Fase rum

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 11. februar 2017; checks kræver 26 redigeringer .

Faserummet i matematik og fysik er et rum , hvor hvert punkt svarer til én og kun én tilstand fra mængden af alle mulige tilstande i systemet . Det punkt i rummet, der svarer til systemets tilstand, kaldes " afbildning " eller " repræsenterer " for det. Således kan ændringen i systemets tilstande, det vil sige dets dynamik , sammenlignes med bevægelsen af det repræsenterende punkt; banen for dette punkt kaldes fasebanen (det skal bemærkes, at den ikke er identisk med den faktiske bevægelsesbane), og hastigheden af et sådant repræsentativt punkt kaldes fasehastigheden. [A:1] [1]

Begrebet faserum blev udviklet i slutningen af det 19. århundrede af Ludwig Boltzmann , Henri Poincaré og Willard Gibbs . [A:2]

Generelle bestemmelser

Som regel vælges rum med euklidisk metrisk ved at bruge enten kartesiske eller polære koordinatsystemer.

For systemer med én frihedsgrad degenererer faserummet til et faseplan .

Fasebaner

Ved hjælp af ligningerne for banen i faserummet (faseplanet) bygges integralkurver for det undersøgte system , dvs. kurver i faserummet, således at tangenten i hvert punkt har en hældning givet af baneligningen. Den geometriske konstruktion af integralkurver kaldes " kvalitativ integration af ligninger ". [2]

Begreberne " integralkurve " og " fasebane " bør i det generelle tilfælde skelnes mellem, " da det kan ske, at en integralkurve ikke består af én, men af flere fasebaner på én gang ." [3]

Mønstret af kurver i faserummet (på faseplanet) kan beskrives ved:

eller en ligning - i koordinatform , det vil sige ved at bruge ligninger, der ikke indeholder tid - og studere integralkurver med den,
eller beskrive med et ligningssystem i parametrisk form , hvor den uafhængige variabel , tid, spiller rollen som en parameter, og studere fasebanerne. [fire] $t$

Behovet for at skelne mellem disse to måder at repræsentere den samme familie af kurver kan demonstreres ved eksemplet på det enkleste konservative system beskrevet af ligningsformen . [fire] ${\ddot {x}}=f(x)$

Hele fasebanen er kurven i faserummet, som beskrives af det repræsenterende punkt for hele dets bevægelsestid (fra til ). [3] $t=-\infty$ $t=+\infty$

Faseportræt

Faseportrættet af det undersøgte system er et sæt fasebaner for alle mulige begyndelsesforhold . [3] Det kan ses som en integreret manifold . [A:3]

Da man, når man studerer et systems adfærd, primært er interesseret i stationære bevægelser i systemet, [2] kan faseportrættet også betragtes som en opdeling af faserummet i tiltrækningsdomæner af stationære løsninger. [A:1]

Klassificeringen af arten af entalspunkterne i et system af ligninger kan udføres på basis af egenskaberne i faseportrættet, da i det mindste for nogle systemer hvert enkelt punkt i et system af differentialligninger også er et singulærpunkt i den betydning, der bruges i differentialgeometri . [fire]

F.p. normalt på en eller anden måde deformeret, når systemparametrene ændres . En kvalitativ ændring i f.p. svarer til forsvinden af eksisterende og fødslen af nye stationære løsninger, og en sådan ændring i f.p. kaldes en bifurkationssituation . [A:1]

For nemheds skyld er studiet af faseportrættet af systemet opdelt [4] i studiet af arten af systembevægelserne:

nære ligevægtstilstande,
i hele faseplanet.

