Hertzisk princip

Hertz - princippet , også kendt som princippet om mindste krumning eller princippet om den mest direkte vej - et af mekanikkens variationsprincipper, som siger, at i fravær af aktive kræfter ( potentiel energi ), af alle kinematisk mulige (dvs. tilladt af obligationer) baner, kun den ene vil være gyldig , som har den mindste krumning [1] . Det blev brugt af Hertz til at bygge mekanik, hvor virkningen af aktive kræfter blev erstattet af indførelse af passende begrænsninger. Først foreslået i 1894.

Hertz' princip ses ofte som et specialtilfælde af det Gaussiske princip om mindste begrænsning , et særligt tilfælde af Maupertuis ' princip, som Jacobi behandler det, og en generalisering af inertiloven. Forbindelsen med det Gaussiske princip skyldes kraftens proportionalitet til krumningens kvadrat. Med ideelle forbindelser har det hertziske princip og det gaussiske princip det samme matematiske udtryk.

Gauss-Hertz-kurven på stien x (t) = x α (t) i det Riemannske rum R n × l 2 , δ ij + δ αβ er minimale Lagrange-kvadrater (summen af rækker af funktioner, ensartet konvergens) [2] .

Matematisk udtryk

I Hertz' princip er Z-funktionen matematisk udtrykt som følger:

Z=\sum _{j=1}^{n}\left|{\ddot {\mathbf {r}}}_{j}\right|^{2}

Kinetisk energi bevares under disse forhold: $T$

T\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}\left|{\dot {\ mathbf {r} }}_{j}\right|^{2}

Da linjeelementet i -dimensionalt koordinatsystem er defineret af formlen $ds^{2}$ $3N$

ds^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{j=1}^{n}\left|d\mathbf {r} _{j}\ højre|^{2}

så kan loven om energiens bevarelse også have formen

\left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}=2T

Når du dividerer med , vises et andet minimum: $Z$ $2T$

K\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{j=1}^{n}\left|{\frac {d^{2}\mathbf {r} _ {j}}{ds^{2}}}\right|^{2}

Da er den lokale krumning af banen i et dimensionelt koordinatsystem, svarer minimering til at finde en bane med minimal krumning ( geodætisk ). ${\sqrt {K}}$ $3n$ $K$

Litteratur

Princippet om mindste krumning // Morshin - Nikish. - M . : Soviet Encyclopedia, 1974. - ( Great Soviet Encyclopedia : [i 30 bind] / chefredaktør A. M. Prokhorov ; 1969-1978, bind 17).
Hertzisk princip // Great Russian Encyclopedia : [i 35 bind] / kap. udg. Yu. S. Osipov . - M . : Great Russian Encyclopedia, 2004-2017.
Hertz, H. (1896). principper for mekanik. Diverse Papirer. III. Macmillan.
Georgi Georgiev, Iskren Georgiev. Den mindste handling og metrikken for et organiseret system // Åbne systemer og informationsdynamik. - 2002. - Nej. 9(4) . - S. 371-380 .
Constantin Udriste, Massimiliano Ferrara, Ionel Tevy, Oltin Dogaru, Armando Ciancio. Princippet om mindste krumning af Gauss og Hertz og geometrisk dynamik // 9. WSEAS Int. Konf. om MATEMATIK & COMPUTERE I ERHVERV OG ØKONOMI (MCBE '08). - Bukarest, Rumænien, 2008. - 25. juni. - S. 34-38 .