Kontinuerlig visning

Kontinuerlig kortlægning ( kontinuerlig funktion ) er en kortlægning fra et rum til et andet, hvor tætte punkter i definitionsdomænet går til tætte punkter i værdiområdet.

Den mest generelle definition er formuleret for kortlægninger af topologiske rum : en kortlægning betragtes som kontinuerlig, hvis det omvendte billede af et åbent sæt er åbent. Kontinuiteten af kortlægninger af andre typer rum - metriske rum , normerede rum og lignende rum - er en direkte konsekvens af den generelle (topologiske) definition, men er formuleret ved hjælp af strukturer defineret i de tilsvarende rum - metrik , normer og så videre .

I matematisk analyse og kompleks analyse , hvor numeriske funktioner og deres generaliseringer til tilfældet med flerdimensionelle rum betragtes, introduceres kontinuiteten af en funktion i grænsernes sprog : sådanne definitioner af kontinuitet var historisk set de første og tjente som grundlag for dannelse af et generelt begreb.

Eksistensen af kontinuerlige afbildninger mellem rum gør det muligt at "overføre" egenskaberne af et rum til et andet: for eksempel er et kontinuerligt billede af et kompakt rum også kompakt.

En kontinuerlig kortlægning, der har en invers og også en kontinuerlig kortlægning, kaldes en homeomorfisme . Homeomorfisme genererer en ækvivalensrelation på klassen af topologiske rum ; rum, der er homøomorfe i forhold til hinanden, har de samme topologiske egenskaber, og de egenskaber i sig selv, der er bevaret under homeomorfismer, kaldes topologiske invarianter .

Definitioner

Den mest generelle definition er givet i topologi .

Kontinuitet i topologiske rum

En kortlægning fra et topologisk rum til et topologisk rum siges at være kontinuerlig , hvis det omvendte billede af et åbent sæt er åbent, dvs. $f\kolon X\til Y$ $(X,\mathcal{T}_X)$ $(Y,\mathcal{T}_Y)$

\forall V\in {\mathcal {T}}_{Y}\quad f^{{-1}}(V)\in {\mathcal {T}}_{X}

. Kontinuitet på underrum

Hvis vi betragter en delmængde af mængden , så induceres topologien på dette sæt på en naturlig måde , som består af alle mulige skæringer af sættet med de mængder, der er inkluderet i topologien . $EN$ $x$ ${\mathcal {T}}_{A}$ $EN$ ${\mathcal {T}}_{X}$

Et kort , der er kontinuert på sættet , vil være kontinuert på et hvilket som helst af dets undersæt i betydningen af topologien induceret på det. $f\kolon X\til Y$ $x$

Kontinuitet ved punkt

Kontinuitet på et punkt er formuleret i kvarterernes sprog og forbinder systemet af kvarterer i et punkt i definitionsdomænet med systemet af kvarterer i det tilsvarende punkt i værdidomænet.

En kortlægning kaldes kontinuert ved et punkt, hvis der for et hvilket som helst kvarter af punktet er et kvarter til punktet, således at . $f\kolon X\til Y$ $x$ $V$ $f(x)$ $U$ $x$ $f(U)\delmængde V$

En kortlægning er kontinuerlig på et sæt, hvis og kun hvis den er kontinuerlig på hvert punkt i det givne sæt. [en]

Hvis domænet for en funktion opfylder det første tællelighedsaksiom , især for metriske rum, er kontinuitet i et punkt ækvivalent med den såkaldte sekventielle kontinuitet: hvis , så . I det generelle tilfælde lukkes sekventielt kontinuerlige inverse billeder af sekventielt lukkede sæt sekventielt, hvilket er analogt med den ækvivalente definition af kontinuerlige afbildninger som dem, hvorunder de omvendte billeder af lukkede sæt er lukket. $\lim _{{n\to \infty }}x_{n}=x$ $\lim _{{n\to \infty }}f(x_{n})=f(x)$

Tilsvarende definitioner

Følgende udsagn er ækvivalente:

prototypen af hvert åbent sæt er åben;
det omvendte billede af ethvert lukket sæt er lukket;
det omvendte billede af hvert kvarter af et punkt i kortlægningsområdet er et kvarter af det tilsvarende punkt i definitionsdomænet;
billedet af lukningen af ethvert sæt er indeholdt i lukningen af billedet af dette sæt;
lukningen af forbilledet af ethvert sæt er indeholdt i forbilledet af lukningen.

Hver af disse formuleringer kan således bruges som en definition af kontinuiteten i en kortlægning.

Kontinuitet i metriske og normerede rum

I metriske rum er topologien givet af en familie af åbne kugler med forskellige "radii" defineret af en metrisk, så den generelle definition er formuleret i forhold til denne metriske (" epsilon-delta " definition):

En kortlægning fra et metrisk rum til et metrisk rum siges at være kontinuerligt på et punkt, hvis der for hver eksisterer sådan, at for hver sådan, at , gælder følgende ulighed: . $f\kolon X\til Y$ $(X,\rho _{X})$ $(Y,\rho _{Y})$ $-en$ $\varepsilon >0$ $\delta>0$ $x\i X$ $\rho _{X}(x,a)<\delta$ $\rho _{Y}(f(x),f(a))<\varepsilon$

For normerede lineære rum (herunder Hilbert og endelig -dimensionelle euklidiske rum) er metrikken givet af en norm, så den samme definition er givet i form af en norm.

