Punktdynamik

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 5. oktober 2021; checks kræver 12 redigeringer .

Punktdynamik er en sektion af dynamik , der studerer årsagerne til ændringer i bevægelsen af materielle punkter , det vil sige kroppe, hvis karakteristiske dimensioner kan negligeres på skalaen af problemets størrelse. Den matematiske beskrivelse af bevægelsen af sådanne legemer uden at analysere årsagerne til bevægelse er genstand for punktkinematik . Afsnittet er grundlæggende i dynamik, hvor ethvert fast legeme, væske eller gas betragtes som et system af interagerende materialepunkter.

Grundlæggende

Rumets egenskaber : homogenitet , isotropi . Det vil sige, at de processer, der forekommer i et lukket system, ikke påvirkes af dets position eller orientering.
Relativitetsprincippet : mekaniske processer, der forekommer i forskellige inertiereferencerammer (det vil sige dem, hvor accelerationen af et punkt, virkningen af kræfter , som kompenseres på, er lig med nul) forløber på samme måde. Eksistensen af mindst én inerti-referenceramme postulerer Newtons første lov .
Princippet om determinisme [1] : starttilstanden af et mekanisk system (et sæt positioner og hastigheder af systemets punkter på et tidspunkt) bestemmer entydigt hele dets bevægelse. I matematisk sprog betyder det, at bevægelsesloven er unikt bestemt af positionen og hastigheden på et tidspunkt . Dette indebærer, at enhver bevægelse er bestemt af løsningen af differentialligningen , hvor vektorfunktionen bestemmes ud fra fysiske overvejelser. ${\vec r}(t)$ ${\vec {r}}(\tau )$ ${\dot {\vec {r}}}(\tau )$ $\tau$ ${\ddot {\vec {r}}}(t)={\vec {f}}\venstre(t,{\vec {r}}(t),{\dot {\vec {r} }}(t)\right)$ $\vec f$

Grundlæggende begreber

Masse

Inertimasse

Fra hverdagserfaring ved man, at jo større "masse" kroppen er, jo sværere er det at ændre karakteren af dens bevægelse. For at sætte gang i en tungere krop, skal du anstrenge dig mere, og en tung krop er også sværere at stoppe. For at formalisere begrebet inertimasse, tilladt overvejelse af et isoleret mekanisk system (et system, påvirkning af fremmedlegemer, som kan negligeres) i en inerti referenceramme.

Empirisk (se momentumbevaringsloven ), blev det fundet, at for et system af to interagerende punkter er deres hastigheder på forskellige tidspunkter relateret af relationen: , hvor koefficienten ikke afhænger af hverken de valgte tidspunkter eller på hastighederne. ${\displaystyle t_{1},t_{2))$ ${\vec {v}}_{1}(t_{1})+\mu _{12}{\vec {v}}_{2}(t_{1})={\vec {v }}_{1}(t_{2})+\mu _{12}{\vec {v}}_{2}(t_{2})$ $\mu _{12}$

I forsøg på et større antal kroppe viste det sig, at . Da det ikke er relateret til det tredje organ, er det opfyldt , det vil sige, at det, der blev skrevet tidligere, har formen: . ${\displaystyle \mu _{12}={\frac {\mu _{32)){\mu _{31))))$ $\mu _{12}$ ${\displaystyle \mu _{32}=m_{3}m_{2},\;\mu _{31}=m_{3}m_{1))$ $m_{1}{\vec {v}}_{1}(t_{1})+m_{2}{\vec {v}}_{2}(t_{1})=m_{1 }{\vec {v}}_{1}(t_{2})+m_{2}{\vec {v}}_{2}(t_{2})$

Bemærk at massen dermed er bestemt op til en konstant (vilkårlig koefficient ), hvilket igen fører til indførelsen af massestandarden . $k$

Gravitationsmasse

Massen får også sædvanligvis en anden definition. For at gøre dette skal du bruge en balanceskala og en massestandard. Denne bestemmelsesmetode er baseret på den antagelse, at tyngdekraften virker ligeligt på de masser, der vejes på to vægte. Derfor kaldes massen defineret på denne måde gravitationel.

