Euler formel (differential geometri)

Eulers formel er en formel, der giver dig mulighed for at beregne den normale krumning af en overflade.

Opkaldt efter Leonhard Euler , som beviste det i 1760.

Ordlyd

Lad der være en regelmæssig overflade i det tredimensionelle euklidiske rum . Lad - et punkt - et tangentplan til et punkt - en enhed normal til et punkt a - et plan der går igennem og en enhedsvektor i . Kurven opnået som skæringspunktet mellem planet og overfladen kaldes det normale snit af overfladen i et punkt i retningen $\Phi$ $s$ $\phi ,$ $T_{p}$ $\Phi$ $p,$ $n$ $\Phi$ $p,$ $\pi _{e}$ $n$ $e$ $T_{p}$ $\gamma_e,$ $\pi _{e}$ $\phi ,$ $\Phi$ $s$ $e.$

\kappa _{e}=k\cdot n

hvor betegner skalarproduktet og er krumningsvektoren i punktet , kaldes overfladens normale krumning i retningen . Op til et tegn er den normale krumning lig med krumningen af kurven . $\cdot$ $k$ $\gamma _{e}$ $s$ $\Phi$ $e$ $\gamma _{e}$

Der er to vinkelrette retninger i tangentplanet og sådan, at den normale krumning i en vilkårlig retning kan repræsenteres ved hjælp af den såkaldte Euler-formel : $T_{p}$ $e_{1}$ $e_{2}$

\kappa _{e}=\kappa _{1}\cos ^{2}\alpha +\kappa _{2}\sin ^{2}\alpha

hvor er vinklen mellem denne retning og , a er værdierne og normale krumninger i retningerne og , de kaldes hovedkrumningerne , og retningerne og er overfladens hovedretninger i punktet . De vigtigste krumninger er de ekstreme værdier af de normale krumninger. Strukturen af normale krumninger på et givet punkt på overfladen er bekvemt afbildet grafisk ved hjælp af Dupins indikator . $\alfa$ $e_{1}$ $\kappa_{1}$ $\kappa_{2}$ $e_{1}$ $e_{2}$ $e_{1}$ $e_{2}$ $s$

Euler formel (differential geometri)

Ordlyd

Se også

Links