Sætning om systemets kinetiske energi

Sætningen om systemets kinetiske energi er en af dynamikkens generelle teoremer [1] , er en konsekvens af Newtons love . Forbinder den kinetiske energi i et mekanisk system med arbejdet af kræfter, der virker på de kroppe, der udgør systemet. Det pågældende system kan være et hvilket som helst mekanisk system, der består af hvilke som helst legemer [2] [3] .

Udtalelse af sætningen

Den kinetiske energi i et system er summen af de kinetiske energier af alle legemer i systemet. For værdien defineret på denne måde er udsagnet [2] [3] sandt :

Sætningen tillader generalisering til tilfældet med ikke-inertielle referencerammer . I dette tilfælde skal arbejdet fra de bærbare inertikræfter lægges til arbejdet af alle ydre og indre kræfter ( Coriolis- inertikræfterne kan ikke producere arbejde) [4] .

Bevis for sætningen

Overvej et system af materialepunkter med masser , hastigheder og kinetiske energier . For en lille ændring i kinetisk energi ( differential ), der forekommer over et lille tidsinterval , $m_i$ $\vec v_i$ $T_{i}={\frac {1}{2}}m_{i}{v_{i}}^{2}$ $dt,$

dT_{i}=m_{i}{\vec {v}}_{i}d{\vec {v}}_{i}=m_{i}{\vec {v}}_{i }{\frac {d{\vec {v}}_{i}}{dt}}dt.

I betragtning af, hvad der er accelerationen af det i -te punkt , og er bevægelsen af det samme tidspunkt , kan det resulterende udtryk skrives som: ${\frac {d{\vec {v}}_{i}}{dt}}$ ${\vec {a}}_{i}$ ${\vec {v}}_{i}dt$ $d{\vec {s}}_{i}$ $dt$

dT_{i}=m_{i}{\vec {a}}_{i}d{\vec {s}}_{i}.

Ved at bruge Newtons anden lov og betegne resultanten af alle kræfter, der virker på et punkt som , får vi ${\displaystyle F_{i))$

dT_{i}={\vec {F}}_{i}d{\vec {s}}_{i},

og så efter jobdefinition ${\displaystyle dA_{i))$

dT_{i}=dA_{i}.

Summeringen af alle ligninger af denne type, skrevet for hvert af de materielle punkter, fører til en formel til ændring af systemets samlede kinetiske energi:

dT=\sum \limits _{i}dA_{i}.

Denne lighed udtrykker påstanden om sætningen om ændringen i systemets kinetiske energi i differentialform.

Efter at have integreret begge dele af den opnåede lighed over et vilkårligt taget tidsinterval mellem nogle og , opnår vi udtrykket af sætningen om ændringen i kinetisk energi i integral form: $t_{1}$ $t_{2}$

T_{2}-T_{1}=\sum \limits _{i}A_{i},

hvor og er værdierne af systemets kinetiske energi på tidspunktet og hhv. $T_{1}$ ${\displaystyle T_{2))$ $t_{1}$ $t_{2}$

Det skal understreges, at her, i modsætning til tilfældene af sætningen om ændringen i systemets momentum og sætningen om bevægelsen af systemets massecenter , er virkningen af ikke kun ydre, men også indre kræfter er taget i betragtning.

Loven om bevarelse af mekanisk energi

Af særlig interesse er systemer, hvor potentielle kræfter virker på kroppe [5] . For sådanne kræfter introduceres begrebet potentiel energi , hvis ændring i tilfælde af et materielt punkt pr. definition opfylder forholdet:

W_{2i}-W_{1i}=-A_{pi},

hvor og er værdierne af punktets potentielle energi i henholdsvis start- og sluttilstand, og er værket af den potentielle kraft, der udføres, når punktet bevæger sig fra starttilstanden til sluttilstanden. ${\displaystyle W_{1i))$ $W_{2i}$ $A_{pi}$

Ændringen i systemets potentielle energi opnås som et resultat af at opsummere ændringerne i energierne i alle systemets kroppe:

W_{2}-W_{1}=-\sum \limits _{i}A_{pi}.

