Den enkleste mekanisme

Den enkleste mekanisme er en mekanisk enhed, der ændrer retningen eller størrelsen af en kraft . [2] Generelt kan de defineres som de enkleste værktøjer, der bruger mekanisk forstærkning (også kaldet gearing ) til at øge styrken. [3] Normalt refererer udtrykket til de seks klassiske simpleste mekanismer, som blev fundet af renæssanceforskere : [4] [5] [6]

Den enkleste mekanisme bruger én påført kraft til at arbejde mod én belastningskraft. Uden at tage højde for friktionstab er arbejdet udført på belastningen lig med arbejdet udført af den påførte kraft. Mekanismen kan øge kraftudgangen ved proportionalt at formindske den afstand, lasten tilbagelægger. Forholdet mellem udgangskraften og den påførte kraft kaldes den mekaniske forstærkning .

De enkleste mekanismer kan bruges til at opnå en gevinst i bevægelseshastigheden. I disse tilfælde er den bevægelige del forbundet med den lange ende af håndtaget (for eksempel transmitterer stemplet i en dampmotor i et damplokomotiv en stor kraft gennem plejlstangen til den korte arm på krumtappen, og som et resultat hjulfælgen får større hastighed), den frie ende af hejserne mv. og for at drive mekanismen er det nødvendigt at påføre en kraft et passende antal gange større end reaktionskraften. [7]

De simpleste maskiner kan opfattes som de elementære "byggeklodser", der udgør stadig mere komplekse maskiner (nogle gange kaldet "sammensatte maskiner" [8] [9] ). [3] [10] For eksempel bruges hjul, håndtag og blokke i mekanismen på en cykel . [11] [12] De mekaniske gevinster af en sammensat mekanisme er simpelthen produktet af de mekaniske gevinster af de enkleste mekanismer, som den er sammensat af.

Selvom de stadig er af stor betydning inden for mekanik og anvendt videnskab, har moderne mekanik bevæget sig ud over forestillingen om de enkleste mekanismer som de minimale byggesten, der udgør alle maskiner , som opstod under renæssancen som en neoklassisk forlængelse af antikke græske tekster. Disse seks kategorier beskriver ikke tilstrækkeligt den store variation og sofistikering af moderne mekaniske forbindelser, der opstod under den industrielle revolution . Forskellige forfattere efter renæssancen har udarbejdet udvidede lister over "primitive mekanismer", ofte ved at bruge udtryk som basismaskiner , [11] sammensatte maskiner [ 8] eller maskinelementer for at skelne dem fra de klassiske primitive mekanismer beskrevet ovenfor. I slutningen af 1800-tallet havde Franz Reuleaux [13] identificeret hundredvis af maskinelementer og kaldt dem simple maskiner . [14] Moderne maskinteori analyserer maskiner som kinematiske kæder bestående af elementære led kaldet kinematiske par .

Historie

Ideen om den enkleste mekanisme opstod hos den græske filosof Archimedes omkring det tredje århundrede f.Kr., som studerede arkimedeanske simpleste mekanismer: håndtaget, blokken og skruen . Han opdagede princippet om mekanisk forstærkning for håndtaget. [15] Arkimedes' berømte bemærkning om løftestangen: "Giv mig et sted at stå på, og jeg vil flytte jorden" ( græsk δῶς μοι πᾶ στῶ καὶ τὰν γᾶν κινά udtrykker ingen grænse for, at der ikke er nogen grænse for [16] ) transmissionskoefficienten, der kan opnås ved hjælp af mekanisk forstærkning. Senere græske filosoffer identificerede de klassiske fem enkleste mekanismer (med undtagelse af skråplanet ) og var i stand til at beregne deres (ideelle) mekaniske gevinst. [9] For eksempel opregner Hero of Alexandria (ca. 10-75 e.Kr.) i sit værk Mechanics fem mekanismer, der kan "sætte en last i bevægelse"; håndtag , ankerspil, blok , kile og skrue og beskriver deres fremstilling og anvendelse. Forståelsen af grækerne var imidlertid begrænset til statikken i de simpleste mekanismer (magtbalancen) og omfattede ikke dynamik , kompromiset mellem kraft og afstand eller begrebet arbejde .