Eksperimenter ( Galileo , Newton , Braginsky ) viste, at gravitations- og inertimasserne falder sammen med meget høj nøjagtighed (op til ). Antagelsen om deres identitet førte til skabelsen af den generelle relativitetsteori . $10^{-12}$

Momentum, kraft

Definitionen af et materielt punkts momentum er udtrykket ( er punktets masse og er vektoren for dets hastighed). Baseret på princippet om determinisme: ${\vec p}$ ${\vec p}=m{\vec v}$ $m$ ${\vec {v}}$

{\frac {d{\vec {p}}}{dt}}=m{\ddot {\vec {r}}}={\vec {F}}(t,{\vec {r} }(t),{\dot {\vec {r}}}(t))

, hvor vektoren svarer til kraft , og selve udtrykket svarer til Newtons anden lov .

{\vec {F}}

Heraf følger det især, at den erhvervede impuls ikke kun afhænger af kraften, men også af eksponeringstidspunktet. ${\vec {p}}-{\vec {p}}_{0}=\int _{t_{0}}^{t}{\vec {F}}\,dt$

Under antagelse af gyldigheden af princippet om parinteraktion (det vil sige sådan, at to materielle punkters virkning på hinanden ikke afhænger af tilstedeværelsen af andre materielle punkter), for et lukket system, er momentumbevaringsloven opfyldt :

{\vec {p}}=\sum _{i}{\vec {p}}_{i}=\sum _{i}m_{i}{\vec {v}}_{i} =konst

hvoraf det følger, at (hvis vi tilføjer hertil, at kræfterne er rettet langs den rette linje, der forbinder punkterne, får vi Newtons tredje lov ). Det viser sig, at superpositionsprincippet er gyldigt: virkningen af mange kræfter er lig med virkningen af en kraft (resultant), lig med vektorsummen af de virkende kræfter. ${\vec {F}}_{ij}=-{\vec {F}}_{ji}$

Baseret på loven om bevarelse af momentum, følger det, at summen af de indre kræfter i et lukket system er nul. For et vilkårligt system: , hvor er resultatet af eksterne kræfter (loven om ændring af momentum). ${\dot {\vec {p}}}={\vec {F}}$ ${\vec {F}}$

For et system af materielle punkter introduceres begrebet massecentrum : , i forhold til hvilket loven om ændring i systemets momentum er forenklet . ${\vec {r}}_{c}={\frac {\sum _{i}{\vec {r}}_{i}m_{i}}{\sum _{i}m_{ i}}},\;m_{c}=\sum _{i}m_{i}$ $\sum _{i}{\dot {\vec {p}}}_{i}={\vec {F}}\;\Leftrightarrow \;m_{c}{\ddot {\vec {r }}}_{c}={\vec {F}}$

Det vil sige, at massecentret af et system af materialepunkter bevæger sig som et materialepunkt, hvis masse er lig med systemets samlede masse, og den virkende kraft er lig med den geometriske sum af alle ydre kræfter, der virker på system. Sammen med massecentret introduceres ofte den reducerede masse .

Klassificering af kræfter

Grundlæggende kræfter (grundlæggende interaktioner):

Tyngdekraftens tiltrækningskræfter _
Elektromagnetiske kræfter
Den stærke kraft er samspillet mellem hadroner og kvarker. Arbejd på skalaer i størrelsesordenen af størrelsen af en atomkerne eller mindre
Svage interaktionskræfter er en interaktion, der især er ansvarlig for processerne med beta-henfald af atomkerner og svage henfald af elementarpartikler. De vises i afstande, der er meget mindre end atomkernens størrelse

Afledte typer af kræfter:

Elastiske kræfter - en krops reaktioner på en ændring i dens form
Friktions- og modstandskræfter _
- Viskøs friktion - friktion mellem overfladen af et fast legeme og det omgivende flydende eller gasformige medium (eller friktion mellem forskellige lag af et sådant medium)
- Tør friktion er friktionen mellem overfladerne af to faste legemer i kontakt. Hvis der ikke er nogen relativ bevægelse, så er tør friktion statisk eller sammenhængende friktion. Med relativ bevægelse - glidende friktion eller rullefriktion

Energi

Kinetisk energi

En krafts elementære arbejde ved forskydning bestemmes af udtrykket . På et stykke af banen er det samlede arbejde ${\vec {F}}$ $d{\vec {r))$ $dA={\vec {F}}\cdot d{\vec {r}}$ $L$

