Elementære matrix transformationer

Elementære matrix transformationer

Elementære matrixtransformationer er de matrixtransformationer , der bevarer ækvivalensen af matricer. Elementære transformationer ændrer således ikke løsningssættet af systemet af lineære algebraiske ligninger , som denne matrix repræsenterer.

Elementære transformationer bruges i Gauss-metoden til at reducere en matrix til en trekantet eller trinformet form .

Definition

Elementære strengtransformationer kaldes:

permutation af to vilkårlige rækker af matrixen;
multiplikation af enhver række i matrixen med konstanten , , mens determinanten af matrixen øges med k gange; $k$ $k\neq 0$
tilføjelse til enhver række i matrixen i en anden række ganget med en konstant.

I nogle lineære algebrakurser skelnes permutationen af matrixrækker ikke som en separat elementær transformation på grund af det faktum, at permutationen af to matrixrækker kan opnås ved at gange en hvilken som helst række i matrixen med en konstant og lægge til en hvilken som helst række. af matricen en anden række ganget med konstanten . $k$ $k\neq 0$ $k$ $k\neq 0$

Elementære kolonnetransformationer er defineret på samme måde .

Elementære transformationer er reversible .

Betegnelsen angiver, at matrixen kan opnås ved elementære transformationer (eller omvendt). $A\sim B$ $EN$ $B$

Egenskaber

Rangeringsinvarians under elementære transformationer

Sætning (om ranginvarians under elementære transformationer).
Hvis , så .

A\sim B

\mathrm {rang} A=\mathrm {rang} B

Ækvivalens af SLAE under elementære transformationer

Lad os kalde elementære transformationer over systemet af lineære algebraiske ligninger :

permutation af ligninger;
at gange en ligning med en konstant, der ikke er nul;
tilføjelse af en ligning til en anden, ganget med en konstant.

Det vil sige elementære transformationer over dens udvidede matrix. Så er følgende udsagn sandt:

Sætning (om ækvivalens af ligningssystemer under elementære transformationer).
Systemet af lineære algebraiske ligninger opnået ved elementære transformationer over det oprindelige system svarer til det.

Husk, at to systemer siges at være ækvivalente, hvis deres løsningssæt er ens.

Find inverse matricer

Sætning (om at finde den inverse matrix).
Lad determinanten af matricen være ikke-nul, lad matrixen være defineret af udtrykket . Derefter, med en elementær transformation af rækkerne i matrixen til identitetsmatrixen i kompositionen , sker transformationen til samtidigt .

A_{{n\ gange n}}

B

{\displaystyle B=[A|E]_{n\ gange 2n))

EN

E

B

E

A^{{-1}}

Reduktion af matricer til trinvis form

Se artikel: Trinvis visning efter rækker

Lad os introducere begrebet trinmatricer: En matrix har en trinvis form, hvis:

EN

Alle nul-rækker i matricen er de sidste; $EN$
For enhver række, der ikke er nul i matrixen (lad, for bestemthed, dens tal være ), er følgende sandt: hvis er det første ikke-nul-element i rækken , så . $EN$ $k$ ${\displaystyle a_{kj))$ $k$ $\forall i,l:\;i>k,\;l\leq j\quad a_{il}=0$

Så er følgende udsagn sandt:

Sætning (om reduktion af matricer til en trinvis form).
Enhver matrix ved elementære transformationer kun over rækker kan reduceres til en trinvis form.

Relaterede definitioner

Elementær matrix. En matrix A er elementær, hvis multiplikation af en vilkårlig matrix B med den fører til elementære rækketransformationer i matrix B.

Litteratur

Ilyin V. A., Poznyak E. G. Lineær Algebra: En lærebog for gymnasier . - 6. udg., slettet. - M. : FIZMATLIT, 2004. - 280 s.