Matrix norm

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 26. november 2021; checks kræver 2 redigeringer .

En matrixnorm er en norm i et lineært rum af matricer , normalt relateret på en eller anden måde til den tilsvarende vektornorm (konsistent eller underordnet ).

Definition

Lad K være grundfeltet (normalt K = R eller K = C ) og være det lineære rum af alle matricer med m rækker og n kolonner bestående af elementer af K . En norm er givet på rummet af matricer, hvis hver matrix er forbundet med et ikke-negativt reelt tal , kaldet dets norm, således at $K^{{m\ gange n}}$ $A\in K^{m\times n}$ $\|A\|$

$\|A\|>0$ , hvis , og , hvis . $A\neq 0$ $\|A\|=0$ $A=0$
${\displaystyle \|A+B\|\leq \|A\|+\|B\|,\quad A,B\in K^{m\times n))$ .
${\displaystyle \|\alpha A\|=|\alpha |\|A\|,\quad \alpha \in K,\quad A\in K^{m\times n))$ [1] .

I tilfælde af kvadratiske matricer (det vil sige m = n ), kan matricerne multipliceres uden at forlade rummet, og derfor opfylder normerne i disse rum normalt også den submultiplikative egenskab :

$\|AB\|\leq \|A\|\|B\|$ for alle matricer A og B i . $K^{{n\ gange n}}$

Submultiplikativitet kan også udføres for normerne for ikke-kvadratiske matricer, men defineret for flere nødvendige størrelser på én gang. Nemlig, hvis A er en ℓ × m matrix, og B er en m × n matrix , så er A B en ℓ × n matrix .

Operatørnormer

En vigtig klasse af matrixnormer er operatørnormer , også kaldet underordnede eller inducerede normer . Operatornormen er unikt opbygget ud fra to normer defineret i og baseret på det faktum, at enhver m × n matrix er repræsenteret af en lineær operator fra til . Specifikt, $K^n$ $K^{m}$ $K^n$ $K^{m}$

{\begin{aligned}\|A\|&=\sup\{\|Ax\|:x\in K^{n},\ \|x\|=1\}\\&=\ sup \left\{{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}:x\in K^{n},\ x\neq 0\right\}.\end{aligned}}

[2]

Under betingelse af en konsekvent specifikation af normer på rum af vektorer, er en sådan norm submultiplikativ (se ovenfor ).

Eksempler på operatørnormer

Matrixnorm underordnet vektornorm . $\|A\|_{1}=\max \limits _{1\leq j\leq n}\sum _{i=1}^{m}|a_{ij}|$ $\|x\|_{1}=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|$
Matrixnorm underordnet vektornorm . $\|A\|_{\infty }=\max \limits _{1\leq i\leq m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|$ $\|x\|_{\infty }=\max \limits _{1\leq i\leq n}|x_{i}|$
Spektral norm underlagt vektornormen . $\|A\|_{2}=\sup \limits _{\|x\|_{2}=1}\|Ax\|_{2}=\sup \limits _{(x, x)=1}{\sqrt {(Ax,Ax)}}={\sqrt {\lambda _{max}(A^{*}A)))$ ${\displaystyle \|x\|_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2))))$

Egenskaber for den spektrale norm:

Den spektrale norm for en operator er lig med den maksimale singulære værdi af denne operator.
Den spektrale norm for en normal operator er lig med den absolutte værdi af denne operators maksimale modulo egenværdi .
Spektralnormen ændres ikke, når en matrix multipliceres med en ortogonal ( enheds )matrix.

Non-operator matrix normer

Der er matrixnormer, der ikke er operatørnormer. Begrebet non-operator normer for matricer blev introduceret af Yu. I. Lyubich [3] og studeret af G. R. Belitsky .

Et eksempel på en ikke-operatørnorm

Overvej f.eks. to forskellige operatornormer og f.eks. række- og kolonnenormerne. Lad os skabe en ny norm . Den nye norm har ringegenskaben , bevarer identiteten og er ikke operatør [4] . $\|A\|_{1}$ ${\displaystyle \|A\|_{2))$ ${\displaystyle \|A\|=\max {(\|A\|_{1},\|A\|_{2)))))$ $\|AB\|\leqslant \|A\|\|B\|$ $\|I\|=1$

Eksempler på normer

Norm L p,q

Lad være en vektor af matrixkolonner. Per definition er normen lig med summen af de euklidiske normer for matrixkolonnerne: $(a_{1},\ldots,a_{n})$ $EN.$ $L_{2,1}$

\Vert A\Vert _{2,1}=\sum _{j=1}^{n}\Vert a_{j}\Vert _{2}=\sum _{j=1}^{ n}\left(\sum _{i=1}^{m}|a_{ij}|^{2}\right)^{1/2}

