Punktkinematik

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 8. oktober 2021; checks kræver 7 redigeringer .

Kinematik af et punkt er en sektion af kinematik , der studerer den mekaniske bevægelse af materielle punkter .

Kinematikens hovedopgave er beskrivelsen af bevægelse ved hjælp af et matematisk apparat uden at analysere årsagerne til denne bevægelse; de betragtes af dynamikken , især dynamikken i et punkt .

Da enhver bevægelse er et relativt begreb og kun har indhold, når det specificeres, hvilke kroppe det pågældende objekt bevæger sig i forhold til, studeres bevægelsen af ethvert objekt i kinematik med hensyn til en referenceramme , herunder:

referenceorgan;
et system til måling af en krops position i rummet ( koordinatsystem );
et instrument til måling af tid ( ur ).

Et punkts position bestemmes af radiusvektoren , som fuldt ud beskriver dets position i den valgte referenceramme. Den mest visuelle repræsentation af radiusvektoren kan opnås i det euklidiske koordinatsystem , da grundlaget i det er fast og fælles for enhver position af kroppen. ${\vec {r}}(t)$

Grundlæggende begreber

Et materialepunkt er et legeme, hvis dimensioner kan forsømmes i sammenligning med de karakteristiske afstande for et givet problem. Så Jorden kan betragtes som et Material Point (M.P.), når man studerer dens bevægelse omkring Solen, en kugle kan betragtes som M.P., når den bevæger sig i Jordens tyngdefelt, men kan ikke betragtes som sådan, når dens rotationsbevægelse i riffelløbet er taget i betragtning. Med translationel bevægelse kan man i en række tilfælde ved hjælp af begrebet MT også beskrive en ændring i større objekters position. Så for eksempel kan et lokomotiv, der passerer en afstand på 1 meter, betragtes som M.T., da dets orientering i forhold til koordinatsystemet under bevægelse er fast og ikke påvirker formuleringen og løsningen af problemet.

Radiusvektor - en vektor, der bestemmer positionen af et materialepunkt i rummet:. Her er koordinaterne for radiusvektoren. Geometrisk repræsenteret af en vektor tegnet fra oprindelsen til et materialepunkt. Radiusvektorens (eller dens koordinater) afhængighed af tidkaldes bevægelsesloven . ${\vec {r}}=\{r_{1},r_{2},...,r_{n}}\}$ ${\displaystyle r_{1},r_{2},...,r_{n))$ $r_{i}=r_{i}(t)$ ${\vec {r}}={\vec {r}}(t)$

Bane - Hodograf af radiusvektoren, det vil sige - en imaginær linje beskrevet af slutningen af radiusvektoren i bevægelsesprocessen. Med andre ord er en bane en linje, langs hvilken et materielt punkt bevæger sig. I dette tilfælde fungerer bevægelsesloven som en ligning, der definerer banen parametrisk. Længden af baneafsnittet mellem de indledende og sidste øjeblikke af tid kaldes ofte den tilbagelagte afstand, længden af stien eller vulgært - stien og er betegnet med bogstavet. Med en sådan beskrivelse af bevægelsefungerer den som en generaliseret koordinat , og bevægelseslovene er i dette tilfælde skrevet i formog ligner de tilsvarende love for koordinater. $S$ $S$ $S=S(t)$

Beskrivelse af bevægelse ved hjælp af begrebet en bane er et af nøglemomenterne i klassisk mekanik . I kvantemekanikken har bevægelse en banefri karakter, hvilket betyder, at selve begrebet en bane mister sin betydning.

Grundlæggende kinematiske størrelser

Forskydning er en vektorfysisk størrelse svarende til forskellen mellem radiusvektorerne ved det sidste og indledende tidspunkt:

\Delta {\vec {r}}(t_{2},t_{1})={\vec {r}}(t_{2})-{\vec {r}}(t_{1} )

Med andre ord er forskydning en stigning af radiusvektoren over en valgt tidsperiode.

