Fordelingsfunktion (statistisk fysik)

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 28. maj 2019; checks kræver 2 redigeringer .

Den statistiske fordelingsfunktion (fordelingsfunktion i statistisk fysik) er sandsynlighedstætheden i faserum . Et af de grundlæggende begreber i statistisk fysik . Kendskab til fordelingsfunktionen bestemmer fuldstændigt de probabilistiske egenskaber for det pågældende system.

Den mekaniske tilstand af ethvert system er entydigt bestemt af koordinaterne og momenta af dets partikler ( i=1,2,..., d ; d er antallet af frihedsgrader for systemet). Sættet af mængder og danner faserummet . ${\displaystyle q_{i))$ ${\displaystyle p_{i))$ ${\displaystyle q\equiv \left\{q_{i}\right\))$ ${\displaystyle p\equiv \left\{p_{i}\right\))$

Fuldfør statistisk distributionsfunktion

Sandsynligheden for at finde et system i et element i faserummet , med et punkt (q, p) indeni, er givet ved formlen: ${\displaystyle \mathrm {d} q\,\mathrm {d} p\equiv \prod \limits _{i}\mathrm {d} q_{i}\,\mathrm {d} p_{i))$

\mathrm {d} \omega =\rho \!\left(t,q,p\right)\mathrm {d} q\,\mathrm {d} p\qquad (1)

Funktionen kaldes den fulde statistiske fordelingsfunktion (eller blot fordelingsfunktionen). Faktisk repræsenterer det tætheden af at repræsentere punkter i faserummet. Funktionen opfylder normaliseringsbetingelsen : $\rho \!\left(t,q,p\right)$ $\rho \!\left(t,q,p\right)$

\int {\rho \!\left(t,q,p\right)\,\mathrm {d} q\,\mathrm {d} p}=1,\qquad (2)

og integralet overtages hele faserummet. I det tilfælde, der svarer til mekanik , er systemet i en bestemt mikroskopisk tilstand, det vil sige, at det har givet og , og derefter ${q}^{(0)}\equiv \left\{{q_{i}}^{(0)}\right\}$ ${p}^{(0)}\equiv \left\{{p_{i}}^{(0)}\right\}$

\rho \!\left(q,p\right)=\delta \!\left(qq^{(0)}\right)\,\delta \!\left(pp^{(0)} \ret),

hvor (δ er Dirac-funktionen ). Ud over sandsynligheden for selve forskellige mikroskopiske tilstande giver funktionen dig mulighed for at finde den gennemsnitlige statistiske værdi af enhver fysisk størrelse - en funktion af fasevariablerne q og p : $\delta \!\left(qq^{(0)}\right)\delta \!\left(pp^{(0)}\right)\equiv \prod \limits _{i}\delta \ !\left(q_{i}-{q_{i}}^{(0)}\right)\delta \!\left(p_{i}-{p_{i}}^{(0)}\right )$ $\rho \!\left(t,q,p\right)$ $F\!\left(t,q,p\right)$

\left\langle {\hat {F}}\right\rangle =\int ({\hat {F}}\,{\hat {\rho }}\,\mathrm {d} q\,\ matematik {d}p},

hvor "cap" betyder afhængigheden af fasevariabler, og parentesen er statistisk gennemsnit.

Lad os opdele systemet i små, men makroskopiske undersystemer. Det kan argumenteres for, at sådanne delsystemer er statistisk uafhængige på grund af deres svage interaktion med miljøet (kun partikler tæt på delsystemets grænse deltager i interaktion med miljøet; i tilfælde af et makroskopisk delsystem er deres antal lille i forhold til det samlede antal partikler). Den statistiske uafhængighed af delsystemer fører til følgende resultat for fordelingsfunktionen

\rho \!\left(t,q,p\right)=\prod \limits _{n}\rho ^{(n)}\!\!\left(t,q^{(n) },p^{(n)}\right)\qquad(3)

