André-Oort-formodningen er et problem i talteorien , der generaliserer Manin-Mumford-formodningen . Den indledende version af formodningen blev fremsat af Yves André i 1989 [1] , og den mere generelle version blev fremsat af Frans Oort i 1995 [2] . Den moderne version er en generalisering af disse to hypoteser. Der er et bevis på formodningen offentliggjort i form af et fortryk.
Hypotesen i sin moderne form er som følger. Lad S være en Simura-variant, og lad V være sættet af specielle punkter i S. Så er de irreducerbare komponenter i Zariski-topologien i sættet V specielle undervarieteter.
Andrés første version af formodningen var simpelthen for endimensionelle Simura-varianter, mens Oort foreslog, at den skulle arbejde med moduli-rum-undervarieteter af hovedsageligt polariserede abelske varianter af dimension g .
Forskellige resultater er blevet sat i retning af at bevise den fulde formodning af blandt andre Ben Moonen, Yves André, Andrey Yafaev, Bas Edikshoven, Lauren Clausel og Emmanuel Ullmo. De fleste af disse resultater tyder på, at den generaliserede Riemann-hypotese er korrekt. Det største resultat, der ikke antager, at Riemann-hypotesen er sand, kom i 2009, da Jonathan Pyla brugte teknikken med o-minimal geometri og transcendental talteori til at bevise en formodning for vilkårlige produkter af modulære kurver [3] [4] , for hvilket han blev tildelt Clay Research Prize 2011 [5] .
I et fortryk fra 2021 leverede Jonathan Pila , Anant Shankar og Yakov Tsimerman et bevis på André-Oort-formodningen [6] .
Ligesom André-Oort-hypotesen kan ses som en generalisering af Manin-Mumford-hypotesen, kan André-Oort-hypotesen i sig selv generaliseres. En generalisering af Silbert-Pink betragtes normalt, som kombinerer generaliseringen af André-Oort-formodningen foreslået af Richard Pink [7] og formodningen af Boris Zilber [8] [9] .