Gennemsnitshastigheden er en vektorfysisk størrelse svarende til forholdet mellem forskydningsvektoren og det tidsinterval, hvor denne bevægelse finder sted:

{\vec {v}}_{cp}(t_{1},t_{2})={\frac {\Delta {\vec {r}}}{\Delta t}}={\frac {{\vec {r}}(t_{2})-{\vec {r}}(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}

Den gennemsnitlige kørehastighed er en skalar fysisk størrelse svarende til forholdet mellem forskydningsvektormodulet og det tidsinterval, hvor denne bevægelse finder sted, som regel giver det mening, når man beskriver bevægelse med : ${\vec {r}}(t_{2})={\vec {r}}(t_{1})$

{\vec {v}}_{cp\,S}(t_{1},t_{2})={\frac {\Delta |{\vec {r}}|}{\Delta t} }={\frac {|{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}|}{t_{2}-t_{1}}}

Øjeblikkelig hastighed er en vektorfysisk størrelse svarende til den første afledede af radiusvektoren med hensyn til tid:

{\vec {v}}(t)={\frac {d{\vec {r}}(t)}{dt}}\equiv {\dot {\vec {r}}}(t)

Karakteriserer bevægelseshastigheden af et materialepunkt. Den øjeblikkelige hastighed kan defineres som grænsen for gennemsnitshastigheden, da det tidsinterval, hvorpå den beregnes, har en tendens til nul:

{\vec {v}}(t_{1})=\lim _{t_{2}\højrepil t_{1}}{\vec {v}}_{cp}(t_{1},t_ {2})=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta {\vec {r}}(t)}{\Delta t}}

Hastighedsenheden i SI -systemet er m/s , i CGS -systemet er det cm/s. Den øjeblikkelige hastighed er altid rettet tangentielt til banen.

Øjeblikkelig acceleration er en vektorfysisk størrelse svarende til den anden afledede af radiusvektoren med hensyn til tid og følgelig den første afledede af den øjeblikkelige hastighed i forhold til tid:

{\vec {a}}(t)={\frac {d{\vec {v}}(t)}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {r} }(t)}{dt^{2}}}

Karakteriserer hastigheden af ændring af hastighed. Enheden for acceleration i SI-systemet er m/s², i CGS-systemet er det cm/s².

Beskrivelse i kartesiske koordinater

Da basisvektorerne ( ) i dette koordinatsystem er ortonormale og ikke afhænger af tid, kan bevægelsesloven skrives som følger: ${\vec e}_{i}$

{\vec {r}}(t)=x(t){\vec {e}}_{x}+y(t){\vec {e}}_{y}+z(t) {\vec {e}}_{z}

Punkthastighed:

{\vec {v}}(t)={\dot {x}}(t){\vec {e}}_{x}+{\dot {y}}(t){\vec { e}}_{y}+{\dot {z}}(t){\vec {e}}_{z}={\vec {v}}_{x}+{\vec {v}}_ {y}+{\vec {v}}_{z}

Hastighedsmodulet kan findes:

v={\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}}}={\frac {ds}{dt}}

, hvor er banedifferensen .

ds

Acceleration er defineret på samme måde:

{\vec {a}}(t)={\ddot {x}}{\vec {e}}_{x}+{\ddot {y}}{\vec {e}}_{y }+{\ddot {z}}{\vec {e}}_{z}

a={\sqrt {{\ddot {x}}^{2}+{\ddot {y}}^{2}+{\ddot {z}}^{2}}}

Andre koordinatsystemer

Ganske ofte viser det sig at være praktisk at bruge ikke kartesiske, men andre koordinatsystemer.