Indeks n refererer til det n'te delsystem. Hver af funktionerne kan betragtes som normaliseret i overensstemmelse med betingelse (2). I dette tilfælde vil funktionen også blive normaliseret automatisk . Begrebet statistisk uafhængighed er omtrentligt. Lighed (3) er til gengæld også omtrentlig: den tager ikke højde for korrelationerne mellem partikler, der tilhører forskellige delsystemer. Det er dog væsentligt, at korrelationerne under almindelige fysiske forhold hurtigt svækkes, når partikler (eller grupper af partikler) bevæger sig væk fra hinanden. Systemet har en karakteristisk parameter, korrelationsradius , uden for hvilken partiklerne opfører sig statistisk uafhængigt. I subsystemer med makroskopiske dimensioner ligger langt de fleste partikler i et subsystem uden for radius af korrelationer fra partikler fra et andet, og med hensyn til disse partikler er lighed (3) gyldig. $\rho ^{(n)}\!\left(t,q^{(n)},p^{(n)}\right)$ $\rho$

Matematisk er indstilling af den totale fordelingsfunktion ensbetydende med at indstille et uendeligt antal uafhængige størrelser - dens værdier på et kontinuum af punkter i faserummet af kolossal dimension 2d (for makroskopiske systemer d ~ , hvor er Avogadro-tallet ). $\rho \!\left(t,q,p\right)$ $N_A$ $N_A$

Ufuldstændig beskrivelse

I et mere realistisk tilfælde af ufuldstændig måling bliver sandsynligheden for værdier eller endda gennemsnitsværdierne for kun nogle fysiske størrelser kendt . Deres antal er normalt meget mindre end dimensionen af systemets faserum. Værdiers sandsynlighedsfordelingsfunktion er givet af ligheden ${\hat {A}}\equiv \left\{{\hat {A}}_{m}\right\}$ $\rho \!\left(A\right)$ $EN$

\rho \!\left(A\right)=\int {\mathrm {d} q\,\mathrm {d} p\,\delta \!\left(A-{\hat {A)) \right)\rho \!\left(q,p\right)},

hvor . Fordelingsfunktionen kan kaldes ufuldstændig. Det giver naturligvis mulighed for at finde sandsynligheden for værdierne af kun fysiske størrelser , hvis afhængighed af fasevariable realiseres gennem . For de samme værdier giver det dig mulighed for at finde gennemsnitsværdierne: $\delta \!\left(A-{\hat {A}}\right)\equiv \prod \limits _{m}\delta \!\left(A_{m}-{\hat {A} }_{m}\right)$ $\rho \!\left(A\right)$ ${\hat {f}}\equiv f\!\left({\hat {A}}\right)$ ${\hat {A}}$

\left\langle {\hat {f}}\right\rangle =\int {\mathrm {d} A\,f\!\left(A\right)\,\rho \!\left(A \ret)},

hvor og integration udføres over alle mulige værdier af . Selvfølgelig kunne gennemsnitsværdierne af mængderne findes ved hjælp af totalfordelingsfunktionen , hvis den var kendt. For funktionen såvel som for fuldfordelingsfunktionen er normaliseringsbetingelsen sand: ${\displaystyle \mathrm {d} A\equiv \prod \limits _{m}\mathrm {d} A_{m))$ $EN$ $\left\langle {\hat {f}}\right\rangle$ ${\hat {f))$ $\rho \!\left(t,q,p\right)$ $\rho \!\left(A\right)$

\int {\mathrm {d} A\,\rho \!\left(A\right)}=1

Beskrivelsen af et system, der bruger en funktion , kaldes en ufuldstændig beskrivelse. Specifikke eksempler er beskrivelsen ved hjælp af fordelingsfunktionen af koordinaterne og momenta af individuelle partikler i systemet eller beskrivelsen ved hjælp af gennemsnitsværdierne af masserne , momenta og energier af individuelle delsystemer i hele systemet. $\rho \!\left(A\right)$

Tidsudvikling af distributionsfunktionen

Tidsudviklingen af fordelingsfunktionen adlyder Liouville-ligningen :

{\frac {\partial {\hat {\rho ))\!\left(t\right)}{\partial t))+i\,L_{t}\,{\hat {\rho } }\!\left(t\right)=0,\qquad(4)

hvor er Liouville-operatøren, der handler i rummet af fasefunktioner: ${\displaystyle L_{t))$