Når man studerer faseportrættet, er det generelle topologiske billede af bevægelser på faseplanet primært af interesse . [fire]

Fasehastighed

Fasehastigheden er den hastighed, hvormed systemets tilstand ændres; det svarer til bevægelseshastigheden for det repræsenterende punkt i faserummet. [fire]

For at beregne størrelsen af fasehastigheden introduceres begrebet " faseradiusvektor ", som man gør i klassisk mekanik. [3]

For eksempel, for det enkleste konservative system beskrevet af ligningen , beregnes hastigheden af det repræsenterende punkt som: ${\ddot {x}}=f(x)$

\mathbf {v} =\mathbf {i} y+\mathbf {j} f(x)

og vil være unikt defineret overalt, og forsvinder kun på et enkelt punkt. [4] Fasehastighedsmodulet i dette tilfælde vil blive beregnet som:

v={\frac {ds}{dt}}={\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy} {dt}}\right)^{2}}}={\sqrt {y^{2}+\left[f(x)\right]^{2}}}

hvor:

{\frac {dx}{dt}}=y

og .

{\frac {dy}{dt}}=f(x)

Beregning af fasehastigheden gør det muligt at spore ændringer i systemet mere nøjagtigt. Så for eksempel, i tilfælde af en sadel-node bifurkation, kan man finde et område af systemtilstande, hvor et signifikant fald i fasehastighedsmodulet forekommer. [A:1]

Funktioner af systemer af forskellige typer

Mekaniske systemer

I klassisk mekanik fungerer glatte manifolder som faserum . I tilfælde af mekaniske systemer er dette et ligedimensionelt rum, hvor koordinaterne er de sædvanlige rumlige koordinater (eller generaliserede koordinater ) for systemets partikler og deres momenta (eller generaliserede momentum ). Derudover er bevægelsen af det repræsentative punkt inden for mekanik bestemt af relativt simple Hamilton-ligninger , hvis analyse gør det muligt at drage konklusioner om adfærden af komplekse mekaniske systemer. [5]

For eksempel har faserummet for et system bestående af et frit materialepunkt 6 dimensioner, hvoraf tre er tre almindelige koordinater, og tre mere er momentumkomponenter. Følgelig vil faserummet for et system med to frie materialepunkter indeholde 12 dimensioner og så videre.

Termodynamik og statistisk mekanik

I termodynamik og statistisk mekanik har udtrykket "faserum" to betydninger: 1) det bruges i samme betydning som i klassisk mekanik; 2) det kan også referere til rum, som er parametriseret af systemets makroskopiske tilstande, såsom tryk, temperatur osv.

Dynamiske systemer

I teorien om dynamiske systemer og teorien om differentialligninger er faserummet et mere generelt begreb. Det er ikke nødvendigvis ligedimensionelt, og dynamikken i det er ikke nødvendigvis givet af Hamiltons ligninger .

Tilfældet med flere systemer

Hvis vi tager flere identiske systemer i betragtning, skal vi specificere flere punkter i faserummet. Helheden af sådanne systemer kaldes et statistisk ensemble . Ifølge Liouvilles sætning udvikler en lukket kurve (eller overflade), der består af punkter i faserummet i et Hamilton-system, sig på en sådan måde, at arealet (eller volumenet) af faserummet, der er indeholdt i det, bevares i tid.

Eksempler

Begrebet faserum er meget udbredt inden for forskellige fysikområder. [B: 1] [B: 2] Det viste sig at være meget nyttigt til at studere fænomenerne bifurkationshukommelse . [A:1]

At fortolke tilstanden af et bevægende objekt som et punkt i faserummet løser Zenos paradoks . (Det paradoksale er, at hvis vi beskriver et objekts tilstand ved dets position i konfigurationsrummet, så kan objektet ikke bevæge sig.)

Harmonisk oscillator

Det enkleste autonome oscillatorsystem blev kaldt den " harmoniske oscillator "; dens dynamik er beskrevet af en lineær differentialligning af formen:

{\ddot x}+\omega _{0}^{2}x=0.