Polære koordinater

Beskrivelsen af bevægelsen udføres i et fly. Punktets position bestemmes af afstanden fra origo og polarvinklen , målt fra en fast akse. Som grundlag introduceres en enhedsvektor , rettet fra origo til det bevægelige punkt, og en enhedsvektor vinkelret på den første i retningen af stigende vinkel (denne retning kaldes transversal). $r$ $\varphi$ ${\vec {e}}_{r}$ ${\vec {e}}_{\varphi }$ $\varphi$

Forbindelsen med det kartesiske system kan udtrykkes som følger: [1] . ${\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{r}\\{\vec {e}}_{\varphi }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \ varphi &\sin \varphi \\-\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{x}\\{\vec {e}} _{y}\end{pmatrix}}$

Tidsafledte basisvektorer: ${\dot {\vec {e}}}_{r}={\dot {\varphi }}{\vec {e}}_{\varphi },\;{\dot {\vec {e ))_{\varphi }=-{\dot {\varphi }}{\vec {e}}_{r}$

Hvor er bevægelsesligningerne:

{\vec {r}}(t)=r(t){\vec {e}}_{r}

{\vec {v}}(t)={\dot {r}}(t){\vec {e}}_{r}+r(t){\dot {\varphi }}(t ){\vec {e}}_{\varphi }

{\vec {a}}=[{\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}]{\vec {e}}_{r}+[2{\ prik {r}}{\dot {\varphi }}+r{\ddot {\varphi }}]{\vec {e}}_{\varphi }

Cylindriske koordinater

I et cylindrisk koordinatsystem forenkles problemer med aksial symmetri .

Til grundlag

{\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{r}\\{\vec {e}}_{\varphi }\\{\vec {e}}_{z}\end{ pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \varphi &\sin \varphi &0\\-\sin \varphi &\cos \varphi &0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\ vec {e}}_{x}\\{\vec {e}}_{y}\\{\vec {e}}_{z}\end{pmatrix}}

Bevægelsesligninger

{\vec {r}}=r{\vec {e}}_{r}+z{\vec {e}}_{z}

{\vec {v}}={\dot {r}}{\vec {e}}_{r}+r{\dot {\varphi }}{\vec {e}}_{\varphi }+{\dot {z}}{\vec {e}}_{z}

{\vec {a}}=[{\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}]{\vec {e}}_{r}+[2{\ prik {r}}{\dot {\varphi }}+r{\ddot {\varphi }}]{\vec {e}}_{\varphi}+{\ddot {z}}{\vec {e} }_{z}

Sfæriske koordinater

Til grundlag

{\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{r}\\{\vec {e}}_{\varphi }\\{\vec {e}}_{\theta}\end {pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\sin \theta \sin \varphi &\cos \theta \\-\sin \varphi &\cos \varphi &0\\\cos \theta \cos \varphi &\cos \theta \sin \varphi &-\sin \theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{x}\\{\vec { e}}_{y}\\{\vec {e}}_{z}\end{pmatrix}}

Bevægelsesligninger

{\vec {r}}=r{\vec {e}}_{r}

{\vec {v}}={\dot {r}}{\vec {e}}_{r}+r{\dot {\varphi }}\sin \theta {\vec {e}} _{\varphi }+r{\dot {\theta }}{\vec {e}}_{\theta }

{\vec {a}}=[{\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}\sin ^{2}\theta -r{\dot {\theta } }^{2}]{\vec {e}}_{r}+[(r{\ddot {\varphi }}+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }})\sin \ theta +2r{\dot {\varphi }}{\dot {\theta }}\cos \theta ]{\vec {e}}_{\varphi }+[2{\dot {r}}{\dot { \theta }}-r{\dot {\varphi }}^{2}\sin \theta \cos \theta +r{\ddot {\theta }}]{\vec {e}}_{\theta }

Tilknyttet grundlag

Ved beskrivelse i det kommende koordinatsystem tages der hensyn til tre på hinanden følgende punkter i banen . I grænsen af lillehed giver de to første en tangent til banen, mens alle tre giver en krumningscirkel, der ligger i det øjeblikkelige bevægelsesplan (det sammenhængende plan). Grundlaget er valgt som følger: ${\displaystyle K_{1},K_{2},K_{3))$

{\vec {e}}_{\tau }={\vec {v}}/v

er enhedsvektoren, der tangerer banen;

{\vec {e}}_{n}

er en enhedsvektor, der ligger i et sammenhængende plan, vinkelret på vektoren og rettet mod banens konkavitet (langs hovednormalen);

{\vec {e}}_{\tau }

{\vec {e}}_{\beta }=[{\vec {e}}_{\tau }\times {\vec {e}}_{n}]

(binormal vektor).

