Første andengradsform

Den første kvadratiske form (eller den første fundamentale form eller metriske tensor ) af en overflade er en kvadratisk form på overfladens tangentbundt , der definerer overfladens indre geometri i nærheden af et givet punkt. Den første andengradsform betegnes ofte . $\mathrm {I}$

At kende den første kvadratiske form er tilstrækkelig til at beregne den Gaussiske krumning af en overflade, samt til at beregne længden af buer, vinklerne mellem kurver og arealer af områder på overfladen.

Definition

Lad overfladen i det euklidiske rum med skalarprodukt være givet ved ligningen hvor og er interne koordinater på overfladen; er differensen af radiusvektoren langs den valgte forskydningsretning fra et punkt til et uendeligt tæt punkt . (Her og er de partielle afledte af radiusvektoren med hensyn til og med hensyn til hhv.) Så er kvadratet af hoveddelen af længdetilvæksten udtrykt ved kvadratet af differentialet : $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ $r=r(u,v),$ $u$ $v$ $dr=r_{u}du+r_{v}dv$ $r$ $M$ $M'$ $r_{u}$ $r_{v}$ $r$ $u$ $v$ $|MM'|$ $dr$