Almindelig lokal ring

En regulær lokal ring er en noethersk lokal ring , således at antallet af generatorer af dens maksimale ideal falder sammen med Krull-dimensionen . Navnet regulær forklares af geometriske årsager. Et punkt af en algebraisk varietet er ikke- singular ( regulær ), hvis og kun hvis den lokale ring af kim af rationelle funktioner i punktet er regelmæssig. $x$ $x$ $\mathcal{O}_{X, x}$ $x$

Tilsvarende definitioner

Der er flere nyttige definitioner af en almindelig lokal ring. Især hvis det er en Noethersk lokal ring med maksimal ideal , er følgende definitioner ækvivalente: $EN$ $\mathfrak m$

Lad hvor vælges så lille som muligt (i alle tilfælde må n ikke være mindre end Krull-dimensionen). regelmæssigt hvis $\mathfrak{m} = (a_1, \ldots, a_n)$ $n$ $EN$

\mbox{dim} A = n.

Lad være restfeltet af ringen . Så jævnligt hvis $k = A / \mathfrak{m}$ $EN$ $EN$

\dim _{k}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}=\dim A

, Her er den første dimension dimensionen af vektorrummet, og den anden er Krull-dimensionen.

Lad være den globale dimension (det vil sige det øverste af de projektive dimensioner af alle -moduler .) Så regelmæssigt hvis $\mbox{gl dim } A$ $EN$ $EN$ $EN$

{\mbox{gl dim }}A<\infty

, i dette tilfælde falder altid sammen med Krull-dimensionen.

\mbox{gl dim } A

Eksempler

Enhver mark er en almindelig lokal ring. Faktisk er felter nøjagtigt regulære lokale ringe med dimension 0.
Almindelige lokale ringe af dimension 1 er netop de diskrete vurderingsringe . Især ringen af formelle potensrækker ( k er et vilkårligt felt) er en regulær lokal ring. Et andet eksempel er ringen af p -adiske tal . $k[[x]]$
Mere generelt er en formel kraftseriering en regulær lokal ring med dimension d . $k[[x_{1},x_{2},\cdots ,x_{d}]]$
Hvis A er en regulær ring (se definitionen nedenfor ), så er ringen af polynomier og ringen af formelle potensrækker regelmæssige. $Økse]$ $A[[x]]$
Enhver lokalisering af en almindelig ring er regelmæssig. For eksempel er en todimensionel regulær ring, der ikke indeholder noget felt. $\mathbb Z[x]_{(2,x)}$
Afslutningen af en almindelig ring er regelmæssig.

Egenskaber

Auslander-Buchsbaum-sætningen siger, at hver regulær lokal ring er faktoriel.

Hvis er en komplet almindelig lokal ring, der indeholder et eller andet felt, så $(A,\mathfrak{m})$

A \cong k[[x_1, \ldots, x_d]]

hvor , og er Krull-dimensionen. $k = A / \mathfrak{m}$ $d$

Oprindelse af grundlæggende definitioner

Definitionen af en regulær lokal ring blev givet af Wolfgang Krull i 1937, [1] men de blev berømte takket være arbejdet af Oskar Zariski , [2] [3] som beviste, at regelmæssige lokale ringe svarer til glatte punkter af algebraiske varianter. Lad Y være en algebraisk varietet indeholdt i et n -dimensionelt affint rum over et perfekt felt defineret som et sæt af fælles nuller af polynomier (i n variable) f 1 ,..., f m . Y er ental i et punkt P , hvis rangordenen af Jacobi -matricen (matrix (∂ fi /∂ x j )) på dette punkt er lavere end på et andet punkt i manifolden . Dimensionen af manifolden er lig med forskellen mellem n og rangen af den jakobiske matrix ved et ikke-singulart punkt. Zariski beviste, at Jacobi-matrixen P er ikke-singular, hvis og kun hvis den lokale ring af Y i P er regelmæssig. (Zariski bemærkede også, at dette ikke nødvendigvis er sandt over ufuldkomne felter.) Det følger heraf, at glathed er en iboende egenskab ved manifolden, det vil sige, at den ikke afhænger af manifoldens særlige indlejring i et affint rum. I 1950'erne beviste Auslander og Buchsbaum, at en regulær lokal ring er faktoriel.

Mange egenskaber ved lokale ringe forblev ubevist indtil det tidspunkt, hvor de tilsvarende teknikker for homologisk algebra dukkede op . Jean-Pierre Serre fandt en beskrivelse af regulære lokale ringe i homologiske termer: en lokal ring A er regulær, hvis og kun hvis den har en endelig global dimension . Det er let at bevise, at den globale dimensions finitetsegenskab forbliver uændret under lokalisering. Dette gør det muligt at definere regularitet for alle ringe, ikke nødvendigvis lokale: en ring A kaldes regulær , hvis dens lokalisering i forhold til et vilkårligt primideal er en regulær lokal ring. Dette svarer til at sige, at A har en endelig global dimension. Især alle Dedekind ringe er almindelige.

Noter

↑ Krull, Wolfgang (1937), Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche III, Math. Z .: 745-766
↑ Zariski, Oscar (1940), Algebraiske varianter over jordfelter med karakteristisk 0, Amer. J Math. T. 62: 187-221
↑ Zariski, Oscar (1947), Begrebet et simpelt punkt i en abstrakt algebraisk variant, Trans. amer. Matematik. soc. T. 62: 1–52

Litteratur

Jean-Pierre Serre , Lokal algebra, Springer-Verlag , 2000 - ISBN 3-540-66641-9 . Kapitel IV.D.