Lad, være en kortlægning mellem normerede rum med normer og hhv. En funktion er kontinuert i et punkt , hvis der for et hvilket som helst tal eksisterer et tal , således at for alle punkter, således at uligheden gælder , $f\kolon {N_{1}}\til {N_{2}}$ $\|{*}\|_{1}$ $\|{*}\|_{2}$ $f$ $-en$ $\varepsilon >0$ $\delta>0$ $x\in N_{1}$ $\|xa\|_{1}<\delta$ $\|f(x)-f(a)\|_{2}<\varepsilon$

Metriske rum (og dermed normerede rum) opfylder det første aksiom for tællelighed, så denne definition svarer til definitionen af sekventiel kontinuitet.

Kontinuerlige funktioner (funktioner)

I tilfælde af en talakse er normen normalt modulet af tallet, så definitionen af kontinuiteten af det funktionelle (eller ), hvor er et vilkårligt topologisk rum , er som følger: $f:X\højrepil {\mathbb {R}}$ $\mathbb {C}$ $x$

En funktionel kaldes kontinuert på et punkt, hvis der for nogen er et kvarter til dette punkt, således at betingelsen er opfyldt . $f$ $a\i X$ $\varepsilon >0$ $\Sigma _{a}$ $\forall x\in \Sigma _{a}$ $|f(x)-f(a)|<\varepsilon$

Sættet af funktionaliteter (funktioner), der er kontinuerligt tændt , betegnes normalt med . Et særligt tilfælde af kontinuerte funktionaler er kontinuerte funktioner af et numerisk argument. $x$ $C(X)$

Kontinuerlig numerisk funktion

Lad (eller ). En funktion er kontinuert i et punkt, hvis der for et hvilket som helst tal er et tal , således at betingelsen indebærer for alle punkter . $f\colon {\mathbb {R}}\supset E\to {\mathbb {R}}$ $\mathbb {C}$ $f$ $-en$ $\varepsilon >0$ $\delta>0$ $x\i E$ $|xa|<\delta$ $|f(x)-f(a)|<\varepsilon$

Med andre ord er en funktion kontinuerlig ved et grænsepunkt for mængden , hvis den har en grænse på et givet punkt, og denne grænse falder sammen med værdien af funktionen på et givet punkt: $f$ $-en$ $E$

f\in C(\{a\})\Leftrightarrow \lim \limits _{{x\to a}}f(x)=f(a)

En funktion er kontinuerlig på et sæt, hvis den er kontinuert på hvert punkt i det givne sæt. I dette tilfælde siger de, at klassen fungerer og skriver: eller mere detaljeret, . $f$ $E$ $f$ $C^{0}$ $f\in C^{0}(E)$ $f\in C^{0}(E,\mathbb {R})$

Egenskaber for kontinuerlige kortlægninger

Det komplette forbillede af ethvert åbent (lukket) sæt under en kontinuerlig kortlægning er et åbent (lukket) sæt

Billedet af et kompakt sæt under en kontinuerlig mapping er et kompakt sæt .

En kontinuerlig numerisk funktion på et kompakt sæt er afgrænset og når sine øvre og nedre grænser . Denne egenskab følger af den forrige.

Billedet af et tilsluttet sæt under en kontinuerlig mapping er et forbundet sæt .

Tietzes sætning . Enhver kontinuerlig funktion med reel værdi defineret på en lukket delmængde af et normalt rum kan udvides til en kontinuerlig funktion på hele rummet.

Sammensætningen af kontinuerlige kortlægninger er også en kontinuerlig kortlægning.
Summen, forskellen og produktet af kontinuerlige funktioner med realværdi er kontinuerte.
Kontinuiteten af en lineær kortlægning fra et lineært topologisk rum til et andet indebærer dets afgrænsning. I tilfælde af normerede rum svarer kontinuiteten af en lineær afbildning til dens afgrænsning.
Stone-Weierstrass-sætningen (en generalisering af den klassiske Weierstrass-sætning ). Lad være et rum af kontinuerlige funktioner på et kompakt Hausdorff topologisk rum . Lade være en delmængde , der indeholder konstanter, lukket med hensyn til sammensætning og lineær kombination af funktioner, og også indeholdende grænserne for dens ensartet konvergerende sekvenser af funktioner. I dette tilfælde, hvis og kun hvis , eksisterer sådan, at . $C(X)$ $x$ $B(X)$ $C(X)$ $B(X)=C(X)$ $\foralt x_{1},x_{2}\i X$ $f\in B$ $f(x_{1})\ikke =f(x_{2})$

Relaterede definitioner

En homeomorfisme er en kontinuerlig en-til-en kortlægning fra et topologisk rum til et andet med også en kontinuerlig invers kortlægning.
Ensartet kontinuitet

Se også

Links

Matematiske etuder Arkiveret 18. oktober 2011 på Wayback Machine Cartoon om kontinuitet

Noter

↑ I matematisk analyse formuleres begrebet kontinuitet først lokalt , på et tidspunkt, og kontinuitet på et sæt er defineret som kontinuitet på hvert punkt i det givne sæt.

Litteratur

Kelly JL Kapitel 3. Produkter og faktorrum // Generel topologi = Generel topologi. - 2. udg. - M . : Nauka, 1981. - S. 119-151. — 438 s.