Asymptotisk kurve

En asymptotisk kurve (asymptotisk linje) er en kurve på en glat regelmæssig overflade i det euklidiske rum, der tangerer overfladens asymptotiske retning i hvert punkt , dvs. den retning, hvori det normale snit af overfladen har nul krumning . Da normale sektioner med nul krumning ikke eksisterer på alle punkter af overfladen, fylder de asymptotiske linjer generelt ikke hele overfladen. Den asymptotiske kurve er defineret af differentialligningen $\gamma=\gamma(t)$ $F$ $F$

\mathrm{I\!I}_{\gamma(t)}(\dot\gamma(t),\dot\gamma(t))=0,

hvor er overfladens anden grundlæggende form . $\mathrm{I\!I}$ $F$

Tre typer overfladepunkter

Punkter, hvor Gauss krumning kaldes hyperbolsk (et eksempel på en overflade, der udelukkende består af hyperbolske punkter, er en et-arks hyperboloid eller hyperbolsk paraboloid); punkter, hvor gaussisk krumning kaldes elliptisk (et eksempel på en overflade, der udelukkende består af elliptiske punkter er en ellipsoide eller en to-pladet hyperboloid); punkter, hvor den Gaussiske krumning men middelkrumningen kaldes parabolsk (et eksempel på en overflade, der udelukkende består af parabolske punkter er en cylinder). Parabolske punkter danner som regel en kurve, der deler overfladen i elliptiske og hyperbolske områder. $K<0$ $K>0$ $K=0$ $K \neq 0$

Der er ingen asymptotiske linjer i området for elliptiske punkter. I området med hyperbolske punkter er der nøjagtig to familier af asymptotiske linjer, der udgør det såkaldte asymptotiske netværk : en linje i hver familie passerer gennem hvert hyperbolsk punkt, de skærer i en ikke-nul vinkel. Ved parabolske punkter har asymptotiske linjer som regel en spidstype singularitet og er semikubiske parabler , der ligger (med undtagelse af selve spidsen) i det hyperbolske område, der støder op til parabollinjen.

Egenskaber

Tangentplanet for den asymptotiske kurve (hvor den findes) falder sammen med tangentplanet til samme punkt. $\gamma$ $F$
( Beltrami-Enneper teorem ) Kvadraten af torsion af en asymptotisk kurve (hvor den er defineret) er lig med modulet af overfladens Gaussiske krumning . $F$
Et lige linjestykke på en overflade er altid en asymptotisk kurve. Især retlinede generatorer af overfladen er asymptotiske kurver. $F$
På overflader med konstant negativ krumning er det asymptotiske netværk et Chebyshev-netværk , og arealet af firkanten dannet af de asymptotiske kurver er proportional med overskuddet af summen af dets indre vinkler over (Haczidakis formel). $2\pi$
På en minimal overflade er det asymptotiske netværk et ortogonalt netværk .
Under en projektiv rumtransformation går overfladens asymptotiske kurver over til den transformerede overflades asymptotiske kurver . $\pi$ $F$ $\pi(F)$