Normen kan generaliseres til normen $L_{2,1}$ $L_{p,q},\;p,q\geqslant 1:$

\Vert A\Vert _{p,q}=\left(\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{m}|a_{ij} |^{p}\right)^{q/p}\right)^{1/q}

Vector -norm

s

Du kan tænke på en matrix som en størrelsesvektor og bruge standardvektornormerne. For eksempel fås vektoren p -norm fra normen ved : $m\ gange n$ $mn$ ${\displaystyle L_{p,q))$ $p=q$

\|A\|_{p}=\|\mathrm {vec} (A)\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{m}\sum _{j =1}^{n}|a_{ij}|^{p}\right)^{1/p}

Denne norm adskiller sig fra den inducerede p - norm og fra Schattens p -norm (se nedenfor), selvom den samme notation er brugt. $\|A\|_{p}=\sup \limits _{x\neq 0}{\frac {\|Ax\|_{p)){\|x\|_{p))}$

Frobenius-normen , eller euklidisk norm (for euklidisk rum ) er et specialtilfælde af p - normen for p = 2 :. $\|A\|_{F}={\sqrt {\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{2 }}}$

Frobenius-normen er nem at beregne (sammenlignet med f.eks. spektralnormen). Det har følgende egenskaber:

Konsistens : , da på grund af Cauchy-Bunyakovsky uligheden ${\displaystyle \|Ax\|_{2}\leq \|A\|_{F}\|x\|_{2))$

\|Ax\|_{2}^{2}=\sum _{i=1}^{m}\left|\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{ j}\right|^{2}\leq \sum _{i=1}^{m}\left(\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{2}\sum _{j=1}^{n}|x_{j}|^{2}\right)=\sum _{j=1}^{n}|x_{j}|^{2}\|A\ |_{F}^{2}=\|A\|_{F}^{2}\|x\|_{2}^{2}.

Submultiplikativitet :, siden . ${\displaystyle \|AB\|_{F}\leq \|A\|_{F}\|B\|_{F))$ $\|AB\|_{F}^{2}=\sum _{i,j}\left|\sum _{k}a_{ik}b_{kj}\right|^{2}\ leq \sum _{i,j}\left(\sum _{k}|a_{ik}||b_{kj}|\right)^{2}\leq \sum _{i,j}\left( \sum _{k}|a_{ik}|^{2}\sum _{k}|b_{kj}|^{2}\right)=\sum _{i,k}|a_{ik}| ^{2}\sum _{k,j}|b_{kj}|^{2}=\|A\|_{F}^{2}\|B\|_{F}^{2}$
$\|A\|_{F}^{2}=\mathop {\rm {tr)) A^{*}A=\mathop {\rm {tr)) AA^{*}$ , hvor er sporet af matrixen , er den hermitiske konjugerede matrix af . $\mathop {\rm {tr)) A$ $EN$ $A^{*}$
$\|A\|_{F}^{2}=\rho _{1}^{2}+\rho _{2}^{2}+\dots +\rho _{n}^{ 2}$ , hvor er matrixens entalsværdier . ${\displaystyle \rho _{1},\rho _{2},\dots ,\rho _{n))$ $EN$
${\displaystyle \|A\|_{F}\geq \|A\|_{2))$ , hvor er den spektrale norm. ${\displaystyle \|\cdot \|_{2))$
${\displaystyle \|A\|_{F))$ ændres ikke, når en matrix multipliceres til venstre eller højre med ortogonale ( enhedsmæssige ) matricer [5] . $EN$

Maksimal modul

Den maksimale modulusnorm er et andet specialtilfælde af p -normen for p = ∞ .

\|A\|_{{{\text{max}}}}=\max\{|a_{{ij}}|\}.

Norm Shatten

Schatten-normer opstår, når -normen anvendes på en vektor af enestående værdier af en matrix. Hvis vi angiver med den -th singulære værdi af en matrix af størrelse , så er Schatten -normen defineret som $s$ $\sigma _{i}(A)$ $jeg$ $EN$ $m\ gange n$ $s$

\|A\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{\min\{m,n\}}\sigma _{i}^{p}(A)\ højre)^{1/p}.

Schatten-normerne er betegnet på samme måde som de inducerede og vektor -normer, men falder ikke sammen med dem. $s$

For enhver , er Schatten-normen submultiplikativ og unitarly invariant, det vil sige for alle matricer og og enhver enhedsmatricer og . $s$ ${\displaystyle ||AB||_{p}\leq ||A||_{p}||B||_{p))$ ${\displaystyle \|A\|_{p}=\|UAV\|_{p))$ $EN$ $B$ $U$ $V$

Kl falder Schatten-normen sammen med Frobenius-normen, ved , med spektralnormen og ved , med kernenormen (også kendt som spornormen og Ki Fan-normen ), som defineres som $p=2$ $p=\infty$ $p=1$

\|A\|_{1}=\sum _{i=1}^{\min\{m,n\))\sigma _{i}(A)={\mbox{tr)) \left({\sqrt {A^{*}A}}\right).

