Geodætisk krumning

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 6. februar 2021; verifikation kræver 1 redigering .

Den geodætiske krumning af en kurve i Riemannsk geometri måler, hvor langt en kurve afviger fra en geodætisk . For eksempel, for en 1D-kurve på en 2D-overflade indlejret i 3D-rum , er kurvens krumning projiceret på et plan, der tangerer overfladen. Mere generelt, i en given manifold, er den geodætiske krumning den sædvanlige krumning af en kurve (se nedenfor). Men hvis kurven ligger i en undermanifold af manifolden (for eksempel for overfladekrumning ), refererer den geodætiske krumning til krumningen i , og den adskiller sig generelt fra krumningen i den omgivende manifold . Den (omgivende) krumning af en kurve afhænger af to faktorer - undermanifoldens krumning i retningen ( normal krumning ), som kun afhænger af kurvens retning, og krumningen i manifolden (geodesisk krumning ), som er en anden ordens mængde. Forbindelsen mellem dem er . Især geodetik på har nul geodætisk krumning ("lige linjer"), således at . $k_{g}$ $\gamma$ ${\bar {M))$ $\gamma$ $\gamma$ $M$ ${\bar {M))$ $\gamma$ $M$ $\gamma$ ${\bar {M))$ $k$ $\gamma$ $M$ $\gamma$ $k_n$ $\gamma$ $M$ $k_{g}$ ${\displaystyle k={\sqrt {k_{g}^{2}+k_{n}^{2))))$ $M$ ${\displaystyle k=k_{n))$

Definition

Betragt en kurve på en manifold parametriseret af kurvelængden med en enhedstangensvektor . Dens krumning er lig med normen for den kovariante afledte af vektoren :. Hvis den ligger på , er den geodætiske krumning lig med normen for projektionen af den kovariante afledte på undermanifoldens tangentrum. Tværtimod er den normale krumning lig med normen for projektionen på det normale bundt af undermanifolden på det pågældende punkt. $\gamma$ ${\bar {M))$ $T=d\gamma /ds$ $T$ $k=\|DT/ds\|$ $\gamma$ $M$ $DT/ds$ $DT/ds$

Hvis den omgivende manifold er et euklidisk rum , så er den kovariante afledte lig med den almindelige afledte . $\mathbb {R} ^{n}$ $DT/ds$ $dT/ds$

Eksempel

Lad være en enhedssfære i tredimensionelt euklidisk rum . Den normale krumning af en kugle er 1, uanset den betragtede retning. Store cirkler har krumning , så de har nul geodætisk krumning og er derfor geodætiske. Mindre cirkler med radius vil have krumning og geodætisk krumning . $M$ $S^{2}$ $S^{2}$ $k=1$ $r$ $1/r$ $k_{g}={\frac {\sqrt {1-r^{2}}}{r}}$

Nogle resultater ved hjælp af geodætisk krumning

Den geodætiske krumning er intet andet end den almindelige krumning beregnet på undermanifolden . Det afhænger ikke af, hvordan undermanifolden er placeret i . $M$ $M$ ${\bar {M))$
Den geodætiske på har nul geodætisk krumning, hvilket svarer til at sige, at det er ortogonalt med tangentrummet til . $M$ $DT/ds$ $M$
På den anden side afhænger den normale krumning strengt af, hvordan undermanifolden er placeret i det omgivende rum, men lidt på kurven - den afhænger kun af punktet på manifolden og retningen , men ikke af . $k_n$ $T$ $DT/ds$
Generelt Riemannsk geometri beregnes den afledte ved hjælp af Levi-Civita-forbindelsen af den omgivende manifold: . Den deler sig i en tangentdel og en normal del for en undermanifold, . Tangentdelen er den sædvanlige afledte af v ( dette er et specialtilfælde af Gauss-ligningen for Peterson-Codazzi-ligningen ), mens normaldelen er , hvor er den anden andengradsform af . ${\bar {\nabla ))$ $DT/ds={\bar {\nabla}}_{T}T$ ${\bar {\nabla }}_{T}T=\nabla _{T}T+({\bar {\nabla}}_{T}T)^{\perp }$ $\nabla _{T}T$ $M$ $\mathrm {I\!I} (T,T)$ $\mathrm{I\!I}$
Gauss-Bonnet formel .

Se også

Litteratur