Konjugationsklasse

En konjugationsklasse er et sæt elementer i gruppen dannet fra elementer konjugeret til en given , det vil sige alle elementer i formen , hvor er et vilkårligt element i gruppen . $G$ $g\in G$ $hgh^{{-1}}$ $h$ $G$

Konjugationsklassen for et element kan betegnes med , eller . $g\in G$ $[g]$ $g^{G}$ ${\mathrm {Cl}}(g)$

Definition

Elementer og grupper kaldes konjugeret , hvis der er et element , som . Konjugation er en ækvivalensrelation , og derfor opdeles i ækvivalensklasser , hvilket især betyder, at hvert element i gruppen tilhører præcis én konjugationsklasse, og klasserne og falder sammen , hvis og kun hvis og er konjugerede, og ikke skærer hinanden ellers . $g_{1}$ $g_{2}$ $G$ $h\in G$ $hg_{1}h^{{-1}}=g_{2}$ $G$ $[g_{1}]$ $[g_{2}]$ $g_{1}$ $g_{2}$

Noter

Konjugationsklasser kan også defineres som banerne for en gruppes virkning på sig selv ved konjugationer givet af formlen [1] . $(g,m)=gmg^{{-1}}$

Eksempler

Den symmetriske gruppe bestående af alle seks permutationer af tre elementer har tre konjugationsklasser: $S_{3}$
- rækkefølgen ændres ikke ( , "1A"), $abc\til abc$
- permutation af to elementer ( , , , "3A"), $abc\til acb$ $abc\to bac$ $abc\to cba$
- cyklisk permutation af alle tre elementer ( , , "2A"). $abc\to bca$ $abc\til førerhus$

Den symmetriske gruppe , der består af alle 24 permutationer af fire elementer, har fem konjugationsklasser: $S_4$
- rækkefølgen ændres ikke (1 permutation): , "1A" eller "(1) 4 "; $\{\{1,2,3,4\}\}$
- permutation af to elementer (6 permutationer): , "6A" eller "(2)"; $\{\{1,2,4,3\},\{1,4,3,2\},\{1,3,2,4\},\{4,2,3,1\}, \{3,2,1,4\},\{2,1,3,4\}\}$
- cyklisk permutation af tre elementer (8 permutationer): , "8A" eller "(3)"; $\{\{1,3,4,2\},\{1,4,2,3\},\{3,2,4,1\},\{4,2,1,3\}, \{4,1,3,2\},\{2,4,3,1\},\{3,1,2,4\},\{2,3,1,4\}\}$
- cyklisk permutation af alle fire elementer (6 permutationer): , "6B" eller "(4)"; $\{\{2,3,4,1\},\{2,4,1,3\},\{3,1,4,2\},\{3,4,2,1\}, \{4,1,2,3\},\{4,3,1,2\}\}$
- parvis permutation (3 permutationer): , "3A" eller "(2)(2)". $\{\{2,1,4,3\},\{4,3,2,1\},\{3,4,1,2\}\}$

I det generelle tilfælde er antallet af konjugationsklasser i en symmetrisk gruppe lig med antallet af partitioner af tallet , da hver konjugationsklasse svarer til nøjagtig én partition af permutationen i cyklusser . $S_{n}$ $n$ $\{1,2,\dots ,n\}$

Egenskaber

Det neutrale element danner altid sin egen klasse $[e]=\{e\}$
Hvis er Abelian , så , altså for alle elementer i gruppen. $G$ $\forall {g,h\in G}\ghg^{-1}=h$ $[g]=\{g\}$
Hvis to elementer og grupper tilhører den samme konjugationsklasse, har de samme rækkefølge . $g_{1}$ $g_{2}$ $G$
- Mere generelt svarer enhver gruppeteoretisk erklæring om et element til en erklæring om et element , da konjugation er en
automorfi af gruppen . $\pi (g)$ $g\in G$ $h\in[g]$ $x\til xgx^{{-1}}$ $G$

Et element ligger i midten, hvis og kun hvis dets konjugationsklasse består af et enkelt element: .

g\in G

Z(G)

[g]=\{g\}

Mere generelt: indekset for en undergruppe (

centralisatoren af et givet element ) er lig med antallet af elementer i konjugationsklassen (ifølge kredsløbsstabiliseringsteoremet ).

