Square-Cube Lov

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 30. januar 2018; checks kræver 23 redigeringer .

Kvadrat - kubeloven er følgende princip:

hvis objektet proportionalt (det vil sige ved hjælp af en lighedstransformation ) øges (aftager) i størrelse, vil dets nye volumen være proportional med skaleringsfaktorens terning, og dets nye overfladeareal vil være proportional med kvadratet:

v_{2}=v_{1}\left({\frac {\ell _{2}}{\ell _{1}}}\right)^{3},\qquad A_{2}= A_{1}\left({\frac {\ell _{2}}{\ell _{1}}}\right)^{2},

hvor: er volumen af det originale objekt, er det nye volumen, er overfladearealet af det originale objekt, er det nye overfladeareal, er den lineære størrelse af det originale objekt og er den nye lineære størrelse. $v_{1}$ $v_{2}$ $A_{1}$ $A_{2}$ $\ell _{1}$ $\ell _{2}$

For eksempel har en terning med en sidelængde på 1 meter et overfladeareal på 6 m² og et volumen på 1 m³. Hvis sidelængden fordobles , vil dens overfladeareal firdobles til 24 m², og dens volumen vil stige 8 gange til 8 m³. Dette princip gælder for alle organer.

Denne lov finder sin anvendelse i teknologi og biomekanik og er baseret på den matematiske genberegning af dimensioner. Det blev første gang demonstreret af Galileo Galilei i 1638 i Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze (" Samtaler og matematiske beviser for to nye videnskaber ").

Teknik

Hvis en fysisk genstand øges i størrelse, mens den bibeholder den samme tæthed af materialet, som den er lavet af, vil dens masse stige proportionalt med stigningsfaktoren til tredje potens, mens dens overfladeareal vil stige i forhold til kvadratet af skalafaktoren. Dette betyder især, at hvis et segment af overfladen af et forstørret objekt får samme acceleration som originalen, vil der virke mere tryk på overfladen af det forstørrede objekt .

Overvej et simpelt eksempel - et legeme med masse har en acceleration og et overfladeareal , som påvirkes af en kraft med denne acceleration. Kraften forårsaget af accelerationen er , og trykket på overfladen er Betragt nu et objekt, hvis dimensioner ganges med en faktor, så dens nye masse er , og overfladen som kraften virker på har et nyt areal, . Så er den nye kraft forårsaget af accelerationen lig med og det resulterende tryk på overfladen: $m$ $-en$ $S$ $F=ma$ $T={\tfrac {F}{S}}={\tfrac {ma}{S}}.$ $x$ $m'=x^{3}\cdot m$ $S'=x^{2}\cdot S$ $F'=x^{3}\cdot ma,$

{\begin{aligned}T'&={\frac {F'}{S'}}={\frac {x^{3}\cdot ma}{x^{2}\cdot S}} =\\&=x{\frac {ma}{S}}=x\cdot T.\\\end{justeret}}

Således, med en stigning i størrelsen af et objekt, samtidig med at det samme materiale, som objektet er sammensat af (og dermed tæthed ) og acceleration, opretholdes, vil trykket, som det producerer på overfladen, stige med den samme faktor. Dette viser, at når et objekt forstørres, vil dets evne til at modstå stress falde, og det vil være lettere at ødelægge det i accelerationsprocessen.

Dette forklarer, hvorfor store køretøjer ikke klarer sig godt i kollisionstest, og hvorfor der er højdegrænser for højhuse. Ligeledes, jo større et objekt er, jo mindre vil andre objekter modstå bevægelse, hvilket får det til at bremse.

Biomekanik

Hvis størrelsen af et dyr øges betydeligt, vil dets muskelstyrke blive alvorligt reduceret, da tværsnittet af dets muskler vil stige i forhold til kvadratet af skaleringsfaktoren , mens dets masse vil stige i forhold til terningen af denne. faktor. Som følge heraf er kardiovaskulære funktioner stærkt begrænsede. Af denne grund kan insekter for eksempel løfte meget mere end deres egen vægt. Hvis flyvende levende væsner øges i størrelse, skal deres vingebelastning øges, og derfor bliver de nødt til at klappe med større frekvens for at bevare det samme løft . Dette vil ikke være nemt på grund af det faktum, at styrken af musklerne bliver mindre. Dette forklarer også, hvorfor en humlebi kan have en kropsstørrelse, der er stor i forhold til dens vingefang, hvorimod dette ville være umuligt for et flyvende dyr, der er meget større end en humlebi. Også for levende væsner af små størrelser er luftmodstanden per masseenhed høj, og derfor dør de ikke, når de falder fra nogen højde.

Derudover afhænger arbejdet i insekternes åndedrætsorganer af størrelsen af kropsoverfladen. Med en stigning i kropsvolumen vil dens overfladeareal ikke være i stand til at give vejrtrækning.

Af disse grunde er de gigantiske insekter, edderkopper og andre dyr vist i gyserfilm urealistiske, da så store størrelser ville få dem til at kvæles og kollapse. Kæmpe vanddyr ( dybhavsgigantisme ) er en undtagelse, da vand er i stand til at understøtte ret store væsner [1] .

J. B. S. Haldane udtrykte følgende mening om kæmper [1] :

Lad os antage, at der er en mandsgigant på 60 fod høj, ligesom paven og de hedenske kæmper fra eventyrene fra min barndom. Sådanne giganter er ikke kun 10 gange højere end den gennemsnitlige person, men 10 gange bredere og 10 gange tættere, det vil sige, at deres samlede vægt er 1000 gange vægten af den gennemsnitlige person, og er derfor fra 80 til 90 tons. Tværsnittet af sådanne giganters knogler er 100 gange større end snittet af knoglerne hos en gennemsnitlig person; derfor skal hver kvadratcentimeter af en kæmpes knogle bære en belastning, der er 10 gange større end kvadratcentimeteren af en gennemsnitlig mands knogle. I betragtning af, at det menneskelige skinneben knækker under en belastning på 10 gange dets vægt, ville giganternes skinneben skulle knække med hvert skridt, de tager. Er det ikke derfor, at de på billederne, som jeg stadig husker, er vist siddende?