Under renæssancen begyndte de mekaniske kræfters dynamik , som de simpleste maskiner blev kaldt, at blive overvejet i forhold til, hvor langt de kunne løfte en byrde, ud over den kraft, de kunne påføre, hvilket til sidst førte til det nye begreb om mekanisk arbejde . I 1586 opnåede den flamske ingeniør Simon Stevin den mekaniske fordel ved skråplanet, og det blev indbygget i andre simple maskiner. En komplet dynamisk teori om de simpleste mekanismer blev udviklet af den italienske videnskabsmand Galileo Galilei i 1600 i afhandlingen Le Meccaniche ( On Mechanics ), hvori han viste, at stigningen i kraft lå til grund for den matematiske lighed mellem disse mekanismer. [17] [18] Han var den første til at forklare, at de simpleste maskiner ikke skaber energi , men kun transformerer den.

De klassiske regler for glidende friktion i maskiner blev opdaget af Leonardo da Vinci (1452-1519), men de blev ikke offentliggjort og blot dokumenteret i hans notesbøger og var baseret på præ-newtonsk videnskab, såsom troen på friktion som en æterisk væske. De blev genopdaget af Guillaume Amonton (1699) og videreudviklet af Charles-Augustin de Coulomb (1785). [19]

Typer af de enkleste mekanismer

Det er sædvanligt at skelne mellem otte simple mekanismer, hvoraf fire er en variation af de to vigtigste:

Et skråplan er en simpel mekanisme i form af et plan sat i en spids vinkel i forhold til en vandret overflade.
- Kile - giver dig mulighed for at øge trykket på grund af kraftkoncentrationen i et lille område. Brugt i spyd , skovl , kugle osv.
- Skrue - bruges i skruer og til at løfte vand ( Archimedes skrue ), som boremaskine i bor mv.
Håndtag - beskrevet af Archimedes . Den bruges især til at løfte vægte, som afbrydere og udløsere ( plejlstang-krumtap - bruges i en væv, dampmaskine , forbrændingsmotorer ).
- Port - bruges til at løfte vand i brønde og til båndtransmission mv.
- Blok - et hjul med en rille, hvorigennem et reb, kabel eller kæde føres. Bruges til at ændre størrelsen eller retningen af en kraft.
Hjul bruges i køretøjer og gear . De tidligste fund af hjul findes på det moderne Rumæniens territorium (den neolitiske kultur i Cucuteni - Tripoli ) og dateres tilbage til den sidste fjerdedel af det 5. årtusinde f.Kr. e. [tyve]
Stempel - giver dig mulighed for at bruge energien fra ekspanderende opvarmede gasser eller damp . Anvendes især til skydevåben , forbrændingsmotoren og dampmaskinen .

Den ideelle enkle mekanisme

Hvis den enkleste mekanisme ikke spreder energi på grund af friktion, slid eller deformation, så bevares energien, og den kaldes den ideelle enkleste mekanisme. I dette tilfælde er den strøm, der leveres til maskinen, lig med udgangseffekten, og den mekaniske forstærkning kan beregnes ud fra dens geometriske dimensioner.

Selvom hver maskine fungerer mekanisk forskelligt, fungerer de matematisk på samme måde. [21] I hver maskine fører den kraft, der påføres enheden på et punkt, til udførelsen af arbejdet med at flytte lasten gennem kraften på et andet punkt. [22] Selvom nogle maskiner kun ændrer kraftens retning, såsom en fast blok, øger de fleste maskiner kraften med en faktor svarende til den mekaniske forstærkning. $F_{\text{i}}\,$ $F_{\text{out}}\,$

\mathrm {MA} =F_{\text{out}}/F_{\text{in}}\,

som kan beregnes ud fra maskingeometri og friktion.

