Andel af enhed

En brøkdel af én (en aliquot) er et rationelt tal i form af en brøk, hvis tæller er én, og nævneren er et positivt heltal . Enhedsbrøken er således den reciproke af et positivt heltal, 1/ n . Eksempler er 1/1, 1/2, 1/3, 1/4 osv.

Elementær aritmetik

Hvis du multiplicerer to vilkårlige brøkdele af én, får du en brøkdel af én:

{\frac {1}{x}}\ gange {\frac {1}{y}}={\frac {1}{xy}}.

Men at addere , trække eller dividere to brøkdele af en enhed giver generelt et resultat, der er forskelligt fra brøkdele af en enhed:

{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}={\frac {x+y}{xy}},

{\frac {1}{x}}-{\frac {1}{y}}={\frac {yx}{xy}},

{\frac {1}{x}}\div {\frac {1}{y}}={\frac {y}{x}}.

Modulær aritmetik

Brøkdele af en spiller en vigtig rolle i modulo sammenligning , da de kan bruges til at reducere modulo division til beregningen af den største fælles divisor. Antag især, at vi ønsker at beregne resultatet af division med x modulo y . For at division med x skal defineres modulo y , skal x og y være coprime . Ved at bruge den udvidede euklidiske algoritme til at finde den største fælles divisor , kan vi finde a og b sådan, at

\displaystyle ax+by=1,

hvorfra det følger

\displaystyle ax\equiv 1{\pmod {y)),

hvilket svarer til

a\equiv {\frac {1}{x}}{\pmod {y}}.

For at dividere med x (modulo y ), skal man simpelthen gange med a .

Den endelige sum af brøkdelene af en enhed

Ethvert positivt rationelt tal kan repræsenteres som summen af brøkdele af én på flere måder. For eksempel,

{\frac {4}{5}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{10}}.

De gamle egyptere brugte summer af forskellige brøker af én til at skrive rationelle tal , og sådanne summer kaldes ofte egyptiske brøker . Indtil nu er der interesse for analyse af metoder brugt af de gamle til at udvælge mulige repræsentationer og beregne sådanne repræsentationer [1] . Emnet egyptiske brøker er også af interesse for moderne talteori . For eksempel vedrører Erdős-Graham- formodningen og Erdős-Strauss-formodningen summer af brøkdele af enheder, ligesom definitionen af harmoniske malmtal .

I geometrisk gruppeteori klassificeres grupper af trekanter som euklidiske, sfæriske og hyperbolske, afhængigt af om summen af enhedsbrøker forbundet med dem er lig med én, mindre end én eller større end én.

Sekvenser af brøkdele af en

Mange velkendte uendelige rækker har udtryk i form af brøkdele af en. Blandt dem:

Den harmoniske række er summen af alle positive brøker af én. Denne sum divergerer, og dens delsummer

{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}

er tæt tilnærmet med ln n + γ , når n stiger .

Basel-problemet betragter summen af kvadrater af brøker af én, som konvergerer til π 2 /6.
Aperi-konstanten er summen af terninger af brøkdele af én.
Geometriske progressioner og den omvendte Fibonacci-serie er yderligere eksempler på fraktioner af én serie.

Brøkmatricer

Hilbert-matricen har tal som elementer

B_{i,j}={\frac {1}{i+j-1)).

Den har en usædvanlig egenskab - alle elementer i dens inverse matrix er heltal [2] . På lignende måde definerede Richardson [3] en matrix med elementer

C_{i,j}={\frac {1}{F_{i+j-1))},

hvor F i betegner det i -te Fibonacci-tal . Han kaldte denne matrix "The Filbert matrix", og den har den samme egenskab [4] .

Tilstødende brøker

To brøker kaldes tilstødende , hvis deres forskel er en brøkdel af en [5] [6] .

Brøkdele af enhed i sandsynlighedsteori og statistik

I en diskret ensartet fordeling er alle sandsynligheder en brøkdel af én. Ifølge princippet om ligegyldighed , opstår sandsynligheder af denne type ofte i statistiske beregninger [7] . Derudover siger Zipfs lov , at for mange observerbare hændelser, herunder udvælgelsen af objekter fra en ordnet sekvens, er sandsynligheden for, at det n'te objekt vil blive valgt, proportional med en brøkdel af en 1/ n [8] .

Brøkdele af enhed i fysik

Energiniveauerne af fotoner , der kan absorberes eller udsendes af et brintatom, ifølge Rydberg-formlen , er proportionale med forskellen mellem to fraktioner af én. En forklaring på dette fænomen gives af Bohr-modellen , hvorefter energiniveauerne af elektronorbitaler i et brintatom er omvendt proportionale med kvadratet af enhedsbrøker, og fotonenergien kvantiseres ved niveauforskellen [9] .

Arthur Eddington sagde, at den fine struktur konstant er en brøkdel af en, først 1/136 og derefter 1/137. Dette udsagn viste sig at være forkert, og det moderne skøn over værdien af finstrukturkonstanten er (op til 6 decimaler) 1/137.036 [10] .

Se også

Egyptiske fraktioner

Noter

↑ Guy, 2004 , s. 252-262.
↑ Choi, 1983 , s. 301-312.
↑ Richardson, 2001 .
↑ Richardson, 2001 , s. 268-275.
↑ Adjacent Fraction på PlanetMath- webstedet .
↑ Weisstein, Eric W. Adjacent Fraction på Wolfram MathWorld- webstedet .
↑ Welsh, 1996 , s. 66.
↑ Saichev, Malevergne, Sornette, 2009 .
↑ Yang, Hamilton, 2009 , s. 81-86.
↑ Kilmister, 1994 .

Litteratur

Richard K Guy. Uløste problemer i talteori. — 3. - Springer-Verlag, 2004. - ISBN 978-0-387-20860-2 .
Man Duen Choi. Tricks eller godbidder med Hilbert-matrixen // The American Mathematical Monthly. - 1983. - T. 90 , no. 5 . - doi : 10.2307/2975779 .
Thomas M. Richardson. The Filbert matrix // Fibonacci Quarterly . - 2001. - T. 39 , no. 3 . - . - arXiv : math.RA/9905079 .
Fujia Yang, Joseph H. Hamilton. Moderne atom- og kernefysik. - World Scientific, 2009. - ISBN 978-981-283-678-6 .
Clive William Kilmister. Eddingtons søgen efter en fundamental teori: en nøgle til universet. - Cambridge University Press, 1994. - ISBN 978-0-521-37165-0 .
Alan H. Welsh. Aspekter af statistisk inferens. - John Wiley and Sons, 1996. - T. 246. - (Wiley Series in Probability and Statistics). — ISBN 978-0-471-11591-5 .
Alexander Saichev, Yannick Malevergne, Didier Sornette. Teori om Zipfs lov og videre. - Springer-Verlag, 2009. - T. 632. - (Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems). - ISBN 978-3-642-02945-5 .