Shimura sort

En Shimura-manifold (nogle gange en Shimura -manifold ) er en analog af den modulære kurve i højere dimensioner, der opstår som en kvotient af et hermitisk symmetrisk rum af en kongruent undergruppe af den reduktive algebraiske gruppe defineret over Q . Udtrykket "Shimura-manifold" refererer til høje dimensioner, i tilfælde af en-dimensionelle manifold taler man om Shimura-kurver . Modulære Hilbert-overflader og modulære Siegel-manifolder er blandt de bedst kendte klasser af Shimura-manifolder.

Særlige tilfælde af Shimura-varianter blev introduceret af Goro Shimura i løbet af generaliseringen af teorien om kompleks multiplikation (modulære kurver). Shimura viste, at objekter, initialt defineret analytisk, er aritmetiske i den forstand, at de opfylder modeller defineret over et talfelt , refleksionsfeltet af en Shimura-manifold. I 1970'erne skabte Pierre Deligne en aksiomatisk ramme for Shimuras arbejde. Omtrent på samme tid bemærkede Robert Langlands , at Shimura-varianter udgør et naturligt domæne af eksempler, hvor ækvivalensen mellem motiviske og automorfe L-funktioner , postuleret i Langlands-programmet , kan verificeres. Automorfe former , som implementeret i Shimura-manifold-kohomologien, er mere tilgængelige at studere end de generelle automorfe former . Især er der en konstruktion, der knytter Galois-repræsentationer til dem .

Definition

Shimuras baggrund

Lad S = Res C / R G m være Weil-begrænsningen af den multiplikative gruppe fra komplekse tal til reelle tal . Det er en algebraisk gruppe, hvis gruppe af R - punkter er S ( R ) -C * , og gruppen af C - punkter er . Shimuras indledende data er et par ( G , X ) bestående af en reduktiv algebraisk gruppe G defineret over feltet Q af rationelle tal og en G ( R ) konjugationsklasse X af homomorfismer h : der opfylder følgende aksiomer: $\mathbf {C} ^{*}\times \mathbf {C} ^{*}$ $S\rightarrow G{\mathbf {R} }$

For enhver h fra X kan kun vægte (0,0), (1,−1), (−1,1) forekomme i g C , det vil sige, at den kompleksiserede Lie-algebra i gruppen G nedbrydes til en direkte sum

{\mathfrak {g}}\otimes \mathbb {C} ={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}^{+}\oplus {\mathfrak {p}}^{- },

hvor for enhver z ∈ S h ( z ) virker trivielt på den første led af summen og, gennem og ) på henholdsvis den anden og tredje led.

z/{\bar {z))

{\bar {z}}/z

Den konjugerede handling h( i ) genererer en Cartan-involution [ på den konjugerede gruppe af gruppen GR .
Konjugatgruppen for GR adlyder ikke faktoren H defineret over Q , så projektionen af h på H er triviel .

Disse aksiomer indebærer, at X har en unik (muligvis afbrudt) kompleks mangfoldig struktur , således at for enhver repræsentation er familien en holomorf familie af Hodge-strukturer . Desuden danner den en variation af Hodge-strukturen, og X er en endelig forening af (usammenhængende) Hermitian-symmetriske områder . $\rho :G_{\mathbf {R} }\rightarrow GL(V)$ $(V\rho \cdot h)$

Shimura sort

Lad A ƒ være adele-ringen i gruppen Q . For enhver tilstrækkelig lille kompakt åben undergruppe K af G ( A ƒ ) den dobbelte coset

Sh_{K}(G,X)=G(\mathbb {Q} )\backslash X\ gange G(\mathbb {A} _{f})/K

er en endelig forening af lokalt symmetriske mangfoldigheder af formen , hvor det hævede plus angiver en forbundet komponent . Varieteterne er komplekse algebraiske varianter og de danner et omvendt system over alle tilstrækkeligt små kompakte åbne undergrupper af K . Dette omvendte system ${\displaystyle \Gamma \smallsetminus X^{+))$ $Sh_{K}(G,X)$

(Sh_{K}(G,X))_{K}

adlyder naturlige rigtige handlinger . Det kaldes også Shimura-manifolden forbundet med de originale Shimura-data ( G , X ) og betegnes Sh ( G , X ). $G(\mathbf {A} _{f})$

Historie

For specielle typer af hermitiske-symmetriske domæner og kongruente undergrupper Γ blev den algebraiske variation af formen og dens komprimering introduceret i en række artikler af Goro Shimura i løbet af 1960'erne. Shimuras tilgang, senere præsenteret i hans monografier, var i høj grad fænomenologisk og forfulgte målet om en bred generalisering af formuleringen af gensidighedsloven for teorien om kompleks multiplikation (modulære kurver). Retrospektivt blev navnet "Shimura-manifold" opfundet af Deligne , som forsøgte at isolere de abstrakte egenskaber, der spiller en rolle i Shimuras teori. I Delignes formulering er Shimura-manifolderne domænet af parametre af en eller anden type Hodge-struktur . Derefter danner de en naturlig generalisering af højere-dimensionelle modulære kurver , der betragtes som modulrum af elliptiske kurver med en niveaustruktur. $\Gamma \smallsetminus X=Sh_{K}(G,X)$

Eksempler

Lad F være et helt reelt talfelt og D en divisionskvaternionalgebra over F . Den multiplikative gruppe D × genererer en Shimura kanonisk variant. Dens dimension d er antallet af uendelige steder, som D opdeles i. Især hvis d = 1 (f.eks. hvis F = Q og ), fikserer vi en tilstrækkelig lille aritmetisk undergruppe af gruppen D × , får vi Shimura-kurven, og kurverne, der stammer fra denne konstruktion, er allerede kompakte (det vil sige projektive ). $D\otimes \mathbf {R} \cong \mathrm {M} _{2}(\mathbf {R} )$

Nogle eksempler på kurver med kendte ligninger givet af lav slægt Hurwitz overflader :

Klein quartic (slægt 3)
Macbeath overflade (slægt 7)
Første Hurwitz-triplet (slægt 14)

og Fermat-kurven af grad 7 [1] .