De simpleste mekanismer indeholder ikke en energikilde [23] , så de kan ikke udføre mere arbejde, end de modtager fra den indkommende styrke. [22] Den enkleste mekanisme uden friktion og elasticitet kaldes den ideelle enkleste mekanisme . [24] [25] [26] På grund af bevarelsen af mekanisk energi i en ideel simpel mekanisme er udgangseffekten (energiens ændringshastighed) til enhver tid lig med effektindtaget $P_{\text{out}}\,$ $P_{\text{i}}\,$

P_{\text{out}}=P_{\text{in}}\!

Udgangseffekten er lig med belastningshastigheden ganget med belastningskraften . På samme måde er effekttilførslen fra en påført kraft lig med hastigheden af inputpunktet gange den påførte kraft . Følgelig, $v_{\text{out}}\,$ $P_{\text{out}}=F_{\text{out}}v_{\text{out}}\!$ $v_{\text{i}}\,$ $P_{\text{i}}=F_{\text{i}}v_{\text{i}}\!$

F_{\text{out}}v_{\text{out}}=F_{\text{in}}v_{\text{in}}\,

Så den mekaniske forstærkning af en ideel maskine er lig med forholdet mellem hastigheder , forholdet mellem inputhastighed og outputhastighed $\mathrm {MA} _{\text{ideal}}\,$

\mathrm {MA} _{\text{ideal}}={F_{\text{out}} \over F_{\text{in}}}={v_{\text{in}} \over v_ {\tekst{ud}}}\,

Forholdet mellem hastigheder er også lig med forholdet mellem tilbagelagte afstande i en given tidsperiode [27] [28] [29]

{v_{\text{out}} \over v_{\text{in}}}={d_{\text{out}} \over d_{\text{in}}}\,

Derfor er den mekaniske forstærkning af en ideel mekanisme også lig med forholdet mellem den tilbagelagte afstand ved indgangen og den tilbagelagte afstand ved udgangen.

$\mathrm {MA} _{\text{ideal}}={F_{\text{out}} \over F_{\text{in}}}={d_{\text{in}} \over d_ {\tekst{ud}}}\,$

Det kan beregnes ud fra mekanismens geometri. For eksempel er det mekaniske forstærknings- og afstandsforhold for et håndtag lig med forholdet mellem vægtstangsarme .

Den mekaniske forstærkning kan enten være større eller mindre end én:

Hvis udgangskraften er større end inputtet, fungerer maskinen som en forstærker, men den afstand, lasten tilbagelægger, er mindre end den tilbagelagte afstand af inputkraften . $\mathrm {MA} >1\,$ $d_{\text{out}}\,$ $d_{\text{i}}\,$
Hvis udgangskraften er mindre end inputkraften, men afstanden, lasten bevæger sig, er større end afstanden flyttet af inputkraften. $\mathrm {MA} <1\,$

For en propel , der bruger rotationsbevægelse, skal indgangskraften erstattes af moment og hastigheden med akslens vinkelhastighed .

Friktion og effektivitet

Alle rigtige maskiner er udsat for friktion, som spreder noget af indgangseffekten som varme. Hvis vi betegner kraften tabt til friktion på grund af loven om bevarelse af energi $P_{\text{fric}}\,$

P_{\text{in}}=P_{\text{out}}+P_{\text{fric}}\,

Den mekaniske effektivitet af en maskine (hvor ) er defineret som forholdet mellem udgangseffekt og inputeffekt og er et mål for energitab gennem friktion. $\eta \,$ $0<\eta \ <1$

\eta \equiv {P_{\text{out}} \over P_{\text{in}}}\,

P_{\text{out}}=\eta P_{\text{in}}\,

Som ovenfor er magt produktet af kraft og hastighed, så

F_{\text{out}}v_{\text{out}}=\eta F_{\text{in}}v_{\text{in}}\,

Følgelig,

$\mathrm {MA} ={F_{\text{out}} \over F_{\text{in}}}=\eta {v_{\text{in}} \over v_{\text{out} }}\,$

I ikke-ideelle maskiner er den mekaniske forstærkning således altid mindre end forholdet mellem hastighederne og koefficienten η . En mekanisme med friktion vil således ikke være i stand til at flytte en så stor belastning som den tilsvarende ideelle mekanisme ved brug af den samme indgangskraft.