A=\int _{L}{\vec {F}}\,d{\vec {r}}

Siden da ${\vec {F}}={\dot {\vec {p}}}=m{\dot {\vec {v}}}$

A=m\int _{L}{\vec {v}}\,d{\vec {v}}={\frac {mv^{2}}{2}}{\Bigg |}_ {{\vec {r}}_{2}}-{\frac {mv^{2}}{2}}{\Bigg |}_({\vec {r}}_{1}}

Udtryk

T={\frac {mv^{2}}{2}}={\frac {p^{2}}{2m}}

kaldet kinetisk energi .

En krafts arbejde, når man flytter et materialepunkt, er således lig med stigningen af den kinetiske energi af dette punkt, hvilket er let at generalisere til tilfældet med et system af materielle punkter (loven om energiændring).

Forholdet mellem kinetiske energier i forskellige referencerammer

For absolut hastighed , relativ og translationel : ${\vec {v}}$ $\vec u$ ${\vec {\mathrm {v} }}$

T=T'+{\frac {m\mathrm {v} ^{2}}{2}}+m\,{\vec {u}}\cdot {\vec {\mathrm {v} } }

Hvor er den kinetiske energi i en relativ referenceramme. $T'$

I et relativt referencesystem forbundet med den translationelle bevægelse af massecentret: ( Königs sætning ). $T=T_{c}+{\frac {mv_{c}^{2}}{2}}$

Potentiel energi

Hvis kraften er repræsenteret i formen , så er det potentiel, og - potentiel energi . Hvis den potentielle kraft ikke afhænger af tid, kaldes den konservativ. Arbejdet udført af en konservativ kraft kan skrives som: ${\vec {F}}({\vec {r}},t)=-\nabla U({\vec {r}},t)$ $U({\vec {r)),t)$

A=-\int _{L}{\frac {\partial {\vec {F))}{\partial {\vec {r))))\,d{\vec {r))=U ({\vec {r}}_{1})-U({\vec {r}}_{2})

Dermed indføres den samlede energi , som er bevaret for systemet inden for konservative kræfter, dvs. $E=T+U$

T_{1}+U_{1}=T_{2}+U_{2}

( loven om bevarelse af energi )

I det generelle tilfælde er ændringen i energi lig med arbejdet af ikke-konservative kræfter (loven om energiændring)

Ligevægt

Lad materialepunktet være i en bestemt position på tidspunktet og dets hastighed være lig nul. Hvis punktet under disse begyndelsesbetingelser fortsætter med at forblive i denne position ved , kaldes dette punkt for ligevægtspositionen. I tilfælde af en potentiel kraft er ligevægtstilstanden . $\tau$ $t>\tau$ $\nabla U=0$

Hvis kraftpotentialet i ligevægtspositionen har et isoleret minimum, så er denne ligevægtsposition stabil.

Den viriale sætning

Ydermere, for betegner gennemsnittet af en værdi over en længere periode, dvs. $\langle f\rangle$ $f(t)$

\langle f\rangle =\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{\tau }^{\tau +T}f(t)\,dt

Fra et matematisk synspunkt, hvis , så . På dette grundlag, hvis systemets bevægelse er begrænset i rummet, er Clasius-sætningen gyldig: $f(t)={\dot {\varphi }}(t)$ $\langle f\rangle =0$

\langle T\rangle =-{\frac {1}{2}}\sum _{i}\langle {\vec {r}}_{i}\cdot {\vec {F}}_{ i}\rangle

Øjeblikke

Kraftmomentet omkring et punkt er defineret som . Det har vist sig, at det ikke afhænger af kraftens anvendelsespunkt. $O$ ${\vec {M}}=[{\vec {r}}\time {\vec {F}}]$

Vinkelmoment M.T. i forhold til polen er defineret som . $O$ ${\vec {L}}=[{\vec {r}}\time {\vec {p}}]$

Som det følger af definitionerne . I tilfælde opstår ( loven om bevarelse af vinkelmomentum ) ${\dot {\vec {L}}}={\vec {M}}$ ${\vec {M}}=0$ ${\vec {L}}=const$

Det foregående gælder også i generalisering for et system af materielle punkter, for hvilke blandt andet de indre kræfters øjeblikke gensidigt tilintetgør.

