Centripetal acceleration

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 20. april 2021; checks kræver 3 redigeringer .

Centripetal (normal) acceleration - en komponent af kroppens acceleration , der karakteriserer ændringshastigheden i retningen af hastighedsvektoren (den anden komponent, tangentiel acceleration , karakteriserer ændringen i hastighedsmodulet). Ret mod midten af krumningen af den bane, som udtrykket er forbundet med. Angivet med symbolet valgt til acceleration, med tilføjelse af "normal"-ikonet: (mindre almindeligt ); i SI-systemet måles det i m/s 2 . ${\vec {a}}_{n}$ ${\vec {w}}_{n}$

Et eksempel på bevægelse med ikke-nul centripetalacceleration er bevægelse langs en cirkel (i dette tilfælde er den rettet mod midten af cirklen). ${\vec {a}}_{n}$

I klassisk mekanik er normal acceleration forårsaget af kraftkomponenter rettet ortogonalt til hastighedsvektoren. For eksempel er bevægelsen af et rumobjekt i kredsløb karakteriseret ved centripetalacceleration forårsaget af tyngdekraften . Komponenten af summen af kræfter, der bestemmer tilstedeværelsen af normal acceleration, kaldes centripetalkraft . Et relateret koncept for ikke-inertielle referencerammer er centrifugalkraft .

Den oscillerende acceleration, betragtet i tilfælde af rotation af kroppen omkring aksen, i projektion på et plan vinkelret på aksen, fremstår som centripetal.

Generel formel

Normal acceleration beregnes ved formlen $a_n$

a_{n}={\frac {v^{2}}{R}}

eller (ved hjælp af relationen ) $v=\omega R$

a_n = \omega^2 R

hvor er den (øjeblikkelige) lineære bevægelseshastighed langs banen, er den (øjeblikkelige) bevægelsesvinkelhastighed i forhold til banens krumningscentrum, er kurvens krumningsradius i et givet punkt. $v$ $\omega$ $R$

Udtryk kan omskrives i vektorform:

\mathbf {a} _{n}={\frac {v^{2}}{R}}\mathbf {n} =\omega ^{2}R\mathbf {n}

Her er en enhedsvektor rettet fra et givet punkt på banen til kurvens centrum. $\mathbf n$

Disse formler er anvendelige både til en bestemt situation med ensartet bevægelse ( const ) og til et vilkårligt tilfælde. I det ensartede tilfælde falder den normale acceleration sammen med den fulde. I det generelle tilfælde er normal acceleration kun en komponent af vektoren vinkelret på bevægelsesbanen (vektor ), og den fulde accelerationsvektor inkluderer også en tangentiel komponent , co-dirigeret af en tangent til bevægelsesbanen [1] . $|{\vec {v}}|=\,$ ${\vec {a}}$ $\vec{v}$ $a_{\tau }=dv/dt$

Afledning af formlen

For at dekomponere accelerationen til tangentiel og normal, er det muligt at differentiere hastighedsvektoren i tid , repræsenteret som en enhedstangensvektor : $\mathbf {v} =v\,\mathbf {\tau }$ ${\mathbf \tau }$

\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt))={\frac {d(v\mathbf {\tau } )}{dt))={\frac {\ mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\,\mathbf {\tau } +v{\frac {d\mathbf {\tau } }{dt}}=\mathbf {a} _{\ tau }+v{\frac {d\mathbf {\tau} }{dl)){\frac {dl}{dt))=\mathbf {a} _{\tau }+v^{2}{\frac {d\mathbf {\tau } }{dl}}=\mathbf {a} _{\tau }+{\frac {v^{2}}{R}}{\frac {d\mathbf {\tau } }{d\varphi }}=\mathbf {a} _{\tau }+{\frac {v^{2}}{R}}\,\mathbf {n}

Her er det første led den tangentielle acceleration og det andet er den normale acceleration. V angiver enhedsnormalvektoren, angiver krumningsradius for banen ved det betragtede punkt og betegner elementet i banelængden. Et lille udsnit af enhver kurve kan betragtes som en cirkelbue, og dens radius er krumningsradius . Kæden af transformationer bruger de åbenlyse relationer og (hvor er en lille rotationsvinkel omkring krumningscentrum). $\mathbf n$ $R$ $dl$ $R$ $dl/dt=v$ $dl=R\,d\varphi$ $d\varphi$