Et sådant system laver periodiske sinusformede (harmoniske) bevægelser; Oscillatorisk bevægelse forekommer ikke kun i tilfældet , og det vil sige, når oscillatoren er i en tilstand af ligevægt i det indledende øjeblik - i dette tilfælde fortsætter den med at forblive i den yderligere. Koordinatligningen for fasebanen for et sådant system definerer integralkurver i form af en familie af lignende (med et konstant forhold mellem akser) ellipser , og gennem hvert punkt i f.p. krydser én og kun én ellipse. Den angivne ligevægtstilstand er et enkelt punkt i dette system, nemlig centrum . [3] $x_{0}=0$ ${\dot {x}}_{0}=0$

Kvanteoscillator

Faserummet af tilstande af en kvanteoscillator gør det muligt at beskrive kvantestøjen af en forstærker i form af usikkerheden i de hermitiske og anti-hermitiske komponenter i feltet; i dette tilfælde er antagelsen om lineariteten af faserumstransformationen udført af forstærkeren ikke påkrævet. [A:4] Afledte af forstærkerens overførselsfunktion definerer en nedre grænse for niveauet af kvantestøj. Groft sagt, jo mere kompleks transformationen er, jo større er kvantestøjen.

Faserummet gør det muligt at konstruere en samlet formalisme for klassisk og kvantemekanik. [A:5] Evolutionsoperatoren er formuleret i forhold til Poisson-beslaget; i kvantetilfældet er denne beslag en almindelig kommutator. I dette tilfælde er klassisk og kvantemekanik bygget på de samme aksiomer; de er formuleret i termer, der giver mening i både klassisk og kvantemekanik.

Kaosteori

Klassiske eksempler på fasediagrammer fra kaosteori er:

Lorentz-attraktion
Befolkningstilvækst (dvs. logistisk kortlægning )
Parametrisk plan af komplekse kvadratiske polynomier med Mandelbrot-sæt .

Optik

Faserum er meget brugt i ikke-billeddannende optik , [B: 3] er en gren af optik dedikeret til belysning og solpaneler. Det er også et vigtigt begreb i Hamiltonsk optik .

Se også

Noter

↑ Andronov, 1981 , s. 38-41.
↑ 1 2 Andronov, 1981 , Introduktion, s. 15-34.
↑ 1 2 3 4 5 Andronov, 1981 , Kapitel I. lineære systemer, s. 35-102.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Andronov, 1981 , kapitel II. Konservative ikke-lineære systemer, s. 103-167.
↑ V. I. Arnold , V. V. Kozlov , A. I. Neishtadt , Matematiske aspekter af klassisk og celestial mekanik , Dynamiske systemer - 3, Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Moderne sandsynlighed måtte. Fundam. retninger, 3, VINITI, M., 1985, 5-290.

Litteratur

Bøger

↑ Andronov A. A. , Witt A. A. , Khaikin S. E. Theory of Oscillations. - 2. udg., revideret. og rettet - M . : Nauka , 1981. - 918 s.
↑ Lichtenberg A. Dynamik af partikler i faserummet. — M .: Atomizdat , 1972. — 304 s.
↑ Julio Chaves. Introduktion til ikke-billeddannende optik . - Anden version. - CRC Press , 2015. - 786 s. — ISBN 978-1482206739 . Arkiveret 18. februar 2016 på Wayback Machine

Artikler

↑ 1 2 3 4 5 Feigin M.I. Manifestation af bifurkationshukommelseseffekter i et dynamisk systems adfærd // Soros Educational Journal : Journal. - 2001. - T. 7 , nr. 3 . - S. 121-127 . Arkiveret fra originalen den 30. november 2007. (Russisk)
↑ Nolte, DD The tangled tale of phase space // Physics Today: Journal. - 2010. - Bd. 63 , nr. 4 . — S. 31–33 . - doi : 10.1063/1.3397041 .
↑ Neishtadt, Anatoly. Om stabilitetstabsforsinkelse for dynamisk bifurkation (engelsk) // Discrete and Continuous Dymanical Systems - Series S: Journal. - 2009. - Bd. 2 , nr. 4 . - S. 897-909 . — ISSN 1937-1632 . - doi : 10.3934/dcdss.2009.2.897 .
↑ Kuznetsov D. , Roilich D. Quantum noise in phase space mapping // Optics and Spectroscopy : journal. - 1997. - T. 82 , nr. 6 . - S. 990-995 . (Russisk)
↑ Shirokov Yu. M. Kvantemekanik og klassisk mekanik i repræsentationen af faserum // ECHAYA : journal. - 1979. - T. 10 , nr. 1 . — S. 5–50 . (Russisk)