den numeriske karakteristik af en
endelig gruppe lig
med det mindste fælles multiplum af rækkefølgen af alle elementer i gruppen er betegnet med . Samme som
gruppeperiode ,
gruppeeksponent .
elementær gruppe
En gruppe, der er
endelig eller
abelsk , eller opnået fra endelige og abelske grupper ved en sekvens af operationer med at tage
undergrupper ,
epimorfe billeder, direkte grænser og
udvidelser .
Gruppe epimorfi
En epimorfi er
en homomorfi , hvis kortlægningen f er
surjektiv .
I
Homomorfisme kerne
Det omvendte billede af et
neutralt element under
homomorfien . Kernen er altid en
normal undergruppe , og enhver normal undergruppe er kernen af en eller anden homomorfi.
Symboltabel
Dette afsnit giver nogle notationer, der bruges i publikationer om gruppeteori. For nogle notationer er de tilsvarende begreber i nogle andre sektioner af generel algebra (teorien om ringe, felter) også angivet. Ud over de angivne symboler bruges deres spejlbilleder nogle gange, for eksempel betyder det det samme som .
Symbol ( Τ Ε Χ )
|
Symbol ( Unicode )
|
Navn
|
Betyder
|
Udtale
|
Gruppeteori symboler
|
|
⊲
|
Normal undergruppe , ring ideel
|
betyder " er en normal undergruppe af en gruppe " if er en gruppe, og " er et (tosidet) ideal for en ring " if er en ring.
|
"normalt i", "... er ideelt..."
|
|
[ : ]
|
Undergruppeindeks , feltdimension _
|
betyder "indeks for en undergruppe i en gruppe " if er en gruppe, og "dimension af et felt over et felt ", hvis og er et felt.
|
"indeks ... i ...", "dimension ... over ..."
|
|
×
|
Direkte produkt af grupper
|
betyder "direkte produkt af grupperne og ".
|
"et direkte produkt af ... og ..."
|
|
⊕
|
Direkte sum af underrum
|
betyder "rummet nedbrydes til en direkte sum af underrum og ".
|
"Direkte sum... og..."
|
|
⊗
|
Tensor produkt
|
betyder "tensorprodukt af tensorer og ".
|
"tensorprodukt af ... og ..."
|
|
[ , ]
|
Gruppeelementomskifter _ _
|
betyder "kommutator af elementer og grupper ", dvs. element .
|
"skift...og..."
|
|
G'
|
kommutator
|
betyder "gruppekommutator ".
|
"kontakt..."
|
|
⟨⟩n _
|
Cyklisk gruppe
|
betyder "den cykliske ordregruppe genereret af elementet ".
|
"Den cykliske ordregruppe genereret "
|
|
Et T
|
Transponeret matrix
|
betyder "transponeret matrix ".
|
"transponeret matrix..."
|
|
E i, j
|
Matrix enhed
|
betyder "matrix -en", det vil sige en matrix , der har en et på plads og nuller på resten af pladserne.
|
"matrix enhed..."
|
|
*
|
Adjoint operator Dobbeltrum Multiplikativ feltgruppe
|
betyder " lineær operator adjoint til ", hvis er en lineær operator. betyder " lineært rum dobbelt til (dobbelt til )", hvis - lineært rum. betyder "multiplikativ gruppe af feltet ", hvis - felt.
|
"operatør konjugeret til ..."; "rummet konjugeret til..."; "multiplikativ gruppe..."
|
Standardnotation for nogle grupper
|
|
S n
|
Symmetrisk gruppe af th grad
|
betyder "symmetrisk gruppe (eller permutationsgruppe) af grad ".
|
"es..."
|
|
En n
|
Skiftende gruppe -th grad
|
betyder "en vekslende gruppe (det vil sige en gruppe af lige permutationer) af grad ".
|
"en..."
|
|
ℤ/nℤ
|
Cyklisk ordregruppe
|
betyder "cyklisk ordensgruppe (tilsvarende: modulo-additionsgruppe af rester )".
|
|
GL n (F)
|
Den komplette lineære gruppe er en gruppe af ikke-degenererede lineære operatorer
|
betyder "en gruppe af ikke-degenererede lineære dimensionsoperatorer over et felt " (fra generelt lineær ).
|
"samme øl ... over ..."
|
|
SL n (F)
|
En speciel lineær gruppe er en gruppe lineære operatorer med determinant 1
|
betyder "en gruppe lineære dimensionsoperatorer over et felt med determinant 1" (fra special linear ).
|
"es el... over..."
|
|
UT n (F)
|
Gruppe af øvre trekantede matricer
|
betyder "gruppen af matricer af øvre trekantet orden over et felt " (fra øvre trekantet ).
|
"gruppen af øvre trekantede matricer af orden... over..."
|
|
SUT n (F)
|
Gruppe af øvre enhedtriangulære matricer
|
betyder "en gruppe af matricer af den øvre enhedtriangulære orden over et felt " (fra speciel øvre trekantet ), det vil sige øvre trekantede matricer med ener på hoveddiagonalen.
|
"gruppen af øvre enhedtriangulære matricer af orden ... over ..."
|
|
PGLn ( K)
|
projektiv gruppe
|
betyder "gruppen af transformationer af et dimensionelt projektivt rum induceret af ikke-degenererede lineære transformationer af rummet .
|
"projektiv gruppe af orden... over..."
|
|
D n
|
Dihedral gruppe -th grad
|
betyder "dihedral gruppe af th grad" (dvs. gruppen af symmetrier af en regulær -gon).
|
"de..."
|
|
V 4
|
Klein Quadruple Group
|
betyder "firedobbelt Klein-gruppe".
|
"har fire"
|
Litteratur
- Vinberg E. B. Algebra kursus. - 3. udg. - M . : Factorial Press, 2002. - 544 s. - 3000 eksemplarer. — ISBN 5-88688-060-7 .
- Melnikov O. V., Remeslennikov V. N., Romankov V. A. . Kapitel II. Grupper // Generel Algebra / Under det generelle. udg. L. A. Skonyakova . - M . : Nauka , 1990. - T. 1. - S. 66-290. — 592 s. — (Matematisk referencebibliotek). — 30.000 eksemplarer. — ISBN 5-02-014426-6 .