Sammensatte mekanismer

En sammensat mekanisme er en maskine , der er sammensat af et sæt simple mekanismer, der er forbundet i serie, hvor udgangskraften fra den ene giver inputkraften til den næste. For eksempel består en bordskruestik af et håndtag (skruestikshåndtag) forbundet i serie med en skrue, mens et simpelt tandhjul består af en række tandhjul ( hjul og aksler ) forbundet i serie.

Den mekaniske top af en sammensat mekanisme er forholdet mellem udgangskraften påført til den sidste mekanisme i serien og inputkraften påført den første mekanisme, dvs.

\mathrm {MA} _{\text{compound}}={F_{\text{outN}} \over F_{\text{in1}}}\,

Da udgangskraften for hver mekanisme spiller rollen som en inputkraft for den næste , er denne mekaniske forstærkning også tilvejebragt af virkningen af hele kæden af mekanismer $F_{\text{out1))=F_{\text{in2)),\;F_{\text{out2))=F_{\text{in3)),\ldots \;F_{\text{ outK}}=F_{\text{inK+1}}$

\mathrm {MA} _{\text{compound}}={F_{\text{out1}} \over F_{\text{in1}}}{F_{\text{out2}} \over F_{ \text{in2}}}{F_{\text{out3}} \over F_{\text{in3}}}\ldots {F_{\text{outN}} \over F_{\text{inN}}}\ ,

Således er den mekaniske forstærkning af en sammensat mekanisme lig med produktet af de mekaniske forstærkninger af en række simple mekanismer, der danner den.

\mathrm {MA} _{\text{compound}}=\mathrm {MA} _{1}\mathrm {MA} _{2}\ldots \mathrm {MA} _{\text{N}} \,

På samme måde er effektiviteten af en sammensat mekanisme også produktet af effektiviteten af antallet af simple mekanismer, der udgør den.

\eta _{\text{forbindelse}}=\eta _{1}\eta _{2}\ldots \;\eta _{\text{N}}.\,

Selvlåsende mekanismer

I mange simple mekanismer, hvis belastningskraften F ud på mekanismen er stor nok i forhold til indgangskraften F in , så vil mekanismen bevæge sig bagud, mens belastningskraften vil skabe arbejde med den indkommende kraft. [30] Disse mekanismer kan således bruges i enhver retning, med drivkraften påført på ethvert punkt. For eksempel, hvis belastningskraften på håndtaget er stor nok, så vil håndtaget bevæge sig baglæns og flytte inputhåndtaget i den modsatte retning af inputkraften (overbalance). De kaldes " reversible " eller " ikke-blokerende " mekanismer.

Men i nogle mekanismer, hvis friktionskræfterne er store nok, kan ingen belastningskraft flytte dem tilbage, selvom indgangskraften er nul. Dette kaldes en "selvlåsende", "irreversibel" mekanisme . [30] Disse mekanismer kan kun sættes i gang af en inputkraft, og når inputkraften fjernes, vil de forblive ubevægelige, "låst" af friktion, uanset hvilken position de er stoppet i.

Selvlåsning forekommer hovedsageligt i mekanismer med store områder med glidende kontakt af bevægelige dele: skrue , skråplan og kile :

Det mest almindelige eksempel er en skrue. I de fleste propeller kan påføring af drejningsmoment på akslen få den til at rotere, flytte akslen lineært for at udføre arbejde mod belastningen, men ingen mængde af aksial belastning på akslen vil få den til at vende tilbage.
I et skråplan kan en last løftes op i planet ved hjælp af en lateral indgangskraft, men hvis planet ikke er for stejlt, og der er tilstrækkelig friktion mellem lasten og planet, så når indgangskraften fjernes, vil lasten forblive stationær og vil ikke glide på overfladen, uanset dens vægt. .
En kile kan slås ind i en træklods med en kraft for enden, såsom ved at slå den med en forhammer, skubbe blokken fra hinanden, men ingen mængde kompression fra trævæggene vil få den til at springe ud af blokken igen.