Acceleration er således , hvor , og , er den øjeblikkelige krumningsradius . ${\vec {a}}(t)=a_{n}(t){\vec {e}}_{n}+a_{\tau }(t){\vec {e}}_{ \tau}$ ${\vec {a}}_{\tau }={\dot {v}}$ ${\vec {a}}_{n}={\frac {v^{2}}{R_{k}}}$ $R_k$

I tilfælde af bevægelse i en cirkel kaldes normal acceleration centripetal . Som det kan ses af den foregående formel, når man bevæger sig langs en cirkel med konstant hastighed, er den normale acceleration konstant i absolut værdi og rettet mod midten af cirklen.

Værdien kaldes tangentiel acceleration og karakteriserer størrelsen af ændringen i hastighedsmodulet: $a_{\tau }$

Galilæiske transformationer

I tilfælde af ikke-relativistiske hastigheder (hastigheder meget lavere end lysets hastighed ) udføres overgangen fra en IFR til en anden ved hjælp af galileiske transformationer :

Hvis IFR bevæger sig i forhold til IFR med en konstant hastighed langs aksen , og oprindelsen falder sammen på det indledende tidspunkt i begge systemer, så har de galileiske transformationer formen: $S'$ $S$ $u$ $x$

x'=x-ut,

y'=y,

z'=z,

t'=t

I tilfælde af en vilkårlig retning af koordinatakserne er vektorrepræsentationen af Galileo-transformationerne gyldig:

{\vec {r'}}={\vec {r}}-{\vec {u}}t,

t'=t

Hvis bevægelsen sker med en hastighed, der kan sammenlignes med lysets hastighed, bør Lorentz-transformationer anvendes .

Eksempler på bevægelse

Ensartet retlinet

I dette tilfælde , hvorfra følger bevægelsesloven . ${\vec {a}}=0$ ${\vec {v}}=const$ ${\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}t$

Ensartet accelereret retlinet

Når aksen er rettet langs forskydningslinjen, opnås loven om ensartet accelereret bevægelse ved at løse den enkleste differentialligning af formen: $x$

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=a=const

Dobbelt integration over tid fører til formlen:

x(t)=C_{1}+C_{2}t+{\frac {at^{2}}{2}}\;\Leftrightarrow \;x_{0}+v_{0}t+{\ frac {at^{2}}{2}}

;

Her , og er vilkårlige konstanter svarende til den indledende koordinat og begyndelseshastigheden. $C_{1}$ $C_{2}$

Hvis bevægelsen er begrænset i tid, og den endelige hastighed er kendt , er beregningsformlen gyldig: $v_{k}$

S={\frac {v_{k}^{2}-v_{0}^{2}}{2a}}

Bevægelse med konstant acceleration kaldes ensartet accelereret . Hvis lov for en vilkårlig retning af akserne: ${\vec {a}}(t)=const$

{\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{0}(t)+{\vec {v_{0}}}t+{\frac {{\vec {a} }t^{2}}{2}}

;

{\vec {v}}(t)={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}t

I dette tilfælde har bevægelsesligningerne i koordinatformen en lignende form:

x(t)=x_{0}(t)+{v_{x_{0}}}t+{\frac {a_{x}t^{2}}{2}}

;

v_{x}(t)=v_{x_{0}}+a_{x}t

I dette tilfælde taler man ofte om ensartet accelereret bevægelse , hvis tegnene og sammenfalder, og om ensartet langsom bevægelse , hvis og har modsatte fortegn. I dette tilfælde afhænger tegnet for hver af mængderne af referencesystemets oprindelige valg. ${\displaystyle a_{x))$ $v_{x}(t)$ ${\displaystyle a_{x))$ $v_{x}(t)$