Ligestilling følger af geometriske overvejelser. Forskellen mellem enhedstangensvektorerne ved de betragtede ( ) og tæt på dens ( ) punkter i banen er , hvor er vinklen mellem og . Denne forskel er rettet i en vinkel til normalen på det betragtede punkt. Hvis den er lille , vil der være et sammenfald med normalvektoren . Med smallness er det også muligt at udvide sinus til en Taylor-serie . Som et resultat kommer vi til eller, for uendeligt små, . $d\mathbf {\tau } /d\varphi =\mathbf {n}$ $\Delta \mathbf {\tau } =\mathbf {\tau } '-\mathbf {\tau }$ ${\mathbf \tau }$ $\mathbf {\tau } '$ $2\sin(\Delta \varphi /2)$ $\Delta \varphi$ $\mathbf {\tau } '$ ${\mathbf \tau }$ $\Delta \varphi /2$ $\mathbf n$ $\Delta \varphi$ $\mathbf n$ $\Delta \varphi$ $\Delta \mathbf {\tau } =\Delta \varphi \,\mathbf {n}$ $d\mathbf {\tau } /d\varphi =d\varphi /d\varphi \,\mathbf {n}$

På krumningsradius

At beregne krumningsradius og koordinaterne for krumningscentrum for en sti er et matematisk problem (se krumning ). Hvis kurven er givet af ligningen , så findes radius af dens krumning i punktet ( , ) som [2] $y = f(x)$ $x$ $y$

R={\frac {(1+f'^{2})^{3/2}}{|f''|}}

og positionen af krumningscentret - ifølge formlerne [2]

\xi =x-{\frac {f'(1+f'^{2})}{f'')),\qquad \eta =y+{\frac {1+f'^{2} }{f''}}}

Enhedens normalvektor i dette tilfælde vil være ( , - orts ) $\vec{i}$ $\vec{j}$

{\vec {n}}={\frac {\xi -x}{R}}\,{\vec {i}}+{\frac {\eta -y}{R}}\,{ \vec {j}}

Hvis afhængigheden af radiusvektoren for et materialepunkt på tid er kendt (fra et matematisk synspunkt betyder det at indstille banen i en parametrisk form), så kan krumningsradius findes gennem acceleration: ${\vec {r}}(t)$

R={\frac {v^{2}}{\sqrt {a^{2}-a_{\tau }^{2}}}}

hvor og ; tidligere fundet hastigheden som . Krumningscentret i det generelle tilfælde vil ikke falde sammen med radiusvektorens oprindelse. ${\vec {a}}=d{\vec {v}}/dt$ $a_{\tau }=dv/dt$ ${\vec {v}}=d{\vec {r}}/dt$

Motivation, bemærkninger

At nedbrydningen af accelerationsvektoren i komponenter - en langs tangenten til banen (tangentiel acceleration) og en anden ortogonal til den (normal acceleration) - kan være praktisk og nyttig er ret indlysende i sig selv. Når man bevæger sig med en konstant modulo-hastighed, bliver den tangentielle komponent lig med nul, det vil sige i dette vigtige særlige tilfælde forbliver kun den normale komponent. Derudover har hver af disse komponenter sine egne udtalte egenskaber og struktur, og den normale acceleration indeholder et ret vigtigt og ikke-trivielt geometrisk indhold i strukturen af dens formel. Det særlige tilfælde af bevægelse i en cirkel er også ekstremt vigtigt.

Den absolutte værdi af tangentiel acceleration afhænger kun af jordens acceleration, der falder sammen med dens absolutte værdi, i modsætning til den absolutte værdi af normal acceleration, som ikke afhænger af jordens acceleration, men afhænger af jordens hastighed.

Begrebets historie

Tilsyneladende var Huygens den første til at opnå de korrekte formler for centripetalacceleration (eller centrifugalkraft) . Praktisk siden dengang har overvejelsen af centripetalacceleration været en almindelig teknik til at løse mekaniske problemer.

Noget senere spillede disse formler en væsentlig rolle i opdagelsen af loven om universel gravitation (centripetalaccelerationsformlen blev brugt til at opnå loven om tyngdekraftens afhængighed af afstanden til tyngdekraftens kilde, baseret på Keplers tredje lov udledt af observationer ).

I det 19. århundrede var overvejelser om centripetalacceleration allerede blevet ret rutinepræget for både rene videnskabs- og ingeniørapplikationer.

Se også

Noter

↑ Som det kan ses af formlen, er den tangentielle acceleration simpelthen nul, når man bevæger sig med en konstant hastighed.
↑ 1 2 Schneider V. E. et al. Et kort kursus i højere matematik. Proc. tilskud til universiteter. M., "Højere. skole", s. 368-370.

mekanisk bevægelse
referencesystem	inerti referenceramme Ikke-inertiel referenceramme Sammensat bevægelse Relativitetsprincippet
Materiale punkt	Ensartet bevægelse Retlineær bevægelse Bevægelsesligning Bevægelsesligninger i en ikke-inertiel referenceramme Bane (sti) bevæger sig Hastighed Acceleration ( centripetal acceleration tangentiel acceleration ) bindestreg
Fysisk krop	translationel bevægelse Plan-parallel bevægelse ( parallel oversættelse ) Sfærisk bevægelse ( Roterende bevægelse Cirkulær bevægelse Præcession nutation )
kontinuum	laminær strømning turbulent flow
Beslægtede begreber	Hastighedsplan Tog trækkraft Seks frihedsgrader