Gruppehandling

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 15. april 2022; checks kræver 4 redigeringer .

En gruppes handling på et bestemt sæt af objekter gør det muligt at studere symmetrierne af disse objekter ved hjælp af gruppeteoriens apparat .

Definitioner

Handling tilbage

En gruppe siges at handle fra venstre på et sæt, hvis der er givet en homomorfi fra gruppen til den symmetriske gruppe af sættet . For kortheds skyld skrives det ofte som , eller . Gruppens elementer kaldes i dette tilfælde transformationer , og selve gruppen kaldes mængdetransformationsgruppen . $G$ $M$ $\Phi \colon G\til S(M)$ $G$ $S(M)$ $M$ $(\Phi (g))(m)$ $gm$ $g\cdot m$ $g{.}m$ $G$ $G$ $M$

Med andre ord handler gruppen fra venstre på sættet, hvis der er givet en mapping , betegnet med , sådan at $G$ $M$ $G\ gange M\ til M$ $(g,m)=gm$

$(gh)m=g(hm)$ for alle og $g,\;h\i G$ $m\in M$
$em=m$ , hvor er det neutrale element i gruppen . Vi kan sige, at gruppens enhed svarer til hvert element for sig; en sådan transformation kaldes identisk . $e$ $G$ $M$

Handling højre

Tilsvarende er den rigtige handling af en gruppe på givet af homomorfismen , hvor er den omvendte gruppe af gruppen . I dette tilfælde bruges forkortelsen ofte: . I dette tilfælde er homomorfi-aksiomer skrevet som følger: $G$ $M$ $\rho :G^{op}\to S(M)$ $G^{{op}}$ $G$ $\rho (g)(m)=:mg$

$m(gh)=(mg)h,$
$mig=m.$

Kommentarer

Enhver højrehandling af en gruppe er en venstrehandling . Da hver gruppe er isomorf i forhold til dens omvendte gruppe (for eksempel er kortlægning en isomorfi ), så er det fra hver højre handling muligt at opnå en venstre handling ved hjælp af en sådan isomorfi. Derfor studeres som regel kun venstrehandlinger. $G$ $G^{{op}}$ $g\mapsto g^{-1}$
Hvis et sæt er forsynet med en eller anden yderligere struktur, så antages det normalt, at kortlægningen bevarer denne struktur. $M$ $m\mapsto gm$
- For eksempel, hvis er et topologisk rum , så antages det at være kontinuerligt (derfor en homøomorfisme). En sådan gruppehandling kaldes mere præcist en kontinuerlig handling . $M$ $m\mapsto gm$

Handlingstyper

Gratis , hvis for en anden og enhver er tilfreds . $g,\;h\i G$ $m\in M$ $gm\neq hm$
Transitive hvis der for nogen eksisterer sådan at . Med andre ord er en handling transitiv, hvis for ethvert element . $m,\;n\i M$ $g\in G$ $gm=n$ $Gm=M$ $m\in M$
- En primitiv handling er transitiv og bevarer ikke ikke-trivielle delmængder . $M$
Effektiv , hvis der for to elementer findes sådan, at . $g\neq h$ $G$ $m\in M$ $gm\neq hm$
Fuldstændig diskontinuerlig, hvis mængden af alle , for hvilke krydset ikke er tom, for et hvilket som helst kompakt sæt er begrænset. $K$ $g\in G$ $K\cap gK$

På topologiske rum og glatte manifolder tages der også specielt hensyn til handlingerne fra grupper, der er udstyret med de tilsvarende yderligere strukturer: topologiske grupper og Lie-grupper . En handling af en topologisk gruppe på et topologisk rum siges at være kontinuert , hvis den er kontinuert som en kortlægning mellem topologiske rum. En jævn handling af en Lie-gruppe på en glat manifold er defineret på samme måde . $\rho :G\to \mathrm {X}$

En kontinuerlig handling af en gruppe på et rum er stiv (eller kvasi -analytisk ), hvis det faktum, at et element i gruppen fungerer som en identisk kortlægning på en åben delmængde af rummet, antyder, at dette er gruppens identitetselement.
- Enhver effektiv kontinuerlig handling af isometrier på en forbundet Riemannmanifold er nødvendigvis stiv, hvilket ikke kan siges om generelle metriske rum. For eksempel er handlingen af en cyklisk gruppe af orden 2 ved at permutere to kanter på en graf dannet af tre kanter, der kommer fra samme punkt, effektiv, men ikke stiv.
En kontinuerlig handling af en gruppe siges at være cocompact, hvis kvotientrummet ved denne handling er kompakt.