Sektorhastighed

Den elementære tilvækst af en sektor er vektoren , som har betydningen af det elementære område fejet af enden . Udtrykket kaldes sektorbestemt hastighed. $d{\vec {S}}={\frac {1}{2}}[{\vec {r}}\times {\vec {v}}\,dt]$ ${\vec {r))$ ${\displaystyle {\dot {\vec {S))))$

Generelt set ,. ${\displaystyle {\vec {L}}=2m{\dot {\vec {S))))$

Vinkelmomentum i CO-massecentrum

Sammenhængen af udtrykket for vinkelmomentet i den absolutte referenceramme og referencerammen forbundet med massecentret (hvis det er inerti) udtrykkes som

{\vec {L}}=m[{\vec {r}}_{c}\time {\vec {v}}_{c}]+{\vec {L}}_{c}

Endimensionel bevægelse i et potentielt felt

Den endimensionelle bevægelse af et materialepunkt betragtes nedenfor . Ved loven om bevarelse af energi: $m{\ddot {x}}(t)=F(x)$

T=EU

, hvor det er tilstrækkeligt at beregne den samlede energi for et bestemt tidspunkt. At erstatte udtrykket med kinetisk energi giver:

E

{\frac {mv^{2}}{2}}=EU\;\Rightarrow \;

{\displaystyle v=\pm {\sqrt {\frac {2(EU)}{m))))

, hvilket fører til en adskillelig variabel ligning:

{\frac {dx}{\sqrt {EU}}}={\sqrt {\frac {2}{m}}}dt

Kommunikationsaktiveret bevægelse

Hvis bevægelsen af et materialepunkt er begrænset (for eksempel kan et punkt bevæge sig langs et plan eller en kurve), skriver de, at der pålægges en forbindelse til punktets bevægelse.

Bevægelse langs en kurve

Lad kurven være givet i rummet som skæringspunktet mellem to flader, som er givet ved ligningerne og . Normalerne til disse overflader og er kollineære til henholdsvis vektorerne og . Da enhver normal til kurven ligger i det plan, der er defineret af vektorerne og , så $f_{1}(x,y,z,t)=0$ $f_{2}(x,y,z,t)=0$ $N_1$ $N_2$ $\nabla f_{1}$ $\nabla f_{2}$ $N_1$ $N_2$

{\vec {R}}=\lambda _{1}\nabla f_{1}+\lambda _{2}\nabla f_{2}

Bevægelsesligningerne for et materielt punkt er skrevet i følgende form:

m{\ddot {\vec {r}}}={\vec {F}}+\lambda _{1}\nabla f_{1}+\lambda _{2}\nabla f_{2}

Hvis funktionerne og ikke eksplicit afhænger af tid, så, som i tilfælde af fri bevægelse af et punkt, $f_1$ $f_{2}$

{\frac {d}{dt}}\;{\frac {mv^{2}}{2}}={\vec {F}}\cdot {\vec {v}}

Overfladebevægelse

Lad materialets punkt altid forblive på en glat overflade, som er givet af ligningen . I tilfælde af en ideel binding er bindingsreaktionskraften vinkelret på overfladen , dvs. Bevægelsen af et punkt er fuldstændig bestemt af bevægelsesligningerne og begrænsningsligningen $f(x,y,z,t)=0$ ${\vec {R}}=\lambda \nabla f$

m{\ddot {\vec {r}}}={\vec {F}}+\lambda \nabla f

Hvis forbindelsen ikke afhænger af tid, og kraften er potentiel, vil integralet af levende kræfter være opfyldt

Adiabatiske invarianter

Bevægelse i ikke-inertielle referencerammer

Noter

↑ BESTEMMELSESPRINCIP • Great Russian Encyclopedia - elektronisk version . bigenc.ru . Hentet 21. september 2021. Arkiveret fra originalen 21. september 2021. (ubestemt)

Litteratur

Sivukhin DV Almen kursus i fysik. - M . : Science , 1979. - T. I. Mechanics. - 520 sek.
Berezkin E. N. Kursus i teoretisk mekanik. M.: MGU, 1974. -647 s.