Ligningen for grafen for en funktion

Lad overfladen i det euklidiske rum med koordinater og metrisk angives som en graf for funktionen . Derefter i koordinater er overfladens asymptotiske linjer givet af differentialligningen.Introduktion af notationen kan den omskrives på formen Diskriminanten af kvadrattrinomialet på venstre side (med hensyn til variablen ) falder sammen med hessisk af funktionen taget med det modsatte fortegn, og ligningen definerer en kurve på planet bestående af parabolske punkter på overfladen (forudsat at en af koefficienterne eller er forskellig fra nul), som også er diskriminantkurven for den givne differentialligning , som ikke er løst med hensyn til derivatet. I et typisk tilfælde, næsten på alle parabolske punkter, har denne ligning Cibrario-normalformen , de eneste undtagelser er punkter, der ligger diskret på diskriminantkurven, hvor den normale form af ligningen er mere kompliceret. Ligningen af asymptotiske linjer har en endnu mere kompleks normalform på de punkter, hvor alle tre koefficienter , , forsvinder samtidigt, disse er de såkaldte flade navle , hvor , dvs. alle normale sektioner af overfladen har nul krumning. $x,y,z$ $ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$ $z=f(x,y)$ $x,y$ $f_{yy} \, dy^2 + 2f_{xy} \, dx dy + f_{xx} \, dx^2 = 0.$ $p=dy/dx$ $f_{yy} p^2 + 2f_{xy} p + f_{xx} = 0.$ $\Delta = f_{xy}^2 - f_{xx}f_{yy}$ $s$ $f(x,y)$ $\Delta=0$ $(x,y)$ $f_{{xx}}$ $f_{åå}$ $f_{{xx}}$ $f_{xy}$ $f_{åå}$ $H=K=0$

Eksempler

Alle punkter af en et-arks hyperboloid er af den hyperbolske type. Ligningen af asymptotiske linjer har i dette tilfælde formen , hvor . Det er let at kontrollere, at den generelle løsning af denne ligning er givet af formlen , hvor parametrene og er underlagt relationen . Således opnår vi to familier (svarende til forskellige tegn i formlen ) af asymptotiske linjer af den et-arkede hyperboloid, der falder sammen med familierne af dens retlinede generatorer. $x^2+y^2-z^2=1$ $(x^2-1)p^2 - 2xyp + y^2-1 = 0$ $p=dy/dx$ $y=ax+b$ $-en$ $b$ $b^2-a^2=1$ $\om eftermiddagen$ $b = \pm \sqrt{a^2+1}$

Keglens asymptotiske linjer falder også sammen med dens retlinede generatorer. Da alle punkter på keglen er parabolske, har vi præcis én familie af asymptotiske linjer. $x^2+y^2-z^2=0$

I tilfælde af overfladen givet af ligningen har vi . Linjen af parabolske punkter ( ) deler overfladen i elliptiske ( ) og hyperbolske ( ) områder. Sidstnævnte indeholder to familier af asymptotiske linjer. Ved alle parabolske punkter, bortset fra oprindelsen ( ), har ligningen for asymptotiske linjer Cibrario-normalformen; derfor har de asymptotiske linjer i nærheden af disse punkter form af semikubiske paraboler. Ved oprindelsen har netværket af asymptotiske linjer en mere kompleks singularitet, hvis karakter afhænger af parameteren , se papiret . $z=y^2 + x^2y + ax^4$ $\Delta = (1-6a)x^2 - y$ $y=(1-6a)x^2$ $y>(1-6a)x^2$ $y<(1-6a)x^2$ $x=y=0$ $-en$

Asymptotiske kurver på en torus givet parametrisk i formen: $\venstre\{ \begin{matrix} x(\phi,\psi) = & (R + r \cos \phi) \cos \psi \\ y(\phi,\psi) = & (R + r \cos \phi) \sin \psi \\ z(\phi,\psi) = & r \sin \phi \\ \end{matrix} \right. \qquad \phi, \psi \in [0,2\pi),$

er to paralleller, der adskiller hyperbolske og elliptiske områder og udelukkende består af parabolske punkter, og et uendeligt antal kurver af en speciel form, der svinger mellem disse to paralleller. $z=\pmr$

Den asymptotiske kurve er spidskanten på pseudosfæren .

Litteratur

Rashevsky P. K. Forløb af differentialgeometri, - Enhver udgave.
Finikov S.P. Kursus af differentialgeometri, - Enhver udgave.
Finikov S.P. Theory of Surfaces, - Enhver udgave.
Mishchenko A. S., Fomenko A. T. Kursus i differentialgeometri og topologi, - Enhver udgave.
Toponogov VA Differentiel geometri af kurver og overflader. - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 9785891552135 .