Baner

Undersæt

Gm=\{gm\mid g\in G\}\subset M

kaldes elementets kredsløb (nogle gange betegnet som ). $m\in M$ $\mathrm {Orb} (m)$

En gruppes handling på et sæt definerer en ækvivalensrelation på den $G$ $M$

\forall n,\;m\in M\;(n\,\sim _{_{G}}\,m)\Longleftrightarrow (\eksisterer g\i G\;:\;gn=m)\Longleftrightarrow ( Gn=Gm).

I dette tilfælde er ækvivalensklasserne grundstoffernes kredsløb. Derfor, hvis det samlede antal ækvivalensklasser er , så $k$

M=Gm_{1}\sqcup Gm_{2}\sqcup \ldots \sqcup Gm_{k},

hvor er parvis ulige. For en transitiv handling . $m_{1},\;m_{2},\;\ldots ,\;m_{k}\in M$ $k=1$

Stabilisatorer

Undersæt

G_{m}=\{g\in G\mid gm=m\}\subset G

er en undergruppe af gruppen og kaldes stabilisatoren , eller den stationære undergruppe af grundstoffet (nogle gange betegnet som ). $G$ $m\in M$ $\mathrm {Stab} (m)$

Stabilisatorerne af elementerne i en bane er konjugerede, det vil sige, hvis , så er der et element, sådan at $n\,\sim _{_{G}}\,m$ $g\in G$

G_{m}=gG_{n}g^{-1}.

Antal elementer i en bane

|Gm|=[G:G_{m}]

, er grundstoffets stabilisator og er indekset for undergruppen , i tilfælde af endelige grupper er det lig med .

G_{m}

m

[G:G_{m}]

G_{m}\delsæt G

{\frac {|G|}{|G_{m}|}}

Dimensionen af kredsløbet kan beregnes som følger:

\dim |Gm|=\dim |G|-\dim |G_{m}|

, hvor

$\dim |Gm|$ dimensionen af en individuel bane,

\dim |G_{m}|

dimension af stabilisatoren, dimension af Lie gruppen.

\dim |G|

Hvis , så $M=Gm_{1}\sqcup Gm_{2}\sqcup \ldots \sqcup Gm_{k}$

|M|=\sum _{t=1}^{k}[G:G_{m_{t}}]

er ekspansionsformlen til baner .

Denne formel indebærer også følgende identiteter:

$\forall m\in M\;\sum _{n\in Gm}|G_{n}|=|G|;$
$\sum _{m\in M}|G_{m}|=k|G|;$
Burnsides lemma .

Eksempler på handlinger

Selvhandlinger

Venstre

Handling på dig selv til venstre er det enkleste eksempel på handling. I dette tilfælde er homomorfi givet som . $M=G$ $\Phi :G\til S(G)$ $(\Phi (g))(h)=gh$

Højre

Handlingen på sig selv til højre er defineret på samme måde: . $(\Phi (g))(h)=hg^{-1}$

Venstre og højre

Disse to handlinger er handlinger af undergrupper af det direkte produkt på med homomorfi givet af . $G\ gange G$ $M=G$ $\Phi :G\ gange G\til S(G)$ $(\Phi (g_{1},\;g_{2}))(h)=g_{1}hg_{2}^{-1}$

Konjugationer

Lad , og homomorfismen gives som . Desuden falder stabilisatoren for hvert element sammen med centralisatoren : $M=G$ $\Phi :G\til S(G)$ $(\Phi (g))(h)=ghg^{-1}$ $h\in G$ $G_{h}$ $C(h)$

G_{h}=\{g\in G\mid ghg^{-1}=h\}=\{g\in G\mid gh=hg\}=C(h).

For eksempel, for et element fra midten af gruppen (dvs. ) har vi og . $h$ $G$ $h\in Z(G)$ $C(h)=G$ $G_{h}=G$

Variationer og generaliseringer

Transform Pseudogruppe

Se også

Gruppevisning

Litteratur

Vinberg, E. B. Algebrakursus . - 3. udg. - M . : Factorial Press Publishing House, 2002. - ISBN 5-88688-0607 . .
Kostrikin, A. I. Introduktion til algebra. Del III. Grundlæggende strukturer. - 3. udg. - M. : FIZMATLIT, 2004. - 272 s. - ISBN 5-9221-0489-6 . .