Hvis alle indre og ydre kræfter, der virker på systemets kroppe, er potentielle [6] , så

\sum \limits _{i}A_{i}=\sum \limits _{i}A_{pi}=-(W_{2}-W_{1}).

Ved at erstatte det resulterende udtryk i ligningen for kinetisk energisætningen får vi:

T_{2}-T_{1}=-(W_{2}-W_{1})

eller hvad er det samme

T_{2}+W_{2}=T_{1}+W_{1}.

Med andre ord viser det sig, at for systemets samlede mekaniske energi , $T+W$

T+W=konst.

Således kan vi konkludere:

Dette udsagn er indholdet af loven om bevarelse af mekanisk energi , som er en konsekvens af sætningen om kinetisk energi og samtidig et særtilfælde af den generelle fysiske lov om energibevarelse [2] [3] .

Tilfældet med et system med ideelle stationære begrænsninger

I tilfælde hvor emnet for undersøgelsen kun er systemets bevægelse, og bindingernes reaktioner ikke er af interesse, bruger de formuleringen af sætningen for et system med ideelle stationære bindinger, som er afledt under hensyntagen til d' Alembert-Lagrange-princippet .

Sætningen om ændringen i den kinetiske energi af et system med ideelle stationære bindinger siger [7] :

Sætningen bevises som følger. Ved at erstatte i den generelle dynamikligning med , får vi: $\delta {\vec {r}}_{k}$ ${\vec {v}}_{k}dt$

(\sum m_{k}{\vec {w}}_{k}){\vec {v}}_{k}dt=\sum {\vec {F}}_{k}{\ vec{v}}_{k}dt

eller

(d\sum m_{k}{\vec {v}}_{k}){\vec {v}}_{k}=\sum {\vec {F}}_{k}^{ ae}{\vec {v}}_{k}dt+\sum {\vec {F}}_{k}^{ai}{\vec {v}}_{k}dt

Siden får vi endelig: $d{\vec {v}}_{k}{\vec {v}}_{k}=d{\frac {v_{k}^{2}}{2}}$

{\displaystyle dT=d'A^{ae}+d'A^{ai))

De øverste ikoner i disse udtryk betegner: - aktiv (det vil sige ikke en reaktion af bindinger) kraft, (fra engelsk ekstern ) og (fra engelsk intern ) - henholdsvis eksterne og indre kræfter. ${\displaystyle ^{a))$ ${\displaystyle ^{e))$ ${\displaystyle ^{i))$

Se også

Noter

↑ Targ S. M. Dynamics // Physical Encyclopedia : [i 5 bind] / Kap. udg. A. M. Prokhorov . - M . : Soviet Encyclopedia , 1988. - T. 1: Aharonov - Bohm-effekt - Lange linjer. — S. 616-617. — 707 s. — 100.000 eksemplarer.
↑ 1 2 3 Targ S. M. Et kort kursus i teoretisk mekanik. - M . : Højere skole, 1995. - S. 301-323. — 416 s. — ISBN 5-06-003117-9 .
↑ 1 2 3 Zhuravlev VF Grundlæggende om teoretisk mekanik. - M . : Fizmatlit, 2001. - S. 70-71. — 319 s. — ISBN 5-95052-041-3 .
↑ Zhirnov N. I. Klassisk mekanik. — Serie: lærebog for studerende på fysik- og matematikfakulteter ved pædagogiske institutter. - M., Oplysning , 1980. - Oplag 28.000 eksemplarer. - Med. 262
↑ Husk, at kræfter kaldes potentiale, hvis det arbejde, de udfører, når de flytter et materielt punkt, kun bestemmes af punktets indledende og endelige positioner og ikke afhænger af valget af bane.
↑ Det vil sige, at der ikke er nogen dissipative kræfter .
↑ 1 2 Bugaenko G. A. , Malanin V. V. , Yakovlev V. I. Grundlæggende om klassisk mekanik. - M .: Højere skole, 1999. - S. 221-223. — ISBN 5-06-003587-5