Termiske processer

Kvadrat-kubeloven gælder også for termiske processer: varmevekslingsoverfladen øges i forhold til kvadratet af størrelsen, og volumenet, der indeholder eller genererer varme , stiger i forhold til kuben. Som følge heraf falder varmetabet pr. volumenenhed af et objekt med en stigning i dets størrelse og omvendt stiger med et fald i størrelse. Derfor falder for eksempel den energi, der kræves til at opvarme eller afkøle en enhedsvolumen på et lager , efterhånden som lagerets størrelse øges.

I teknologi

Loven har en bred anvendelse inden for teknologi. For eksempel tjener det som årsagen til, at for at skabe fly med dobbelt så stor nyttelast, ville det være meningsløst blot proportionalt at fordoble alle størrelserne af dets dele - forbuddet mod direkte skalering er pålagt af kvadratkubeloven.

Elbiler

Hvis vi antager, at ved skalering af en elektrisk maskine bevares strømtætheden , magnetisk induktion og omdrejningshastighed , så vil strømstyrken med en stigning i alle dimensioner med en gange blive 2 gange større (proportionalt med tværsnitsarealet) af konduktørerne). Den magnetiske flux vil også stige med 2 gange (i forhold til tværsnitsarealet af det magnetiske kredsløb ), på grund af hvilket EMF induceret i viklingerne også vil stige med 2 gange .

Det vil sige, at både strømstyrken og spændingen (EMF) vil stige med en 2 gange, på grund af hvilken den elektriske effekt (svarende til produktet af strømstyrken og spændingen) vil stige med en 4 gange. I dette tilfælde vil varmetabene kun stige en 3 gange (i forhold til volumenet af lederne ved en konstant strømtæthed).

Med en stigning i størrelsen af en elektrisk maskine stiger dens specifikke effekt (pr. masseenhed) således proportionalt, og det specifikke varmetab (pr. masseenhed) ændres ikke, hvilket betyder, at effektiviteten øges . Samtidig bliver varmefjernelsen mere kompliceret, da den specifikke varmeflux gennem alle overflader stiger proportionalt.

Alt dette gælder for transformere (ved en konstant strømfrekvens ).

Forbrændingsmotorer

Hvis vi blot øger alle dimensionerne af forbrændingsmotoren med en faktor ved en konstant rotationshastighed, så vil massen af de bevægelige dele stige med en faktor på en 3 , og accelerationen , med hvilken de bevæger sig , vil stige med en faktor. Derfor er alle inertikræfterne[ klargør ] vil stige med 4 gange , og da arealet af friktionsoverfladerne kun vil stige med 2 gange , vil den specifikke belastning på dem stige med 2 gange , hvilket vil føre til deres hurtige slid. Derudover vil bevægelseshastigheden af gasser gennem ventilerne øges en gange, hvilket vil øge den gasdynamiske modstand betydeligt og forværre fyldningen af cylindrene.

Derfor, med en proportional stigning i forbrændingsmotoren, er det nødvendigt at reducere hastigheden proportionalt (holde den gennemsnitlige stempelhastighed uændret). Så forbliver den specifikke belastning på gnidningsfladerne og gashastigheden gennem ventilerne uændret. Den specifikke effekt (pr. masseenhed) og litereffekt reduceres dog proportionalt. Denne "vægtning" af motoren kan løses ved at øge antallet af cylindre, men det komplicerer dens design.

Skibsbygning

Tilnærmelsesvis kan vi antage, at modstanden mod fartøjets bevægelse (ved konstant hastighed) er proportional med tværsnitsarealet af skroget midtskibs . Således, med en stigning i alle dimensioner af fartøjet med en gange, vil dens masse stige med en 3 gange, og modstanden mod bevægelse vil kun stige med en 2 gange. Som følge heraf er større fartøjer mere økonomiske med hensyn til brændstofforbrug pr. masseenhed. Derudover, hvis andelen af brændstofreserver i skibets samlede masse er uændret, vil sejlrækkevidden uden påfyldning også stige med en gang.

Af samme grund vokser luftskibes brændstofeffektivitet og flyverækkevidde i forhold til deres størrelse (i modsætning til fly , hvor disse parametre hovedsageligt bestemmes af deres aerodynamiske kvalitet ).

For et sejlskib er modstand mod kæntringsmomentet skabt af sejlene vigtig . Med en stigning i alle dimensioner af fartøjet med en gange, vil arealet af sejlene øges med en 2 gange, og det væltende kraftmoment skabt af dem vil stige med en 3 gange (da kraftens arm vil også stige en gang). Samtidig vil det øjeblik, der udligner rullen og opstår på grund af skroget under rulningen, stige med en 4 gange (massen af skroget og det fortrængte vand vil stige med en 3 gange, mens kraftens arm vil stige en gang). Ved simpel geometrisk skalering er store sejlskibe derfor mere modstandsdygtige over for krængningen skabt af sejlmomentet. Af denne grund har store sejlbåde ikke brug for de udviklede ballastkøler, der er typiske for små sejlyachter . På den anden side, på et større skib, hvis designet holdes det samme, er det muligt at sætte sejl med et uforholdsmæssigt større areal og følgelig få en hastighedsforøgelse.

Se også

Noter

↑ 1 2 J. B. S. Haldane On the Expediency of Size Arkiveret 22. maj 2021 på Wayback Machine