Maskinen vil være selvlåsende, hvis og kun hvis dens effektivitet η er under 50 %: [30]

\eta \equiv {\frac {F_{out}/F_{in}}{d_{in}/d_{out}}}<0.50\,

Hvorvidt en mekanisme vil være selvlåsende afhænger både af friktionskræfterne ( den statiske friktionskoefficient ) mellem dens dele og af afstandsforholdet d ind / ud (ideel mekanisk forstærkning). Hvis både friktionen og den ideelle mekaniske forstærkning er stor nok, så låser den sig selv.

Bevis

Når mekanismen bevæger sig i fremadgående retning fra punkt 1 til punkt 2, mens den indkommende kraft virker med belastningskraften, så vil input-arbejdet ud fra loven om energibevarelse [31] [32] være lig med summen af arbejdet udført med lastkraften og arbejdet tabt på grund af friktion $W_{\text{1,2}}\,$ $W_{\text{load}}\,$ $W_{\text{fric}}\,$

W_{\text{1,2}}=W_{\text{load}}+W_{\text{fric}}

Hvis effektiviteten er under 50 % $\eta =W_{\text{load}}/W_{\text{1,2}}<1/2\,$

2W_{\text{load}}<W_{\text{1,2}}\,

Fra Eq. en

2W_{\text{load}}<W_{\text{load}}+W_{\text{fric}}\,

W_{\text{load}}<W_{\text{fric}}\,

Når mekanismen bevæger sig tilbage fra punkt 2 til punkt 1, eller når belastningskraften virker på den indkommende kraft, går energi tabt på grund af friktion. . Tilsvarende $W_{\text{fric}}\,$

W_{\text{load}}=W_{\text{2,1}}+W_{\text{fric}}\,

Således output arbejde

W_{\text{2,1}}=W_{\text{load}}-W_{\text{fric}}<0\,

Mekanismen er således selvlåsende, fordi det arbejde, der spredes ved friktion, er større end det arbejde, som udføres af lastkraften, der flytter den bagud, selv i fravær af en indgangskraft.

Moderne mekanisme teori

Maskiner betragtes som mekaniske systemer, bestående af drev og simple mekanismer , der overfører kræfter og bevægelse, styret af sensorer og controllere. Komponenter af aktuatorer og mekanismer består af led og hængsler, der danner kinematiske kæder.

Kinematiske kæder

De enkleste mekanismer er elementære eksempler på kinematiske kæder , der bruges til at modellere mekaniske systemer lige fra dampmaskiner til robotarme. Lejerne, der danner armens akse og tillader hjulet, akslen og blokkene at rotere, er eksempler på et kinematisk par kaldet en svirvel. Ligeledes ville en flad overflade af et skrå plan og en kile være eksempler på et kinematisk par kaldet et glidende led. En skrue omtales normalt som sit eget kinematiske par, kaldet en spiralforbindelse.

To håndtag eller håndsving er kombineret til et fladt fire-stangs forbindelsessystem ved at fastgøre et håndtag , der forbinder udgangen af den ene håndsving til indgangen på den anden. Yderligere links kan vedhæftes for at danne et seks-link link eller i serier for at danne en robot. [25]

Klassifikation af mekanismer

Identifikationen af de enkleste mekanismer udspringer af ønsket om at skabe en systematisk metode til at opfinde nye maskiner. Et vigtigt spørgsmål er således, hvordan simple mekanismer kombineres for at skabe mere komplekse mekanismer. En tilgang er at forbinde simple mekanismer i serie for at opnå komplekse maskiner.

