Stolz' sætning

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 11. august 2021; verifikation kræver 1 redigering .

Stolz's sætning er en erklæring om matematisk analyse , i nogle tilfælde med til at finde grænsen for en sekvens af reelle tal . Sætningen er opkaldt efter den østrigske matematiker Otto Stolz , som offentliggjorde sit bevis i 1885 [1] . I sagens natur er Stolz' teorem en diskret analog af L'Hôpitals regel .

Ordlyd

Lad og være to sekvenser af reelle tal, desuden positive, ubegrænsede og strengt stigende (i det mindste begyndende fra et udtryk). Så hvis der er en grænse $a_n$ $b_n$ $b_n$

\lim \limits _{{n\to \infty }}{\frac {a_{n}-a_{{n-1}}}{b_{n}-b_{{n-1}}}}

så er der en grænse

\lim \limits _{{n\to \infty }}{\frac {a_{n}}{b_{n}}}

og disse grænser er lige store.

Bevis

Nedenfor er et bevis ifølge Fikhtengolts [2] , et andet bevis er givet i bogen af Arkhipov, Sadovnichy og Chubarikov [3] .

Lad os først antage, at grænsen er lig med et endeligt tal , så er der for et givet tal et sådant tal , der vil finde sted: $L$ $\varepsilon >0$ $N>0$ $n>N$

L-{\frac {\varepsilon }{2}}<{\frac {a_{n}-a_{{n-1}}}{b_{n}-b_{{n-1}}}}<L+ {\frac {\varepsilon }{2))

Så for enhver er alle brøker: $n>N$

{\frac {a_{{N+1}}-a_{N}}{b_{{N+1}}-b_{N}}},{\frac {a_{{N+2}}-a_{ {N+1}}}{b_{{N+2}}-b_{{N+1}}}},...,{\frac {a_{n}-a_{{n-1}}} {b_{n}-b_{{n-1}}}}

ligger mellem disse grænser. Da nævnerne af disse brøker er positive (på grund af den strengt stigende sekvens ), så er en brøk også indeholdt mellem de samme grænser ved mediantens egenskab: $b_n$

{\frac {a_{n}-a_{N}}{b_{n}-b_{N}}}

hvis tæller er summen af tællere af brøkerne skrevet ovenfor, og nævneren er summen af alle nævnerne. Så kl .: $n>N$

\left|{\frac {a_{n}-a_{N}}{b_{n}-b_{N}}}-L\right|<{\frac {\varepsilon }{2}}

Overvej nu følgende identitet (kan verificeres direkte):

{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-L={\frac {a_{N}-Lb_{N}}{b_{n}}}+\left(1-{\frac { b_{N}}{b_{n}}}\right)\left({\frac {a_{n}-a_{N}}{b_{n}-b_{N}}}-L\right)

hvorfra vi har

\left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-L\right|\leq \left|{\frac {a_{N}-Lb_{N}}{b_{n}}} \right|+\left|{\frac {a_{n}-a_{N}}{b_{n}-b_{N}}}-L\right|

Det andet led på bliver mindre end , det første led bliver også mindre end , ved , hvor er et eller andet tilstrækkeligt stort antal, på grund af det faktum, at . Hvis vi tager , så vil vi have $n>N$ ${\frac {\varepsilon }{2))$ ${\frac {\varepsilon }{2))$ $n>M$ $M$ $b_{n}\til +\infty$ $M>N$ $n>M$

\left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-L\right|<\varepsilon

hvilket beviser vores påstand.

Tilfældet med en uendelig grænse kan reduceres til en endelig. Lad for en bestemthed:

\lim \limits _{{n\to \infty }}{\frac {a_{n}-a_{{n-1}}}{b_{n}-b_{{n-1}}}}=+ \infty

det følger, at for tilstrækkeligt store : $n$

a_{n}-a_{{n-1}}>b_{n}-b_{{n-1}}

\lim \limits _{{n\to \infty }}a_{n}=+\infty

og rækkefølgen er strengt stigende (startende fra et vist antal). I dette tilfælde kan den beviste del af sætningen anvendes på den omvendte relation : $a_n$ ${b_{n} \over a_{n}}$

\lim \limits _{{n\to \infty }}{\frac {b_{n}}{a_{n}}}=\lim \limits _{{n\to \infty }}{\frac {b_ {n}-b_{{n-1}}}{a_{n}-a_{{n-1}}}}=0

hvoraf følger:

\lim \limits _{{n\to \infty }}{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=+\infty

Hvis grænsen er , så skal du overveje rækkefølgen . $-\infty$ $\{-a_{n}\}$

Konsekvens

En konsekvens af Stolz' sætning er regelmæssigheden af Ces'aro-summeringsmetoden . Det betyder, at hvis sekvensen konvergerer til tallet , så konvergerer sekvensen af aritmetiske midler til det samme tal. $a_n$ $-en$ ${\frac {a_{1}+\dots +a_{n}}{n}}$

Noter

↑ Otto Stolz. Vorlesungen über allgemeine Arithmetik: nach den Neueren Ansichten (tysk) . - Leipzig: Teubners, 1885. - S. 173-175.
↑ Fikhtengolts, 2003 .
↑ Arkhipov, Sadovnichy, Chubarikov, 1999 .

Litteratur

Fikhtengol'ts G. M. Forløb af differential- og integralregning. - M. : Fizmatlit, 2003. - T. 1. - S. 78-79.
Arkhipov G.I. , Sadovnichiy V.A. , Chubarikov V.N. Forelæsninger om matematisk analyse / Red. V. A. Sadovnichy. - M . : Højere skole , 1999. - S. 43-44. - ISBN 5-06-003596-4 .