Uniform rundt om omkredsen

Det er praktisk at overveje problemet i det medfølgende grundlag. Accelerationen vil tage formen (centripetalacceleration rettet mod midten af cirklen). Selve bevægelsen kan betragtes som en vinkel omkring en eller anden akse. For vinkelhastighed : ${\vec {a}}={\frac {v^{2}}{R}}{\vec {e_{n}}}$ $\varphi$ ${\dot {\varphi }}=\omega ={\frac {v}{R}}$

\varphi (t)=\varphi _{0}+\omega t

, og . Bevægelsesperiode :.

a_n = \omega^2 R

T={\frac {2\pi }{\omega }}

Et punkt kastet i en vinkel i forhold til horisonten

For kroppe, der bevæger sig ved lave hastigheder, kan luftmodstanden negligeres. Lad punktet på tidspunktet nul kastes med en hastighed i en vinkel i forhold til horisonten . For en akse rettet lodret opad, og en akse rettet langs horisonten, er bevægelsesligningerne i projektioner på aksen: $\vec v_0$ $\alfa$ $y$ $x$

{\begin{cases}a_{x}=0,\\a_{y}=-g;\end{cases}}\;\Rightarrow \;{\begin{cases}v_{x}=v_ {0}\cos \alpha ,\\v_{y}=v_{0}\sin \alpha -gt;\end{cases}}\;\Rightarrow \;{\begin{cases}x=x_{0} +v_{0}\cos \alpha \cdot t,\\y=y_{0}+v_{0}\sin \alpha \cdot t-{\dfrac {gt^{2}}{2));\ slut{cases}}

hvor er accelerationen af det frie fald .

g

Hvor især følgende formler opnås:

Hvis punktet blev kastet fra jorden, vil bevægelsestidspunktet være , og punktet vil nå toppen af banen i . $t={\frac {2v_{0}\sin \alpha }{g))$ $t/2$

Flyvlængden i dette tilfælde , hvoraf det følger, at den maksimale flyverækkevidde ved konstant hastighed opnås ved . Generelt om at kaste langs et skråplan , opnås den maksimale flyveafstand, når man kaster langs halveringslinjen mellem den lodrette og den lige linje langs kasteplanet. $L={\frac {v_{0}^{2}\sin(2\alpha )}{g))$ ${\displaystyle \alpha =45^{\circ ))$

Generelt kan en krop ankomme til samme punkt langs to baner: flad og hængslet .

Ligningen for banen i den betragtede notation er: , det vil sige, at projektilet bevæger sig langs en parabel . $y=x\mathrm {tg} \,\alpha -{\frac {g}{2v_{0}^{2}\cos ^{2}\alpha }}x^{2}$

Pointsystem sag

For at beskrive bevægelsen af et materielt punkt er det nødvendigt at sætte tre generaliserede koordinater, som generelt set afhænger af referencesystemet, men deres antal forbliver uændret. Ellers kan vi sige, at antallet af frihedsgrader for et punkt er tre. Antallet af grader kan dog være mindre, hvis for eksempel et punkt kun kan bevæge sig langs en bestemt overflade eller kurve . I dette tilfælde siger de, at en kinematisk begrænsning er pålagt det materielle punkt . Antallet af frihedsgrader fra hver binding reduceres med én. I det generelle tilfælde, hvis systemet består af materielle punkter og kinematiske begrænsninger er pålagt dem , så er antallet af frihedsgrader for et sådant system af materielle punkter .

n

k

3n-k

Hvis afstandene mellem to punkter altid er konstante i et system, kaldes et sådant system for et absolut stift legeme (se Kinematik af et stivt legeme ). Beskrivelsen af makroskopiske systemer af materialepunkter med varierende afstande behandles af kinematik af et kontinuert medium .

Noter

↑ Matrix multiplikation

Litteratur

Strelkov S.P. Mekanik. Moskva: Nauka, 1975.
Sivukhin DV Almen kursus i fysik. - M . : Science , 1979. - T. I. Mechanics. - 520 sek.
Matveev A. N. Mekanik og relativitetsteorien. Moskva: Højere skole, 1986.
Khaikin S. E. Fysiske grundlag for mekanik. Moskva: Nauka, 1971.