Landau funktion

Landau-funktionen i talteorien , opkaldt efter den tyske matematiker Edmund Landau , er defineret for ethvert naturligt tal n som den største rækkefølge af et element i den symmetriske gruppe . $g(n)$ $S_{n}$

Definitioner

Ækvivalente definitioner: lig med den største af de mindste fælles multipla (LCM) over alle partitioner af tallet n eller det maksimale antal gange, en permutation af n elementer kan anvendes successivt før den første forekomst af den oprindelige sekvens. Så formelt: $g(n)$

g(n)=\max \limits _{k_{1}+\ldots +k_{m}=n}HOK(k_{1},\ldots ,k_{m})

For eksempel, 5 = 2 + 3 og LCM(2,3) = 6. Ingen anden partition giver et større mindste fælles multiplum, derfor . Et element af orden 6 i en gruppe kan skrives som et produkt af to cyklusser: (1 2) (3 4 5). $g(5)=6$ $S_5$

Egenskaber

Heltalssekvens g (0)=1, g (1)=1, g (2)=2, g (3)=3, g (4)=4, g (5)=6, g (6)=6 , g (7) = 12, g (8) = 15, … er OEIS-sekvensen A000793 , opkaldt efter Edmund Landau , som beviste i 1902 [1] at

\lim _{n\to \infty }{\frac {\ln(g(n))}{\sqrt {n\ln(n)))}=1

(hvor ln står for den naturlige logaritme ).

I dette tilfælde forekommer de lokale maksima for udtrykket under grænsetegnet ved n = 2, 3, 5, 7, 9, 10, 12, 17, 19, 30, 36, 40, … (sekvens A103635 i OEIS ).

Påstanden om at

\ln g(n)<{\sqrt {\operatørnavn {Li} ^{-1}(n)))

for alle n , hvor betegner den inverse af integrallogaritmen , svarer til Riemann-hypotesen . ${\displaystyle \operatørnavn {Li} ^{-1))$

Andre forhold:

I LCM (1, 2, …, n) . Den første ulighed følger af, at der er en af partitionerne, den anden asymptotik fra Landaus påstand. $\leqslant \ln g\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)\sim n{\sqrt {\ln n}}$ $1+2+\dots +n={\frac {n(n+1)}{2))$
Lad gpf( g(n) ) være den største primfaktor af g(n) . Værdierne af denne funktion for n=2, 3, ... vil være 2, 3, 2, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 7, 7 , 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 11, … (sekvens A129759 i OEIS ). J.L. Det viste Nicolas i 1969 . J.P. Massias et al. (1988, 1989) viste, at for alle , og J. Grantham (1995) viste, at konstanten 2,86 for alle kan forbedres til 1,328. $\operatørnavn {gpf} (g(n))\sim {\sqrt {n\ln n))$ $n\geqslant 2$ $\operatornavn {gpf} (g(n))\leqslant 2{,}86{\sqrt {n\ln n))$ $n\geqslant 5$

Noter

↑ Landau, s. 92-103

Litteratur

E. Landau , "Über die Maximalordnung der Permutationen gegebenen Grades [Om den maksimale permutationsrækkefølge af en given orden]", Arch. Matematik. Phys. Ser. 3, bind. 5, 1903.
W. Miller, "Den maksimale rækkefølge af et element af en endelig symmetrisk gruppe", American Mathematical Monthly , vol. 94, 1987, s. 497-506.
J.L. Nicolas, "Om Landaus funktion g ( n )", i The Mathematics of Paul Erdős , vol. 1, Springer-Verlag , 1997, s. 228-240.

Landau funktion

Definitioner

Egenskaber

Noter

Litteratur

Links