Kernenormen er det konvekse skrog af rangfunktionen på sættet af matricer med enhedsspektralnorm , så den bruges ofte i optimeringsproblemer for at finde lavrangerede matricer [6] .

Konsistens mellem matrix- og vektornormer

Matrixnormen på kaldes i overensstemmelse med normerne på og på, hvis: $\|\cdot \|_{{ab}}$ $K^{{m\ gange n}}$ $\|\cdot \|_{{a}}$ $K^n$ $\|\cdot \|_{{b}}$ $K^{m}$

\|Ax\|_{b}\leq \|A\|_{{ab}}\|x\|_{a}

for enhver . Ved konstruktion er operatørnormen i overensstemmelse med den oprindelige vektornorm. $A\i K^{{m\ gange n}},x\i K^{n}$

Eksempler på konsistente, men ikke underordnede matrixnormer:

Den euklidiske norm er i overensstemmelse med vektornormen [5] . $\|A\|_{F}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}a_{ij}^{2)) }$ ${\displaystyle \|x\|_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2))))$
Normen stemmer overens med vektornormen [7] . $\|A\|=\sum _{i,j=1}^{n}|a_{ij}|$ $\|x\|_{1}=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|$

Ækvivalens af normer

Alle normer i rummet er ækvivalente, det vil sige for alle to normer og for enhver matrix er den dobbelte ulighed sand: $K^{{m\ gange n}}$ ${\displaystyle \|.\|_{\alpha ))$ ${\displaystyle \|.\|_{\beta ))$ $A\in K^{m\times n}$

C_{1}\|A\|_{\alpha }\leq \|A\|_{\beta}\leq C_{2}\|A\|_{\alpha },

hvor konstanterne og ikke afhænger af matrixen . $C_{1}$ $C_{2}$ $EN$

For følgende uligheder er sande: $A\in \mathbb {R} ^{m\times n}$

${\displaystyle \|A\|_{2}\leq \|A\|_{F}\leq {\sqrt {n))\|A\|_{2))$ ,
$\|A\|_{\text{max}}\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {mn}}\|A\|_{\text{max}}$ ,
${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}\|A\|_{\infty }\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {m}}\|A \|_{\infty ))$ ,
${\frac {1}{\sqrt {m}}}\|A\|_{1}\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {n}}\|A\ |_{1}$ ,

hvor , og er operatørnormer [8] . $\|A\|_{1}$ ${\displaystyle \|A\|_{2))$ ${\displaystyle \|A\|_{\infty ))$

Ansøgning

Matrixnormer bruges ofte i analysen af lineære algebraberegningsmetoder . For eksempel kan et program til løsning af systemer med lineære algebraiske ligninger give et unøjagtigt resultat, hvis koefficientmatrixen er dårligt konditioneret ("næsten degenereret "). For kvantitativt at karakterisere nærheden til degeneration skal man kunne måle afstanden i rummet af matricer. Denne mulighed er givet af matrixnormer [9] .

Se også

Noter

↑ Gantmakher, 1988 , s. 410.
↑ Prasolov, 1996 , s. 210.
↑ Lyubich Yu. I. Om operatørnormer for matricer // Uspekhi Mat . - 1963. - N. 18. Udgave. 4(112) - S. 161-164. — URL: http://mi.mathnet.ru/rus/umn/v18/i4/p161
↑ Belitsky, 1984 , s. 99.
↑ 1 2 Ilyin, Kim, 1998 , s. 311.
↑ Fazel, M. , Hindi, H. , Boyd, S. P. En rangminimeringsheuristik med anvendelse på minimumsordresystemtilnærmelse // Proceedings of the 2001 American Control Conference. - 2001. - Bd. 6 . - P. 4734-4739 . - doi : 10.1109/ACC.2001.945730 .
↑ Bellman, 1969 , s. 196.
↑ Golub, Van Lone, 1999 , s. 63.
↑ Golub, Van Lone, 1999 , s. 61.

Litteratur

Ilyin V. A. , Kim G. D. Linear Algebra and Analytic Geometry. - M . : Forlag i Moskva. un-ta, 1998. - 320 s. — ISBN 5-211-03814-2 .
Gantmakher F. R. Matrix Theory. — M .: Nauka, 1988.
Bellman R. Introduktion til matrixteori. - M . : Nauka, 1969.
Prasolov VV Problemer og sætninger af lineær algebra. — M .: Nauka, 1996. — 304 s. - ISBN 5-02-014727-3 .
Golub J., Van Lone Ch . Matrixberegninger: Pr. fra engelsk. - M . : Mir, 1999. - 548 s. — ISBN 5-03-002406-9 .
Belitsky G. R. , Lyubich Yu. I. Matrix-normer og deres anvendelser. - Kiev: Naukova Dumka, 1984. - 160 s.