Imidlertid blev en mere vellykket idé præsenteret af Franz Reuleaux , som indsamlede og studerede over 800 elementære maskiner. Han indså, at håndtaget, remskiven, hjulet og akslen i virkeligheden er en og samme enhed: en krop, der roterer omkring et hængsel. På samme måde er et skråplan, en kile og en skrue en blok, der glider på en flad overflade. [33]

Denne implementering viser, at det er leddene eller leddene, der giver bevægelse, der er hovedelementerne i maskinen. Med udgangspunkt i de fire typer hængsler, drejeled , glideled , knastled og tandled samt tilhørende forbindelser som kabler og remme, kan en maskine forstås som en samling af solide dele, der forbinder disse led . [25]

Kinematisk syntese

Designet af mekanismer til at udføre den nødvendige bevægelse og overførsel af kraft er kendt som kinematisk syntese. Det er et sæt geometriske metoder til det mekaniske design af håndtag , knast- og drevne mekanismer, gear og gear .

Noter

↑ Chambers, Ephraim (1728), Table of Mechanicks , vol. 2, London, England, s. 528, plade 11
↑ Mekaniske videnskaber: ingeniørmekanik og materialers styrke , Prentice Hall of India
↑ 1 2 Understanding Physics , Barnes & Noble , < https://books.google.com/books?id=pSKvaLV6zkcC&q=Asimov+simple+machine&pg=PA88 > Arkiveret 14. januar 2022 på Wayback Machine
↑ Fysik for tekniske studerende: Mekanik og varme . - McGraw Hill. — S. 112.
↑ Mechanics , Encyclopaedia Britannica , vol. 3, John Donaldson, 1773, s. 44 , < https://books.google.com/books?id=Ow8UAAAAQAAJ&q=%22simple+machine%22+%22mechanical+powers%22+lever+screw+inclined+plane+wedge+wheel+pulley&pg=PA44 > . Hentet 5. april 2020. . Arkiveret 10. juli 2021 på Wayback Machine
↑ Academic Press Dictionary of Science and Technology . - Gulf Professional Publishing, 1992. - S. 1993. - ISBN 9780122004001 . Arkiveret 14. januar 2022 på Wayback Machine
↑ Landsberg G.S. Elementær lærebog i fysik. Bind 1. - M. , Nauka , 1964. - s. 162
↑ 1 2 Compound machines , University of Virginia Physics Department , < http://galileo.phys.virginia.edu/outreach/8thgradesol/compoundmachine.htm > Arkiveret 3. august 2019 på Wayback Machine
↑ 1 2 Usher, Abbott Payson. En historie om mekaniske opfindelser . - USA: Courier Dover Publications, 1988. - S. 98. - ISBN 978-0-486-25593-4 . Arkiveret 14. januar 2022 på Wayback Machine
↑ Wallenstein, Andrew. Fundamenter for kognitiv støtte: Mod abstrakte mønstre af nytte . Springer. Arkiveret fra originalen 2022-01-14 . Hentet 2020-12-08 . Forældet parameter brugt |deadlink=( hjælp )
↑ 1 2 Prater, Edward L. (1994), Basic machines , US Navy Naval Education and Training Professional Development and Technology Center, NAVEDTRA 14037 , < http://www.constructionknowledge.net/public_domain_documents/Div_1_General/Basic_Skills/Basic%20 %20NAVEDTRA%2014037%201994.pdf > Arkiveret 6. november 2020 på Wayback Machine
↑ US Navy Bureau of Naval Personnel (1971), Basic machines and how they work , Dover Publications , < http://www.webpal.org/SAFE/aaarecovery/5_simple_technology/basic_machines.pdf > Arkiveret 22. september 2016 på Wayback machine
↑ Reuleaux, F. (1963), The kinematics of machinery (oversat og kommenteret af ABW Kennedy) , genoptrykt af Dover
↑ Cornell University, Reuleaux Collection of Mechanisms and Machines ved Cornell University , Cornell University , < http://kmoddl.library.cornell.edu/rx_collection.php > Arkiveret 11. marts 2016 på Wayback Machine