L_{t}\,\cdot \equiv -i\left\({\hat {H))_{t},\cdot \right\}\equiv -i\sum \limits _{j}\ venstre({\frac {\partial {\hat {H}}_{t}}{\partial p_{j}}}{\frac {\partial }{\partial q_{j}}}-{\frac { \partial {\hat {H}}_{t}}{\partial q_{j}}}{\frac {\partial }{\partial p_{j}}}\right)

${\hat {H}}_{t}$ er systemets Hamilton-funktion . I det tilfælde, hvor Liouville-operatøren ikke er afhængig af tid ( ), har løsningen til ligning (4) formen $L_{t}=L$

{\hat {\rho }}\!\left(t\right)=e^{-itL}{\hat {\rho }}\!\left(0\right)\qquad (5)

For at bruge (5) til faktisk at konstruere en løsning, skal man kende operatørens egenfunktioner og egenværdier . ${\displaystyle {\hat {\psi }}^{(n)))$ $L^{(n)}$ $L$

Ved at bruge fuldstændighed og ortonormalitet skriver vi: ${\displaystyle {\hat {\psi }}^{(n)))$

{\displaystyle {\hat {\rho }}\!\left(0\right)=\sum \limits _{n}c_{n}{\hat {\psi }}^{(n)))

hvor ( spektret antages at være diskret). Som et resultat får vi $c_{n}=\left({\hat {\psi }}^{(n)},{\hat {\rho }}\!\left(0\right)\right)$

{\displaystyle {\hat {\rho }}\!\left(t\right)=\sum \limits _{n}e^{-i\cdot t\cdot L^{(n)))c_{n }\,{\hat {\psi }}^{(n)))

Se også

Delfordelingsfunktion

Litteratur

Gibbs J. V. "Basic Principles of Statistical Mechanics" - M. - L., 1946. // Genoptrykt: Publishing House "Regular and Chaotic Dynamics", 2002. - 204 s. ISBN 5-93972-127-3 .
Balescu R. Ligevægt og ikke-ligevægt statistisk mekanik. I to bind. — M.: Mir, 1978.
Berezin F. A. Forelæsninger om statistisk fysik. - Moskva - Izhevsk: Institut. computerforskning, 2002. - 192s. (2. udg., Rev. Forlag: MTSNMO, 2008. - 200 s. ISBN 978-5-94057-352-4 )
Bogolyubov NN Problemer med dynamisk teori i statistisk fysik. — M. — L.: OGIZ. Gostekhizdat , 1946.
Bogolyubov NN Udvalgte værker om statistisk fysik . - M .: Forlag ved Moscow State University, 1979.
Bogolyubov N. N. Samling af videnskabelige værker. I 12 bind. Vol. 5: Nonequilibrium Statistical Mechanics, 1939-1980. — M.: Nauka, 2006. ISBN 5020341428 .
Vlasov AA Ikke- lokal statistisk mekanik . — M.: Nauka, 1978.
Zubarev D. N. , Morozov V. G., Repke G. Statistisk mekanik af ikke-ligevægtsprocesser. Bind 1. - M .: Fizmatlit , 2002. - 432 s. ISBN 5-9221-0211-7 , ISBN 5-9221-0210-9 .
Prigogine I. Statistisk mekanik uden ligevægt . - Forlag: Redaktionel URSS, 2005. - 312 s. ISBN 5-354-01004-7
Khinchin A. Ya. Matematiske grundlag for statistisk mekanik. - Publishing House: Regular and Chaotic Dynamics, 2003. - 128s. ISBN 5-93972-273-3
Ruel D. Statistisk mekanik. Strenge resultater . — M.: Mir, 1971. — 368s.
Krylov NS Arbejder med at underbygge statistisk fysik . - M.-L .: Fra USSR's Videnskabsakademi, 1950.
Kubo R. Statistisk mekanik. — M.: Mir, 1967.
Landau L. D. , Lifshitz E. M. Statistisk fysik. Del 1. - (" Teoretisk fysik ", bind V).
Terletsky Ya. P. Statistisk fysik. (2. udg.). - M .: Højere skole, 1973.
Uhlenbeck J. , Ford J. Forelæsninger om statistisk mekanik. — M.: Mir, 1965.]
Huang K. Statistisk mekanik . — M.: Mir, 1966.

Ordbøger og encyklopædier	Stor russer Britannica (online)