Andre eksempler på Shimura manifolds omfatter Picard modulære overflader og Hilbert-Blumenthal manifolds .

Kanoniske modeller og specielle punkter

Enhver Shimura-variant, der kan defineres over et kanonisk talfelt E , kaldes et refleksionsfelt . Dette vigtige resultat, på grund af Shimura, viser, at Shimura-varianter, som a priori kun er komplekse varianter, har et algebraisk definitionsfelt og derfor har en aritmetisk værdi. Dette danner udgangspunktet i formuleringen af gensidighedsloven, hvor visse aritmetisk definerede særpunkter spiller en vigtig rolle .

Den kvalitative karakter af Zariski-lukningen af sæt af punkter på en Shimura-manifold er beskrevet af André-Oort-formodningen . Betingede resultater kan udledes af denne hypotese, baseret på den generaliserede Riemann-hypotese .

Rolle i Langlands-programmet

Shimura-manifolderne spiller en fremtrædende rolle i Langlands-programmet . Det følger af Eichler-Shimura kongruensrelationen , at Hasse-Weyl zeta-funktionen af en modulær kurve er produktet af L-funktioner forbundet med eksplicit definerede modulære former for vægt 2. Faktisk introducerede Goro Shimura sine varianter og beviste hans gensidighedslov i generalisering af denne sætning. Zeta-funktionerne af Shimura-varieteter forbundet med GL 2 -gruppen over andre talfelter og deres indre former (det vil sige de multiplikative grupper af quaternion-algebraer) blev studeret af Eichler, Shimura, Kuga, Sato og Ihara. Baseret på deres resultater forudsagde Robert Langlands , at Weyl zeta-funktionen af enhver algebraisk varietet W defineret over et talfelt skal være produktet af positive og negative potenser af automorfe L-funktioner, dvs. den skal opstå fra et sæt automorfe repræsentationer . Udsagn af denne type kan dog bevises, hvis W er en Shimura-sort. Ifølge Langlands:

Påstanden om, at alle L-funktioner forbundet med Shimura-varieteter, og derefter med ethvert motiv defineret af en Shimura-sort, kan udtrykkes i form af automorfe L-funktioner [af hans 1970-opgave] er svagere, endda meget svagere, end påstanden om, at alle motiviske L-funktioner er lig med sådanne L-funktioner. Men mens den strengere udsagn forventes at være sand, er der mig bekendt ingen god grund til at forvente, at alle motiviske L-funktioner er knyttet til Shimura-varianter.

Noter

↑ Elkis , afsnit 4.4 (s. 94-97) i Levy, 1999 .

Litteratur

Montserrat Alsina, Pilar Bayer. Kvaternionordener, kvadratiske former og Shimura-kurver. - Providence, RI: American Mathematical Society , 2004. - V. 22. - (CRM Monograph Series). — ISBN 0-8218-3359-6 .
Harmonisk analyse, sporformlen og Shimura-varianterne / James Arthur, David Ellwood, Robert Kottwitz. - AMS, 2005. - V. 4. - (Clay Mathematics Proceedings). — ISBN 978-0-8218-3844-0 .
Pierre Deligne . Travaux de Shimura // Séminaire Bourbaki, 23ème année 1970/71 Exp. ingen. 389 . - Springer, Berlin, 1971. - T. 244. - S. 123-165. — (Forelæsningsnotater i Math.).
Pierre Deligne . Variétés de Shimura: modulære fortolkninger og teknikker til konstruktion af kanoniske modeller // Automorfe former, repræsentationer og L-funktioner; Proc. Sympos. Pure Math., XXXIII (Corvallis, OR, 1977), del 2. - Providence, RI: Amer. Matematik. Soc., 1979, s. 247-289.
Pierre Deligne , James S. Milne, Arthur Ogus, Kuang-yen Shi. Hodge-cyklusser, motiver og Shimura-varianter. - Berlin-New York: Springer-Verlag, 1982. - T. 900. - P. ii + 414. — (Forelæsningsnotater i matematik). — ISBN 3-540-11174-3 .
Den ottefoldige vej / Silvio Levy. - Cambridge University Press , 1999. - V. 35. - (Mathematical Sciences Research Institute Publications). - ISBN 978-0-521-66066-2 .
Encyclopedia of Mathematics / Michiel Hazewinkel. - Springer Science+Business Media BV / Kluwer Academic Publishers, 2001. - ISBN 978-1-55608-010-4 .
Milne J. Shimura sorter og motiver // Motives , Proc. Symp. Pure Math, 55:2 / Jannsen U., Kleiman S.. Serre J.-P.. - Amer. Matematik. Soc, 1994, s. 447-523.
Milne JS Introduktion til Shimura-varianter . – 2004.
Harry Reimann. Den semi-simple zeta-funktion af kvaternioniske Shimura-varianter / Dold E., Takens F.. - New York, London, Paris, Tokio: Springer, 1997. - T. 1657. - (Lecture Notes in Mathematics). — ISBN 3-540-62645-X .
Goro Shimura . De samlede værker af Goro Shimura // . - 2003-2016. — V. 1–5.
Goro Shimura . Introduktion til aritmetisk teori om automorfe funktioner. - Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 1994. - V. 11. - (Publikationer af det matematiske samfund i Japan). - ISBN 0-691-08092-5 .