Z_{G}(g)

g

[g]

Hvis og er konjugeret, så er deres beføjelser og også konjugeret .

g_{1}

g_{2}

g_{1}^{k}

g_{2}^{k}

For et hvilket som helst element i gruppen svarer elementerne i konjugationsklassen en-til-en til konjugationsklasserne i centralizeren , ja, hvis , så for nogle , hvilket fører til det samme konjugerede element: . I særdeleshed: $g\in G$ $[g]$ $Z_{G}(g)$ $h_{1}\i [h_{2}]$ $h_{1}=h_{2}z$ $z\in Z_{G}(g)$ $h_{1}gh_{1}^{-1}=h_{2}zg(h_{2}z)^{-1}=h_{2}zgz^{-1}h_{2}^ {-1}=h_{2}zz^{-1}gh_{2}^{-1}=h_{2}gh_{2}^{-1}$
- Hvis er en
endelig gruppe , så er antallet af elementer i konjugationsklassen indekset for centralisatoren . $G$ $[g]$ $[G:Z_{G}(g)]$
Rækkefølgen af hver konjugationsklasse er en divisor af rækkefølgen af gruppen.

Rækkefølgen af gruppen er summen af indekserne for centralisatorer for den valgte repræsentant fra hver konjugationsklasse: . Under hensyntagen til det faktum, at centralisatoren af en gruppe danner en konjugationsklasse ud fra et enkelt element (sig selv), er denne relation, kaldet ligningen for konjugationsklasser [2] skrevet som følger:

g_i

|G|=\Sigma {_{i}}[G:Z_{G}(g_{i})]

Z(G)

|G|=|Z(G)|+\Sigma {_{i}}[G:Z_{G}(g_{i})]

hvor summen overtages alle repræsentanter for hver konjugationsklasse, der ikke tilhører centret.

Lad for eksempel en endelig -gruppe være givet (det vil sige en gruppe med orden , hvor er et primtal og ). Da rækkefølgen af enhver konjugationsklasse skal opdele rækkefølgen af gruppen, har hver konjugationsklasse også en rækkefølge, der er lig med en eller anden potens ( ), og så følger det af ligningen for konjugationsklasser, at: $s$ $G$ $p^{n}$ $s$ $n>0$ $Hej$ $p^{{k_{i}}}$ $0<k_{i}<n$

|G|=p^{n}=|Z(G)|+\Sigma {_{i}}p^{{k_{i}}}

, dette indebærer igen, at tallet skal dividere , så for alle finite -grupper, dvs. ligningen for konjugationsklasser, tillader os at fastslå, at enhver finit -gruppe har et ikke-trivielt center.

s

|Z(G)|

|Z(G)|>1

s

s

Konjugationsklasser i den grundlæggende gruppe af et stiforbundet topologisk rum kan betragtes som ækvivalensklasser af frie sløjfer under fri homotopi.

Variationer og generaliseringer

For en vilkårlig delmængde (ikke nødvendigvis en undergruppe), kaldes delmængden konjugeret til, hvis der er et element, sådan at . I dette tilfælde er konjugationsklassen sættet af alle delmængder , således at hver er konjugeret . $S\subseteq G$ $T\subseteq G$ $S$ $g\in G$ $T=gSg^{{-1}}$ $[S]$ $T\subseteq G$ $T$ $S$

En udbredt sætning er, at for enhver given delmængde af en gruppe, er sætindekset for dens normalisator lig med rækkefølgen af dens konjugationsklasse : $S$ $G$ $N(S)$ $[S]$

|[S]|=[G:N(S)]

Dette følger af det faktum, at for holder: hvis og kun hvis , det vil sige, og er indeholdt i den samme normalisator -adjacency-klasse . $g,h\in G$ $gSg^{{-1}}=hSh^{{-1}}$ $g^{{-1}}h\in N(S)$ $g$ $h$ $N(S)$

Undergrupper kan opdeles i konjugationsklasser, således at to undergrupper tilhører samme klasse, hvis og kun hvis de er konjugerede. Konjugerede undergrupper er isomorfe , men isomorfe undergrupper behøver ikke at være konjugerede. For eksempel kan en abelsk gruppe indeholde to distinkte isomorfe undergrupper, men de vil aldrig være konjugerede.

Se også

Noter

↑ Grillet, 2007 , s. 56.
↑ Grillet, 2007 , s. 57.

Litteratur

Pierre Antoine Grillet. abstrakt algebra. - 2. - Springer, 2007. - T. 242. - (Kandidattekster i matematik). — ISBN 978-0-387-71567-4 .