↑ Chiu, YC (2010), An introduction to the History of Project Management , Delft: Eburon Academic Publishers, s. 42, ISBN 978-90-5972-437-2 , < https://books.google.com/books?id=osNrPO3ivZoC&q=%22heron+of+alexandria%22++load+motion&pg=PA42 > Arkiveret fra 14. januar 2022 på Wayback Machine
↑ Citeret af Pappus af Alexandria i Synagoge , bog VIII
↑ Krebs, Robert E. Banebrydende eksperimenter, opfindelser og opdagelser af middelalderen . - Greenwood Publishing Group, 2004. - S. 163. - ISBN 978-0-313-32433-8 . Arkiveret 28. maj 2013 på Wayback Machine
↑ Stephen, Donald. Hjul, ure og raketter: en teknologisk historie . - W. W. Norton & Company, 2001. - ISBN 978-0-393-32175-3 . Arkiveret 18. august 2016 på Wayback Machine
↑ Armstrong-Hélouvry, Brian. Styring af maskiner med friktion . - Springer, 1991. - S. 10. - ISBN 978-0-7923-9133-3 . Arkiveret 14. januar 2022 på Wayback Machine
↑ Hjulet blev ikke opfundet i østen. Arkiveret 12. december 2013 på Wayback Machine - Interview med. n. Med. Institut for historie af materiell kultur ved det russiske videnskabsakademi A. D. Rezepkin til avisen " Moskovsky Komsomolets ".
↑ Denne grundlæggende indsigt var emnet for Galileo Galileis værk fra 1600 Le Meccaniche (Om mekanik)
↑ 1 2 Bhatnagar, VP Et komplet kursus i certifikatfysik . - Indien : Pitambar Publishing, 1996. - S. 28–30. - ISBN 978-81-209-0868-0 . Arkiveret 14. januar 2022 på Wayback Machine
↑ Simmons, Ron. Opdage! Arbejde og maskiner / Ron Simmons, Cindy Barden. - USA: Milliken Publishing, 2008. - ISBN 978-1-4291-0947-5 .
↑ Gujral, IS Engineering Mechanics. - Firewall Media, 2005. - ISBN 978-81-7008-636-9 .
↑ 1 2 3 Uicker, Jr., John J.; Pennock, Gordon R. & Shigley, Joseph E. (2003), Theory of Machines and Mechanisms (tredje udgave), New York: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-515598-3
↑ Paul, Burton (1979), Kinematics and Dynamics of Planar Machinery , Prentice Hall, ISBN 978-0-13-516062-6
↑ Rao, S. Engineering Mechanics / S. Rao, R. Durgaiah. - Universities Press, 2005. - S. 80. - ISBN 978-81-7371-543-3 . Arkiveret 14. januar 2022 på Wayback Machine
↑ Goyal, MC Engineering Mechanics / MC Goyal, GS Raghuvanshee. - PHI Learning, 2011. - S. 212. - ISBN 978-81-203-4327-6 . Arkiveret 14. januar 2022 på Wayback Machine
↑ Avison, John. Fysikkens verden . - Nelson Thornes, 2014. - S. 110. - ISBN 978-0-17-438733-6 . Arkiveret 14. januar 2022 på Wayback Machine
↑ 1 2 3 Gujral, I.S. Engineering Mechanics . - Firewall Media, 2005. - S. 382. - ISBN 978-81-7008-636-9 . Arkiveret 30. september 2021 på Wayback Machine
↑ Rao, S. Engineering Mechanics / S. Rao, R. Durgaiah. - Universities Press, 2005. - S. 82. - ISBN 978-81-7371-543-3 . Arkiveret 14. januar 2022 på Wayback Machine
↑ Goyal, MC Engineering Mechanics / MC Goyal, GS Raghuvanshi. - PHI Learning Private Ltd., 2009. - S. 202. - ISBN 978-81-203-3789-3 . Arkiveret 15. januar 2022 på Wayback Machine
↑ Hartenberg, RS & J. Denavit (1964) Kinematisk syntese af koblinger Arkiveret 19. maj 2011 på Wayback Machine , New York: McGraw-Hill, onlinelink fra Cornell University .

Ordbøger og encyklopædier	Britannica (online) Universalis Granatæble
I bibliografiske kataloger	BNF : 13336090z J9U : 987007546249205171 LCCN : sh85122744 LNB : 000301032